2019-2020年高中數(shù)學(xué)《平面向量應(yīng)用舉例》教案8新人教A版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《平面向量應(yīng)用舉例》教案8新人教A版必修4.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)《平面向量應(yīng)用舉例》教案8新人教A版必修4
教材:實(shí)數(shù)與向量的積
目的:要求學(xué)生掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律,理解向量共線的充要條件。
過程:一、復(fù)習(xí):向量的加法、減法的定義、運(yùn)算法則。
二、1.引入新課:已知非零向量 作出++和(-)+(-)+(-)
B
A
O
C
P
Q
M
N
==++=3
==(-)+(-)+(-)=-3
討論:13與方向相同且|3|=3||
2-3與方向相反且|-3|=3||
2.從而提出課題:實(shí)數(shù)與向量的積
實(shí)數(shù)λ與向量的積,記作:λ
定義:實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量,記作:λ
1|λ|=|λ|||
2λ>0時(shí)λ與方向相同;λ<0時(shí)λ與方向相反;λ=0時(shí)λ=
3.運(yùn)算定律:結(jié)合律:λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律:(λ+μ)=λ+μ ②
第二分配律:λ(+)=λ+λ ③
結(jié)合律證明:
如果λ=0,μ=0,=至少有一個(gè)成立,則①式成立
如果λ0,μ0,有:|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||
∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同號(hào),則①式兩端向量的方向都與同向;
如果λ、μ異號(hào),則①式兩端向量的方向都與反向。
從而λ(μ)=(λμ)
第一分配律證明:
如果λ=0,μ=0,=至少有一個(gè)成立,則②式顯然成立
如果λ0,μ0,
當(dāng)λ、μ同號(hào)時(shí),則λ和μ同向,
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同號(hào) ∴②兩邊向量方向都與同向
即:|(λ+μ)|=|λ+μ|
當(dāng)λ、μ異號(hào),當(dāng)λ>μ時(shí) ②兩邊向量的方向都與λ同向
當(dāng)λ<μ時(shí) ②兩邊向量的方向都與μ同向
還可證:|(λ+μ)|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律證明:
如果=,=中至少有一個(gè)成立,或λ=0,λ=1則③式顯然成立
O
A
B
B1
A1
當(dāng),且λ0,λ1時(shí)
1當(dāng)λ>0且λ1時(shí)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,
作 λ λ
則+ λ+λ
由作法知:∥有OAB=OA1B1 ||=λ||
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1
∴λ AOB= A1OB1
因此,O,B,B1在同一直線上,||=|λ| 與λ方向也相同
A
O
B
B1
A1
λ(+)=λ+λ
當(dāng)λ<0時(shí) 可類似證明:λ(+)=λ+λ
∴ ③式成立
4.例一 (見P104)略
三、向量共線的充要條件(向量共線定理)
1. 若有向量()、,實(shí)數(shù)λ,使=λ 則由實(shí)數(shù)與向量積的定義知:與為共線向量
若與共線()且||:||=μ,則當(dāng)與同向時(shí)=μ
當(dāng)與反向時(shí)=-μ
從而得:向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ
使=λ
2.例二(P104-105 略)
三、小結(jié):
四、作業(yè): 課本 P105 練習(xí) P107-108 習(xí)題5.3 1、2