2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案
●知識(shí)梳理
本節(jié)主要內(nèi)容是直線與圓錐曲線公共點(diǎn)問(wèn)題、相交弦問(wèn)題以及它們的綜合應(yīng)用.解決這些問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對(duì)應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.對(duì)相交弦長(zhǎng)問(wèn)題及中點(diǎn)弦問(wèn)題要正確運(yùn)用“設(shè)而不求”.涉及焦點(diǎn)弦的問(wèn)題還可以利用圓錐曲線的焦半徑公式.
●點(diǎn)擊雙基
1.過(guò)點(diǎn)(2,4)作直線與拋物線y2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
解析:數(shù)形結(jié)合法,同時(shí)注意點(diǎn)在曲線上的情況.
答案:B
2.已知雙曲線C:x2-=1,過(guò)點(diǎn)P(1,1)作直線l,使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則滿足上述條件的直線l共有
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
解析:數(shù)形結(jié)合法,與漸近線平行、相切.
答案:D
3.雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),則直線PF的斜率的變化范圍是
A.(-∞,0)
B.(1,+∞)
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:數(shù)形結(jié)合法,與漸近線斜率比較.
答案:C
4.過(guò)拋物線y2=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),已知|AB|=8,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則 △OAB的重心的橫坐標(biāo)為_(kāi)___________.
解析:由題意知拋物線焦點(diǎn)F(1,0).設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)的直線為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).代入拋物線方程消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.
∵k2≠0,∴x1+x2=,x1x2=1.
∵|AB|=
=
==8,∴k2=1.
∴△OAB的重心的橫坐標(biāo)為x==2.
答案:2
5.已知(4,2)是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點(diǎn),則l的方程是____________.
解析:設(shè)直線l與橢圓交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2),
將P1、P2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程相減得直線l斜率k==-
= -=-.
由點(diǎn)斜式可得l的方程為x+2y-8=0.
答案:x+2y-8=0
●典例剖析
【例1】 已知直線l:y=tanα(x+2)交橢圓x2+9y2=9于A、B兩點(diǎn),若α為l的傾斜角,且|AB|的長(zhǎng)不小于短軸的長(zhǎng),求α的取值范圍.
剖析:確定某一變量的取值范圍,應(yīng)設(shè)法建立關(guān)于這一變量的不等式,題設(shè)中已經(jīng)明確給定弦長(zhǎng)≥2b,最后可歸結(jié)為計(jì)算弦長(zhǎng)求解不等式的問(wèn)題.
解:將l方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y,得(1+9tan2α)x2+36tan2αx+72tan2α-9=0,
∴|AB|=|x2-x1|==.
由|AB|≥2,得tan2α≤,∴-≤tanα≤.
∴α的取值范圍是[0,)∪[,π).
評(píng)述:對(duì)于弦長(zhǎng)公式一定要能熟練掌握、靈活運(yùn)用.本題由于l的方程由tanα給出,所以可以認(rèn)定α≠,否則涉及弦長(zhǎng)計(jì)算時(shí),還應(yīng)討論α=時(shí)的情況.
深化拓展
本題若把條件|AB|的長(zhǎng)不小于短軸的長(zhǎng)去掉,改為求|AB|的長(zhǎng)的取值范圍.讀者不妨一試.
提示:|AB|=,
設(shè)|AB|=y,即y=,
9ytan2α+y=6tan2α+6,
(9y-6)tan2α+y-6=0.
當(dāng)y≠時(shí),由Δ≥0得<y≤6.
當(dāng)y=時(shí),l與x軸垂直,
故|AB|的范圍是[,6].
【例2】 已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當(dāng)△OAB的面積等于時(shí),求k的值.
剖析:證明OA⊥OB可有兩種思路(如下圖):
(1)證kOAkOB=-1;
(2)取AB中點(diǎn)M,證|OM|=|AB|.
求k的值,關(guān)鍵是利用面積建立關(guān)于k的方程,求△AOB的面積也有兩種思路:
(1)利用S△OAB=|AB|h(h為O到AB的距離);
(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),直線和x軸交點(diǎn)為N,利用S△OAB=|AB||y1-y2|.
請(qǐng)同學(xué)們各選一種思路給出解法.
解方程組時(shí),是消去x還是消去y,這要根據(jù)解題的思路去確定.當(dāng)然,這里消去x是最簡(jiǎn)捷的.
(1)證明:如下圖,由方程組
消去x后,整理得
y2=-x,
y=k(x+1)
ky2+y-k=0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由韋達(dá)定理y1y2=-1.
∵A、B在拋物線y2=-x上,∴y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2.
∵kOAkOB====-1,∴OA⊥OB.
(2)解:設(shè)直線與x軸交于N,又顯然k≠0,
∴令y=0,則x=-1,即N(-1,0).
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON||y1-y2|,
∴S△OAB=1
=.
∵S△OAB=,∴=.解得k=.
評(píng)述:本題考查了兩直線垂直的充要條件、三角形的面積公式、函數(shù)與方程的思想,以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
【例3】 在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱,求k的取值范圍.
剖析:設(shè)B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱,易得直線BC:x=-ky+m,由B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱可得m與k的關(guān)系式,
而直線BC與拋物線有兩交點(diǎn),
∴Δ>0,即可求得k的范圍.
解:設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱,直線BC方程為x=-ky+m,代入y2=4x,得y2+4ky-4m=0,
設(shè)B(x1,y1)、C(x2,y2),BC中點(diǎn)M(x0,y0),
則y0==-2k,x0=2k2+m.
∵點(diǎn)M(x0,y0)在直線l上,
∴-2k=k(2k2+m)+3.
∴m=-.
又∵BC與拋物線交于不同兩點(diǎn),
∴Δ=16k2+16m>0.
把m代入化簡(jiǎn)得<0,
即<0,解得-1<k<0.
評(píng)述:對(duì)稱問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)之一,由對(duì)稱易得兩個(gè)關(guān)系式.本題運(yùn)用了“設(shè)而不求”,解決本題的關(guān)鍵是由B、C兩點(diǎn)在拋物線上得“Δ>0”.
思考討論
將直線BC設(shè)為x=-ky+m.好!若直線BC的方程設(shè)為y=-x+m,本題運(yùn)算量增大,同學(xué)們不妨一試.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.若雙曲線x2-y2=1的右支上一點(diǎn)P(a,b)到直線y=x的距離為,則a+b的值為
A.- B. C. D.2
解析:P(a,b)點(diǎn)在雙曲線上,則有a2-b2=1,即(a+b)(a-b)=1.
d==,∴|a-b|=2.
又P點(diǎn)在右支上,則有a>b,∴a-b=2.∴|a+b|2=1,a+b=.
答案:B
2.已知對(duì)k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓+=1恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A.(0,1) B.(0,5)
C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5)
解析:直線y-kx-1=0恒過(guò)點(diǎn)(0,1),僅當(dāng)點(diǎn)(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi)時(shí),此直線才恒與橢圓有公共點(diǎn).所以,≤1且m>0,得m≥1.故本題應(yīng)選C.
答案:C
3.已知雙曲線x2-=1,過(guò)P(2,1)點(diǎn)作一直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn),并使P為AB的中點(diǎn),則直線AB的斜率為_(kāi)___________.
解析:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),代入雙曲線方程3x2-y2=1相減得直線AB的斜率
kAB==
===6.
答案:6
4.AB為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦,若|AB|=1,則AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)__________;若AB的傾斜角為α,則|AB|=____________.
解析:設(shè)過(guò)F(,0)的直線為y=k(x-),k≠0,代入拋物線方程,由條件可得結(jié)果.
答案:
5.求過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線被橢圓x2+2y2=2所截弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
解:設(shè)直線方程為y=kx+2,把它代入x2+2y2=2,
整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0.
要使直線和橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn),則Δ>0,即k<-或k>.
設(shè)直線與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),中點(diǎn)坐標(biāo)為C(x,y),則
x==,
y= +2=.
(k<-或k>),
從參數(shù)方程
x=,
y=
消去k得x2+2(y-1)2=2,且|x|<=,0<y<.
6.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,它的離心率為,與直線x+y-1=0相交于M、N兩點(diǎn),若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求橢圓方程.
解:設(shè)橢圓方程+=1(a>b>0),
∵e=,∴a2=4b2,即a=2b.
∴橢圓方程為+=1.
把直線方程代入化簡(jiǎn)得5x2-8x+4-4b2=0.
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=(4-4b2).
∴y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=(1-4b2).
由于OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0.解得b2=,a2=.
∴橢圓方程為x2+y2=1.
培養(yǎng)能力
7.試證明雙曲線-=1(a>0,b>0)上任意一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù).
證明:設(shè)P(x0,y0)是已知雙曲線上任意一點(diǎn),雙曲線的漸近線為bxay=0,則點(diǎn)P到兩漸近線的距離之積為d1d2==== 常數(shù).
8.已知直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.
使其恰有一組解.
解析:聯(lián)立方程組
y=(a+1)x-1,
y2=ax,
(1)當(dāng)a=0時(shí),此方程組恰有一組解
x=1,
y=0.
(2)當(dāng)a≠0時(shí),方程組化為y2-y-1=0.
若=0,即a=-1,方程組恰有一解
x=-1,
y=-1.
一解
若≠0,即a≠-1,令Δ=0,得1+4=0,解得a=-,這時(shí)方程組恰有
x=-5,
y=-2.
綜上所述,可知當(dāng)a=0,-1,-時(shí),直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn).
探究創(chuàng)新
9.(xx年北京)如下圖,橢圓的長(zhǎng)軸A1A2與x軸平行,短軸B1B2在y軸上,中心為 M(0,r)(b>r>0).
(1)寫(xiě)出橢圓的方程,求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率.
(2)直線y=k1x交橢圓于兩點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0);直線y=k2x交橢圓于兩點(diǎn)G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0).
求證:=.
(3)對(duì)于(2)中的C、D、G、H,設(shè)CH交x軸于點(diǎn)P,GD交x軸于點(diǎn)Q.
求證:|OP|=|OQ|.
(證明過(guò)程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形)
(1)解: 橢圓方程為+=1.
焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-,r),F(xiàn)2(,r),
離心率e=.
(2)證明:將直線CD的方程y=k1x代入橢圓方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,
整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0.
根據(jù)韋達(dá)定理,得
x1+x2=,x1x2=,
所以=. ①
將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程,同理可得
= ②
由①②得==.
所以結(jié)論成立.
(3)證明:設(shè)點(diǎn)P(p,0),點(diǎn)Q(q,0).
由C、P、H三點(diǎn)共線,得=,解得p=.
由D、Q、G三點(diǎn)共線,同理可得q=.
由=變形得-=,
即-=.
所以|p|=|q|,即|OP|=|OQ|.
●思悟小結(jié)
1.解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),對(duì)于消元后的一元二次方程,必須討論二次項(xiàng)的系數(shù)和判別式Δ,有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便.
2.涉及弦的中點(diǎn)問(wèn)題,除利用韋達(dá)定理外,也可以運(yùn)用平方差法,但必須以直線與圓錐曲線相交為前提,否則不宜用此法.
3.求圓錐曲線的弦長(zhǎng)時(shí),可利用弦長(zhǎng)公式
d==.
再結(jié)合韋達(dá)定理解決.焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)也可以直接利用焦半徑公式處理,可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化.
●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
1.直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為它們所對(duì)應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,往往通過(guò)消元最終歸結(jié)為討論一元二次方程根的情況.需要注意的是當(dāng)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或雙曲線的漸近線時(shí),直線與拋物線或雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn).
2.涉及直線與圓錐曲線相交弦的問(wèn)題,主要有這樣幾個(gè)方面:相交弦的長(zhǎng),有弦長(zhǎng)公式|AB|=|x2-x1|;弦所在直線的方程(如中點(diǎn)弦、相交弦等)、弦的中點(diǎn)的軌跡等,這可以利用“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)、設(shè)而不求”的方法(設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo),將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程,并不具體求出坐標(biāo),而是利用坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系直接導(dǎo)致問(wèn)題的解決).
3.涉及到圓錐曲線焦點(diǎn)弦的問(wèn)題,還可以利用圓錐曲線的焦半徑公式(即圓錐曲線的第二定義),應(yīng)掌握求焦半徑以及利用焦半徑解題的方法.
拓展題例
【例1】 (xx年福州市模擬題)已知拋物線C:y2=4(x-1),橢圓C1的左焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線l分別重合.
(1)設(shè)B是橢圓C1短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段BF的中點(diǎn)為P,求點(diǎn)P的軌跡C2的方程;
(2)如果直線x+y=m與曲線C2相交于不同兩點(diǎn)M、N,求m的取值范圍.
(1)解法一:由y2=4(x-1)知拋物線C的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(2,0).準(zhǔn)線l的方程為x=0.設(shè)動(dòng)橢圓C1的短軸的一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1)(x1>2,y1≠0),點(diǎn)P(x,y),
∴
則
x=, x1=2x-2,
y=, y1=2y.
∴B(2x-2,2y)(x>2,y≠0).
設(shè)點(diǎn)B在準(zhǔn)線x=0上的射影為點(diǎn)B′,橢圓的中心為點(diǎn)O′,則橢圓離心率e=,由=,得=,
整理,化簡(jiǎn)得y2=x-2(y≠0),這就是點(diǎn)P的軌跡方程.
解法二:拋物線y2=4(x-1)焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線l:x=0.設(shè)P(x,y),
∵P為BF中點(diǎn),
∴B(2x-2,2y)(x>2,y≠0).設(shè)橢圓C1的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c,
則c=(2x-2)-2=2x-4,b2=(2y)2=4y2,
∵(-c)-(-)=2,∴=2,
即b2=2c.∴4y2=2(2x-4),
即y2=x-2(y≠0),此即C2的軌跡方程.
(y≠0),得y2+y-m+2=0,令Δ=1-4(-m+2)>0,解得
(2)解:由
x+y=m,
y2=x-2
m>.
而當(dāng)m=2時(shí),直線x+y=2過(guò)點(diǎn)(2,0),這時(shí)它與曲線C2只有一個(gè)交點(diǎn),
∴所求m的取值范圍是(,2)∪(2,+∞).
【例2】 已知橢圓C:+=1(a>b>0),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,斜率為k的直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于A、B兩點(diǎn),設(shè)l與y軸交點(diǎn)為P,線段PF2的中點(diǎn)恰為B.
(1)若|k|≤,求橢圓C的離心率的取值范圍;
(2)若k=,A、B到右準(zhǔn)線距離之和為,求橢圓C的方程.
解:(1)設(shè)右焦點(diǎn)F2(c,0),則l:y=k(x-c).
令x=0,則y=-ck,∴P(0,-ck).
∵B為F2P的中點(diǎn),∴B(,-).
∵B在橢圓上,∴+=1.
∴k2==(-1)(4-e2)=+e2-5.
∵|k|≤,∴+e2-5≤.
∴(5e2-4)(e2-5)≤0.
∴≤e2<1.∴≤e<1.
(2)k=,∴e=.∴=.
∴a2=c2,b2=c2.橢圓方程為+=1,即x2+5y2=c2.
直線l方程為y=(x-c),B(,-c),右準(zhǔn)線為x=c.
設(shè)A(x0,y0),則(c-x0)+(c-)=,
∴x0=2c-,y0=(c-).
∵A在橢圓上,
∴(2c-)2+5[(c-)]2=c2.
解之得c=2或c=(不合題意,舍去).
∴橢圓方程為x2+5y2=5,即+y2=1.