2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第二章 函數(shù)A.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第二章 函數(shù)A.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第二章 函數(shù)A
映射
特殊化
函數(shù)
具體化
一般化
概念
圖像
表 示 方 法
定義域 值域
單調(diào)性 奇偶性
基本初等函數(shù)Ⅰ
冪函數(shù)
指數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)
二次函數(shù)
指數(shù)
對(duì)數(shù)
互 逆
函數(shù)與方程
應(yīng)用問(wèn)題
【知識(shí)導(dǎo)讀】
【方法點(diǎn)撥】
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要,最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一,是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高中函數(shù)以具體的冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念,性質(zhì)和圖像為主要研究對(duì)象,適當(dāng)研究分段函數(shù),含絕對(duì)值的函數(shù)和抽象函數(shù);同時(shí)要對(duì)初中所學(xué)二次函數(shù)作深入理解.
1.活用“定義法”解題.定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ),是解題的基本出發(fā)點(diǎn).利用定義,可直接判斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿(mǎn)足函數(shù)的條件,證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等.
2.重視“數(shù)形結(jié)合思想”滲透.“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān),形缺數(shù)時(shí)難入微”.當(dāng)你所研究的問(wèn)題較為抽象時(shí),當(dāng)你的思維陷入困境時(shí),當(dāng)你對(duì)雜亂無(wú)章的條件感到頭緒混亂時(shí),一個(gè)很好的建議:畫(huà)個(gè)圖像!利用圖形的直觀(guān)性,可迅速地破解問(wèn)題,乃至最終解決問(wèn)題.
3.強(qiáng)化“分類(lèi)討論思想”應(yīng)用.分類(lèi)討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法.進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí),我們要遵循的原則是:分類(lèi)的對(duì)象是確定的,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的,不遺漏、不重復(fù),科學(xué)地劃分,分清主次,不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”.
4.掌握“函數(shù)與方程思想”.函數(shù)與方程思想是最重要,最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一,它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位與作用很高.函數(shù)的思想包括運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題,轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題.
第1課 函數(shù)的概念
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.在體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,通過(guò)集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù),體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用;了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.
2.準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念,能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.設(shè)有函數(shù)組:①,;②,;③,;④,;⑤,.其中表示同一個(gè)函數(shù)的有___②④⑤___.
y
1
2
2
x
O
②
1
2
2
x
y
O
①
1
2
2
x
O
③
y
2.設(shè)集合,,從到有四種對(duì)應(yīng)如圖所示:
1
2
2
x
O
④
y
其中能表示為到的函數(shù)關(guān)系的有_____②③____.
3.寫(xiě)出下列函數(shù)定義域:
(1) 的定義域?yàn)開(kāi)_____________; (2) 的定義域?yàn)開(kāi)_____________;
(3) 的定義域?yàn)開(kāi)_____________; (4) 的定義域?yàn)開(kāi)________________.
且且
4.已知三個(gè)函數(shù):(1); (2); (3).寫(xiě)出使各函數(shù)式有意義時(shí),,的約束條件:
(1)______________________; (2)______________________; (3)______________________________.
5.寫(xiě)出下列函數(shù)值域:
(1) ,;值域是.
(2) ; 值域是.
(3) ,. 值域是.
【范例解析】
例1.設(shè)有函數(shù)組:①,;②,;
③,;④,.其中表示同一個(gè)函數(shù)的有③④.
分析:判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù),關(guān)鍵看函數(shù)的三要素是否相同.
解:在①中,的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?,故不是同一函?shù);在②中,的定義域?yàn)?,的定義域?yàn)椋什皇峭缓瘮?shù);③④是同一函數(shù).
點(diǎn)評(píng):兩個(gè)函數(shù)當(dāng)它們的三要素完全相同時(shí),才能表示同一函數(shù).而當(dāng)一個(gè)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定時(shí),它的值域也就確定,故判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù),只需判斷它的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同即可.
例2.求下列函數(shù)的定義域:① ; ② ;
解:(1)① 由題意得:解得且或且,
故定義域?yàn)椋?
② 由題意得:,解得,故定義域?yàn)椋?
例3.求下列函數(shù)的值域:
(1),;
(2);
(3).
分析:運(yùn)用配方法,逆求法,換元法等方法求函數(shù)值域.
(1) 解:,,函數(shù)的值域?yàn)椋?
(2) 解法一:由,,則,,故函數(shù)值域?yàn)椋?
解法二:由,則,,,,故函數(shù)值域?yàn)椋?
(3)解:令,則,,
當(dāng)時(shí),,故函數(shù)值域?yàn)椋?
點(diǎn)評(píng):二次函數(shù)或二次函數(shù)型的函數(shù)求值域可用配方法;逆求法利用函數(shù)有界性求函數(shù)的值域;用換元法求函數(shù)的值域應(yīng)注意新元的取值范圍.
【反饋演練】
1.函數(shù)f(x)=的定義域是___________.
2.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________________.
3. 函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______________.
4. 函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____________.
5.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________________.
6.記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定義域?yàn)锽.
(1) 求A;
(2) 若BA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)由2-≥0,得≥0,x<-1或x≥1, 即A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞) .
(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) .
∵BA, ∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2,而a<1,
∴≤a<1或a≤-2,故當(dāng)BA時(shí), 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]∪[,1).
第2課 函數(shù)的表示方法
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法,列表法,解析法)表示函數(shù).
2.求解析式一般有四種情況:(1)根據(jù)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題須建立一種函數(shù)關(guān)系式;(2)給出函數(shù)特征,利用待定系數(shù)法求解析式;(3)換元法求解析式;(4)解方程組法求解析式.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.設(shè)函數(shù),,則_________;__________.
2.設(shè)函數(shù),,則_____3_______;;.
第5題
3.已知函數(shù)是一次函數(shù),且,,則__15___.
(0≤x≤2)
4.設(shè)f(x)=,則f[f()]=_____________.
5.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為_(kāi)_________________________.
【范例解析】
例1.已知二次函數(shù)的最小值等于4,且,求的解析式.
分析:給出函數(shù)特征,可用待定系數(shù)法求解.
解法一:設(shè),則解得
故所求的解析式為.
解法二:,拋物線(xiàn)有對(duì)稱(chēng)軸.故可設(shè).
將點(diǎn)代入解得.故所求的解析式為.
解法三:設(shè),由,知有兩個(gè)根0,2,
可設(shè),,
將點(diǎn)代入解得.故所求的解析式為.
點(diǎn)評(píng):三種解法均是待定系數(shù)法,也是求二次函數(shù)解析式常用的三種形式:一般式,頂點(diǎn)式,零點(diǎn)式.
x
y
O
1
2
3
4
10
20
30
40
50
60
例2
例2.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園,甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km,甲10時(shí)出發(fā)前往乙家.如圖,表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(分)的關(guān)系.試寫(xiě)出的函數(shù)解析式.
分析:理解題意,根據(jù)圖像待定系數(shù)法求解析式.
解:當(dāng)時(shí),直線(xiàn)方程為,當(dāng)時(shí),直線(xiàn)方程為,
點(diǎn)評(píng):建立函數(shù)的解析式是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵,把題中文字語(yǔ)言描述的數(shù)學(xué)關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá).要注意求出解析式后,一定要寫(xiě)出其定義域.
【反饋演練】
1.若,,則( D )
A. ?。拢 。茫 。模?
2.已知,且,則m等于________.
3. 已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且f(x)=x2+2x.求函數(shù)g(x)的解析式.
解:設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,
則
∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上
∴.
第3課 函數(shù)的單調(diào)性
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解函數(shù)單調(diào)性,最大(小)值及其幾何意義;
2.會(huì)運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷或證明一些函數(shù)的增減性.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.下列函數(shù)中:
①; ②; ③; ④.
其中,在區(qū)間(0,2)上是遞增函數(shù)的序號(hào)有___②___.
2.函數(shù)的遞增區(qū)間是___ R ___.
3.函數(shù)的遞減區(qū)間是__________.
4.已知函數(shù)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù),且,則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________.
5.已知下列命題:
①定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,則函數(shù)是上的增函數(shù);
②定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,則函數(shù)在上不是減函數(shù);
③定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上也是增函數(shù),則函數(shù)在上是增函數(shù);
④定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上也是增函數(shù),則函數(shù)在上是增函數(shù).
其中正確命題的序號(hào)有_____②______.
【范例解析】
例 . 求證:(1)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);
(2)函數(shù)在區(qū)間和上都是單調(diào)遞增函數(shù).
分析:利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性,注意符號(hào)的確定.
證明:(1)對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,,且,
因?yàn)?
,
又,則,,得,
故,即,即.
所以,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).
(2)對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,,且,
因?yàn)椋?
又,則,,得,
故,即,即.
所以,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).
同理,對(duì)于區(qū)間,函數(shù)是單調(diào)增函數(shù);
所以,函數(shù)在區(qū)間和上都是單調(diào)增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性,一般分三步驟:(1)在給定區(qū)間內(nèi)任意取兩值,;(2)作差,化成因式的乘積并判斷符號(hào);(3)給出結(jié)論.
例2.確定函數(shù)的單調(diào)性.
分析:作差后,符號(hào)的確定是關(guān)鍵.
解:由,得定義域?yàn)椋畬?duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,,且,
則
又,,
,即.
所以,在區(qū)間上是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):運(yùn)用有理化可以對(duì)含根號(hào)的式子進(jìn)行符號(hào)的確定.
【反饋演練】
1.已知函數(shù),則該函數(shù)在上單調(diào)遞__減__,(填“增”“減”)值域?yàn)開(kāi)________.
2.已知函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),則__25___.
3. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
4. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
5. 已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:設(shè)對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,,且,
則,
,,得,,,即.
第4課 函數(shù)的奇偶性
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.了解函數(shù)奇偶性的含義,能利用定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性;
2.定義域?qū)ζ媾夹缘挠绊懀憾x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件;不具備上述對(duì)稱(chēng)性的,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.給出4個(gè)函數(shù):①;②;③;④.
其中奇函數(shù)的有___①④___;偶函數(shù)的有____②____;既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有____③____.
2. 設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù) -1 .
3.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( A )
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6)
分析:判斷函數(shù)的奇偶性,先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),再利用定義判斷.
解:(1)定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);,
所以為偶函數(shù).
(2)定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);,
,故為奇函數(shù).
(3)定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);,且,
所以既為奇函數(shù)又為偶函數(shù).
(4)定義域?yàn)?,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(5)定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);,,則且,故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(6)定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
,又,
,故為奇函數(shù).
點(diǎn)評(píng):判斷函數(shù)的奇偶性,應(yīng)首先注意其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);其次,利用定義即或判斷,注意定義的等價(jià)形式或.
例2. 已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,求函數(shù)的解析式,并指出它的單調(diào)區(qū)間.
分析:奇函數(shù)若在原點(diǎn)有定義,則.
解:設(shè),則,.
又是奇函數(shù),,.
當(dāng)時(shí),.
綜上,的解析式為.
作出的圖像,可得增區(qū)間為,,減區(qū)間為,.
點(diǎn)評(píng):(1)求解析式時(shí)的情況不能漏;(2)兩個(gè)單調(diào)區(qū)間之間一般不用“”連接;(3)利用奇偶性求解析式一般是通過(guò)“”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化;(4)根據(jù)圖像寫(xiě)單調(diào)區(qū)間.
【反饋演練】
1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),且函數(shù)為偶函數(shù),則( D )
A. B. C. D.
2. 在上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且,若在區(qū)間是減函數(shù),則函數(shù)( B )
A.在區(qū)間上是增函數(shù),區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù),區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù),區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù),區(qū)間上是減函數(shù)
3. 設(shè),則使函數(shù)的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有的值為_(kāi)___1,3 ___.
4.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),則________.
5.若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),在上是減函數(shù),且,則使得的x的取
值范圍是(-2,2).
6. 已知函數(shù)是奇函數(shù).又,,求a,b,c的值;
解:由,得,得.又,得,
而,得,解得.又,或1.
若,則,應(yīng)舍去;若,則.
所以,.
綜上,可知的值域?yàn)椋?
第5 課 函數(shù)的圖像
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.掌握基本初等函數(shù)的圖像特征,學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì);
2.掌握畫(huà)圖像的基本方法:描點(diǎn)法和圖像變換法.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
向上平移3個(gè)單位
向右平移1個(gè)單位
1.根據(jù)下列各函數(shù)式的變換,在箭頭上填寫(xiě)對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的變換:
向右平移3個(gè)單位
作關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形
(1) ;
(2) .
2.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖:
(1); (2); (3).
解:(1)將的圖像向下平移1個(gè)單位,可得的圖像.圖略;
(2)將的圖像向右平移2個(gè)單位,可得的圖像.圖略;
O
y
x
1
-1
(3)由,將的圖像先向右平移1個(gè)單位,得的圖像,再向下平移1個(gè)單位,可得的圖像.如下圖所示:
3.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖:
(1); (2); (3); (4).
解:(1)作的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖像,如圖1所示;
(2)作的圖像關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖像,如圖2所示;
(3)作的圖像及它關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖像,如圖3所示;
-1
O
y
x
圖1
(4)作的圖像,并將x軸下方的部分翻折到x軸上方,如圖4所示.
-1
O
y
x
圖3
1
-1
O
y
x
圖2
-1
O
y
x
圖4
4. 函數(shù)的圖象是 ( B )
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
【范例解析】
例1.作出函數(shù)及,,,,的圖像.
分析:根據(jù)圖像變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖像.
解:與的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);
與的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng);
將的圖像向左平移2個(gè)單位得到的圖像;
保留的圖像在x軸上方的部分,將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去,并去掉原下方的部分;
將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分,并保留在y軸右邊部分.圖略.
點(diǎn)評(píng):圖像變換的類(lèi)型主要有平移變換,對(duì)稱(chēng)變換兩種.平移變換:左“+”右“-”,上“+”下“-”;對(duì)稱(chēng)變換:與的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);
與的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng);與的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
保留的圖像在x軸上方的部分,將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去,并去掉原下方的部分;
將的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分,并保留在y軸右邊部分.
例2.設(shè)函數(shù).
(1)在區(qū)間上畫(huà)出函數(shù)的圖像;
(2)設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系,并給出證明.
分析:根據(jù)圖像變換得到的圖像,第(3)問(wèn)實(shí)質(zhì)是恒成立問(wèn)題.
解:(1)
(2)方程的解分別是和,由于在和上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增,因此.
由于.
【反饋演練】
O
y
1
1
B.
x
O
y
x
1
1
A.
1.函數(shù)的圖象是( B )
O
y
x
-1
1
C.
O
y
-1
1
D.
x
2. 為了得到函數(shù)的圖象,可以把函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.
3.已知函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,則=.
4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f (x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ .
5. 作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖:
(1); (2); (3).