2019-2020年高中數學復習講義 第二章 函數A.doc

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2019-2020年高中數學復習講義 第二章 函數A 映射 特殊化 函數 具體化 一般化 概念 圖像 表 示 方 法 定義域 值域 單調性 奇偶性 基本初等函數Ⅰ 冪函數 指數函數 對數函數 二次函數 指數 對數 互 逆 函數與方程 應用問題 【知識導讀】 【方法點撥】 函數是中學數學中最重要，最基礎的內容之一，是學習高等數學的基礎．高中函數以具體的冪函數，指數函數，對數函數和三角函數的概念，性質和圖像為主要研究對象，適當研究分段函數，含絕對值的函數和抽象函數；同時要對初中所學二次函數作深入理解． 1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質的基礎，是解題的基本出發(fā)點．利用定義，可直接判斷所給的對應是否滿足函數的條件，證明或判斷函數的單調性和奇偶性等． 2.重視“數形結合思想”滲透．“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．當你所研究的問題較為抽象時，當你的思維陷入困境時，當你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議：畫個圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題． 3.強化“分類討論思想”應用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”． 4.掌握“函數與方程思想”．函數與方程思想是最重要，最基本的數學思想方法之一，它在整個高中數學中的地位與作用很高．函數的思想包括運用函數的概念和性質去分析問題，轉化問題和解決問題． 第1課 函數的概念 【考點導讀】 1.在體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型的基礎上，通過集合與對應的語言刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域． 2.準確理解函數的概念，能根據函數的三要素判斷兩個函數是否為同一函數． 【基礎練習】 1．設有函數組：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一個函數的有___②④⑤___． y 1 2 2 x O ② 1 2 2 x y O ① 1 2 2 x O ③ y 2.設集合，，從到有四種對應如圖所示： 1 2 2 x O ④ y 其中能表示為到的函數關系的有_____②③____． 3.寫出下列函數定義域： (1) 的定義域為______________； (2) 的定義域為______________； (3) 的定義域為______________； (4) 的定義域為_________________． 且且 4．已知三個函數:(1)； (2)； (3)．寫出使各函數式有意義時，，的約束條件： (1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 5.寫出下列函數值域： (1) ，；值域是． (2) ； 值域是． (3) ，． 值域是． 【范例解析】 例1.設有函數組：①，；②，； ③，；④，．其中表示同一個函數的有③④． 分析：判斷兩個函數是否為同一函數，關鍵看函數的三要素是否相同． 解：在①中，的定義域為，的定義域為，故不是同一函數；在②中，的定義域為，的定義域為，故不是同一函數；③④是同一函數． 點評：兩個函數當它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數．而當一個函數定義域和對應法則確定時，它的值域也就確定，故判斷兩個函數是否為同一函數，只需判斷它的定義域和對應法則是否相同即可． 例2.求下列函數的定義域：① ； ② ； 解：（1）① 由題意得：解得且或且， 故定義域為． ② 由題意得：，解得，故定義域為． 例3.求下列函數的值域： （1），； （2）； （3）． 分析：運用配方法，逆求法，換元法等方法求函數值域． （1） 解：，，函數的值域為； （2） 解法一：由，，則，，故函數值域為． 解法二：由，則，，，，故函數值域為． （3）解：令，則，， 當時，，故函數值域為． 點評：二次函數或二次函數型的函數求值域可用配方法；逆求法利用函數有界性求函數的值域；用換元法求函數的值域應注意新元的取值范圍． 【反饋演練】 1．函數f(x)＝的定義域是___________． 2．函數的定義域為_________________． 3. 函數的值域為________________． 4. 函數的值域為_____________． 5．函數的定義域為_____________________． 6.記函數f(x)=的定義域為A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域為B． (1) 求A； (2) 若BA，求實數a的取值范圍． 解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0． ∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ． ∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1， ∴≤a<1或a≤－2，故當BA時， 實數a的取值范圍是(－∞,－2]∪[,1)． 第2課 函數的表示方法 【考點導讀】 1.會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法，列表法，解析法）表示函數． 2.求解析式一般有四種情況：（1）根據某個實際問題須建立一種函數關系式；（2）給出函數特征，利用待定系數法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式． 【基礎練習】 1.設函數，，則_________；__________． 2.設函數，,則_____3_______；；． 第5題 3.已知函數是一次函數，且，,則__15___． (0≤x≤2) 4.設f(x)＝，則f[f()]＝_____________． 5.如圖所示的圖象所表示的函數解析式為__________________________． 【范例解析】 例1.已知二次函數的最小值等于4，且，求的解析式． 分析：給出函數特征，可用待定系數法求解． 解法一：設，則解得 故所求的解析式為． 解法二：，拋物線有對稱軸．故可設． 將點代入解得．故所求的解析式為． 解法三：設，由，知有兩個根0，2， 可設，， 將點代入解得．故所求的解析式為． 點評：三種解法均是待定系數法，也是求二次函數解析式常用的三種形式：一般式，頂點式，零點式． x y O 1 2 3 4 10 20 30 40 50 60 例2 例2.甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家．如圖，表示甲從出發(fā)到乙家為止經過的路程y（km）與時間x（分）的關系．試寫出的函數解析式． 分析：理解題意，根據圖像待定系數法求解析式． 解：當時，直線方程為，當時，直線方程為， 點評：建立函數的解析式是解決實際問題的關鍵，把題中文字語言描述的數學關系用數學符號語言表達．要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域． 【反饋演練】 1．若，，則（ D ） 　?。粒?　　　　?。拢　　　。茫　。模? 2．已知，且，則m等于________． 3. 已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數g(x)的解析式． 解：設函數的圖象上任意一點關于原點的對稱點為， 則 ∵點在函數的圖象上 ∴． 第3課 函數的單調性 【考點導讀】 1.理解函數單調性，最大（?。┲导捌鋷缀我饬x； 2.會運用單調性的定義判斷或證明一些函數的增減性． 【基礎練習】 1.下列函數中： ①； ②； ③； ④． 其中，在區(qū)間(0，2)上是遞增函數的序號有___②___． 2.函數的遞增區(qū)間是___ R ___． 3.函數的遞減區(qū)間是__________． 4.已知函數在定義域R上是單調減函數，且，則實數a的取值范圍__________． 5.已知下列命題： ①定義在上的函數滿足，則函數是上的增函數； ②定義在上的函數滿足，則函數在上不是減函數； ③定義在上的函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上也是增函數，則函數在上是增函數； ④定義在上的函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上也是增函數，則函數在上是增函數． 其中正確命題的序號有_____②______． 【范例解析】 例 . 求證：（1）函數在區(qū)間上是單調遞增函數； （2）函數在區(qū)間和上都是單調遞增函數． 分析：利用單調性的定義證明函數的單調性，注意符號的確定． 證明：（1）對于區(qū)間內的任意兩個值，，且， 因為 ， 又，則，，得， 故，即，即． 所以，函數在區(qū)間上是單調增函數． （2）對于區(qū)間內的任意兩個值，，且， 因為， 又，則，，得， 故，即，即． 所以，函數在區(qū)間上是單調增函數． 同理，對于區(qū)間，函數是單調增函數； 所以，函數在區(qū)間和上都是單調增函數． 點評：利用單調性定義證明函數的單調性，一般分三步驟：（1）在給定區(qū)間內任意取兩值，；（2）作差，化成因式的乘積并判斷符號；（3）給出結論． 例2.確定函數的單調性． 分析：作差后，符號的確定是關鍵． 解：由，得定義域為．對于區(qū)間內的任意兩個值，，且， 則 又，， ，即． 所以，在區(qū)間上是增函數． 點評：運用有理化可以對含根號的式子進行符號的確定． 【反饋演練】 1．已知函數，則該函數在上單調遞__減__，（填“增”“減”）值域為_________． 2．已知函數在上是減函數，在上是增函數，則__25___. 3. 函數的單調遞增區(qū)間為. 4. 函數的單調遞減區(qū)間為． 5. 已知函數在區(qū)間上是增函數，求實數a的取值范圍． 解：設對于區(qū)間內的任意兩個值，，且， 則， ，，得，，，即． 第4課 函數的奇偶性 【考點導讀】 1.了解函數奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡單函數的奇偶性； 2.定義域對奇偶性的影響：定義域關于原點對稱是函數為奇函數或偶函數的必要但不充分條件；不具備上述對稱性的，既不是奇函數，也不是偶函數． 【基礎練習】 1.給出4個函數：①；②；③；④． 其中奇函數的有___①④___；偶函數的有____②____；既不是奇函數也不是偶函數的有____③____． 2. 設函數為奇函數，則實數 －1 ． 3.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（ A ） A. B. C. D. 【范例解析】 例1.判斷下列函數的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 分析：判斷函數的奇偶性，先看定義域是否關于原點對稱，再利用定義判斷． 解：（1）定義域為，關于原點對稱；, 所以為偶函數． （2）定義域為，關于原點對稱；， ，故為奇函數． （3）定義域為，關于原點對稱；，且， 所以既為奇函數又為偶函數． （4）定義域為，不關于原點對稱；故既不是奇函數也不是偶函數． （5）定義域為，關于原點對稱；，，則且，故既不是奇函數也不是偶函數． （6）定義域為，關于原點對稱； ，又， ，故為奇函數． 點評：判斷函數的奇偶性，應首先注意其定義域是否關于原點對稱；其次，利用定義即或判斷，注意定義的等價形式或． 例2. 已知定義在上的函數是奇函數，且當時，，求函數的解析式，并指出它的單調區(qū)間． 分析：奇函數若在原點有定義，則． 解：設，則，． 又是奇函數，，． 當時，． 綜上，的解析式為． 作出的圖像，可得增區(qū)間為，，減區(qū)間為，． 點評：（1）求解析式時的情況不能漏；（2）兩個單調區(qū)間之間一般不用“”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過“”實現(xiàn)轉化；（4）根據圖像寫單調區(qū)間． 【反饋演練】 1．已知定義域為R的函數在區(qū)間上為減函數，且函數為偶函數，則（ D ） A． B． C． D． 2. 在上定義的函數是偶函數，且，若在區(qū)間是減函數，則函數（ B ） A.在區(qū)間上是增函數，區(qū)間上是增函數 B.在區(qū)間上是增函數，區(qū)間上是減函數 C.在區(qū)間上是減函數，區(qū)間上是增函數 D.在區(qū)間上是減函數，區(qū)間上是減函數 3. 設，則使函數的定義域為R且為奇函數的所有的值為____1，3 ___． 4．設函數為奇函數，則________． 5．若函數是定義在R上的偶函數，在上是減函數，且，則使得的x的取 值范圍是（－2，2）． 6. 已知函數是奇函數．又，,求a，b，c的值； 解：由，得，得．又，得， 而，得，解得．又，或1． 若，則，應舍去；若，則． 所以，． 綜上，可知的值域為． 第5 課 函數的圖像 【考點導讀】 1.掌握基本初等函數的圖像特征，學會運用函數的圖像理解和研究函數的性質； 2.掌握畫圖像的基本方法：描點法和圖像變換法． 【基礎練習】 向上平移3個單位 向右平移1個單位 1.根據下列各函數式的變換，在箭頭上填寫對應函數圖像的變換： 向右平移3個單位 作關于y軸對稱的圖形 （1） ； （2） ． 2.作出下列各個函數圖像的示意圖： （1）； （2）； （3）． 解：（1）將的圖像向下平移1個單位，可得的圖像．圖略； （2）將的圖像向右平移2個單位，可得的圖像．圖略； O y x 1 －1 （3）由，將的圖像先向右平移1個單位，得的圖像，再向下平移1個單位，可得的圖像．如下圖所示： 3.作出下列各個函數圖像的示意圖： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）作的圖像關于y軸的對稱圖像，如圖1所示； （2）作的圖像關于x軸的對稱圖像，如圖2所示； （3）作的圖像及它關于y軸的對稱圖像，如圖3所示； －1 O y x 圖1 （4）作的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示． －1 O y x 圖3 1 －1 O y x 圖2 －1 O y x 圖4 4. 函數的圖象是 （ B ） A 1 x y O B 1 x y O C 1 x y O D 1 x y O -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 【范例解析】 例1.作出函數及，，，，的圖像． 分析：根據圖像變換得到相應函數的圖像． 解：與的圖像關于y軸對稱； 與的圖像關于x軸對稱； 將的圖像向左平移2個單位得到的圖像； 保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分； 將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分．圖略． 點評：圖像變換的類型主要有平移變換，對稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對稱變換：與的圖像關于y軸對稱； 與的圖像關于x軸對稱；與的圖像關于原點對稱； 保留的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分； 將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留在y軸右邊部分． 例2.設函數. （1）在區(qū)間上畫出函數的圖像； （2）設集合. 試判斷集合和之間的關系，并給出證明. 分析：根據圖像變換得到的圖像，第（3）問實質是恒成立問題． 解：（1） （2）方程的解分別是和，由于在和上單調遞減，在和上單調遞增，因此. 由于. 【反饋演練】 O y 1 1 B． x O y x 1 1 A． 1．函數的圖象是（ B ） O y x －1 1 C． O y －1 1 D． x 2. 為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象向右平移1個單位長度得到． 3．已知函數的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則=． 4．設f(x)是定義在R上的奇函數，且y=f (x)的圖象關于直線對稱，則 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函數的簡圖： （1）； （2）； （3）．