2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.1.1-2 變化率問題 導(dǎo)數(shù)的概念教案 新人教A版選修1-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.1.1-2 變化率問題 導(dǎo)數(shù)的概念教案 新人教A版選修1-1 ●三維目標(biāo) 1.知識與技能 通過大量的實例的分析，讓學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)． 2．過程與方法 通過動手計算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力，通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法． 3．情感、態(tài)度與價值觀 學(xué)生在從平均變化率到瞬時變化率的探索過程中，通過動手算、動腦思和集體合作討論，發(fā)展思維能力，樹立敢于戰(zhàn)勝困難的信息，養(yǎng)成主動獲取知識和敢于探索求知的習(xí)慣，激發(fā)求知欲，增強合作交流意識． ●重點、難點 重點：了解導(dǎo)數(shù)概念的形成，理解導(dǎo)數(shù)有內(nèi)涵． 難點：在平均變化率的基礎(chǔ)上探求瞬時變化率，深刻理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵． 通過列舉大量實例增強學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念形成的理解，以化解重點；通過逼近的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察來突破難點． (教師用書獨具) ●教學(xué)建議 學(xué)生對平均變化率已有了很好的認識，同時在物理課程中已學(xué)習(xí)過瞬時速度，因此，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的認知基礎(chǔ)，于是，在教學(xué)設(shè)計中，宜采用相互討論、探究規(guī)律和引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法，本著為學(xué)生發(fā)展的原則，通過師生互動、共同探索，形成概念，并學(xué)以致用．在學(xué)生的認知基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)就是瞬時變化率，函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)f(x)在x＝x0處附近變化的快慢，從而更好地理解導(dǎo)數(shù)的概念．在學(xué)法指導(dǎo)上，應(yīng)回避了學(xué)生較難理解的極限思想，而是通過讓學(xué)生體驗逼近的思想，讓他們通過自主探究，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵．使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中探究能力，分析問題、解決問題的能力都得到了不同程度的提升． ●教學(xué)流程 ??????? (對應(yīng)學(xué)生用書第45頁) 課標(biāo)解讀 1.理解函數(shù)在某點附近的平均變化率．(重點) 2．會求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)．(難點) 3．了解平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系．(易混點) 函數(shù)的變化率 【問題導(dǎo)思】　 　實例：(1)當(dāng)你吹氣球時會發(fā)現(xiàn)隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加的會越來越慢． (2)從高空放下一件物體，隨著時間的變化，物體下降的速度會越來越快． 1．如何用數(shù)學(xué)的觀點刻畫物體運動的快慢？ 【提示】　可以運用平均變化率來刻畫． 2．實例(2)中，當(dāng)t1≈t2時刻時，平均變化率有什么樣的特點？ 【提示】　平均變化率接近t1或t2時刻的速度． 1．函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 (1)定義式：＝. (2)實質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比． (3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢． 2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 (1)定義式： ＝ . (2)實質(zhì)：瞬時變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時，平均變化率趨近的值． (3)作用：刻畫函數(shù)在某一點處變化的快慢． 函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 　函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li . (對應(yīng)學(xué)生用書第45頁) 平均變化率的計算 　求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為，在哪一點附近平均變化率最大？ 【思路探究】　(1)Δx、Δy分別為多少？(2)平均變化率怎么求？(3)哪一點附近的平均變化率大？ 【自主解答】　在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2＝＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝＝6＋Δx. 若Δx＝， 則k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1＜k2＜k3， 故在x＝3附近的平均變化率最大． 1．解答本題的關(guān)鍵是弄清在某點處自變量的增量Δx與函數(shù)值的增量Δy. 2．求函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率的三個步驟 (1)求自變量的增量：Δx＝x2－x1. (2)求函數(shù)值的增量：Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)作商求函數(shù)的平均變化率：＝. 　求函數(shù)y＝sin x在0到之間和到之間的平均變化率，并比較它們的大?。? 【解】　函數(shù)y＝sin x在0到之間的平均變化率為＝， 在到之間的平均變化率為＝. ∵2－＜1，∴＞. ∴函數(shù)y＝sin x在0到之間的平均變化率為，在到之間的平均變化率為，且在0到之間的平均變化率較大． 求瞬時速度 　若一物體運動方程如下：(位移s：m，時間t：s) s＝ 求(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度． (2)物體的初速度v0. 【思路探究】　(1)求物體在[3,5]內(nèi)的平均速度應(yīng)選擇哪一段函數(shù)的解析式？(2)物體的初速度v0的含義是什么？如何去求？ 【自主解答】　(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)時，s＝3t2＋2，且時間增量Δt＝5－3＝2， 物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變化量為 Δs＝352＋2－(332＋2)＝3(52－32)＝48， ∴物體在t∈[3,5]上的平均速度為 ＝＝24(m/s)． (2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時的瞬時速度． ∵物體在t＝0附近的平均變化率為 ＝ ＝＝3Δt－18， ∴物體在t＝0處的瞬時變化率為 li ＝li (3Δt－18)＝－18， 即物體的初速度為－18 m/s. 1．解答本例首先要弄清第(1)問是求平均變化率，而第(2)問實際上是求t＝0時的瞬時速度(即瞬時變化率)． 2．求瞬時速度應(yīng)先求平均速度＝，再用公式v＝li ，求得瞬時速度． 3．如果物體的運動方程是s＝s(t)，那么函數(shù)s＝s(t)，在t＝t0處的導(dǎo)數(shù)，就是物體在t＝t0時的瞬時速度． 　一輛汽車按規(guī)律s＝2t2＋3做直線運動，求這輛車在t＝2時的瞬時速度(時間單位：s，位移單位：m)． 【解】　設(shè)這輛車在t＝2附近的時間變化量為Δt，則位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(222＋3)＝8Δt＋2(Δt)2， ＝8＋2Δt，當(dāng)Δx趨于0時，平均變化率趨于8. 所以，這輛車在t＝2時的瞬時速度為8 m/s. 求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù) 　求函數(shù)f(x)＝3x2＋ax＋b在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． 【思路探究】　→→→ 【自主解答】　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3(1＋Δx)2＋a(1＋Δx)＋b]－(3＋a＋b)＝3(Δx)2＋(6＋a)Δx. ＝＝3Δx＋6＋a. li ＝li (3Δx＋6＋a)＝6＋a. ∴f′(1)＝6＋a. 1．求函數(shù)f(x)在某點處導(dǎo)數(shù)的步驟與求瞬時變化率的步驟相同，簡稱：一差、二比、三極限． 2．利用定義求函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的兩個注意點 (1)在求平均變化率時，要注意對的變形與約分，變形不徹底可能導(dǎo)致li 不存在． (2)當(dāng)對取極限時，一定要把變形到當(dāng)Δx→0時，分母是一個非零常數(shù)的形式． 　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值． 【解】　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝a(1＋Δx)2＋c－(a＋c) ＝2aΔx＋(Δx)2， ∴＝＝2a＋Δx. 因此f′(1)＝ ＝ (2a＋Δx)＝2a. ∴2a＝2，a＝1. (對應(yīng)學(xué)生用書第48頁) 求物體的瞬時速度、初速度時要注意步驟的規(guī)范性 　(12分)(xx長沙高二檢測)一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物體的初速度； (2)求此物體在t＝2時的瞬時速度； (3)求t＝0到t＝2時的平均速度． 【思路點撥】　本題已知函數(shù)解析式，求初速度即t＝0時的瞬時速度，t＝2時的瞬時速度和t∈[0,2]時的平均速度，可以用一差、二比、三極限的方法． 【規(guī)范解答】　(1)當(dāng)t＝0時的速度為初速度． 在0時刻取一時間段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0) ＝[3Δt－(Δt)2]－(30－02) ＝3Δt－(Δt)2，2分 ＝＝3－Δt，3分 ＝ (3－Δt)＝3.4分 ∴物體的初速度為3. (2)取一時間段[2,2＋Δt]， ∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(32－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分 ＝＝－1－Δt，7分 ＝ (－1－Δt)＝－1，8分 ∴當(dāng)t＝2時，物體的瞬時速度為－1. (3)當(dāng)t∈[0,2]時，Δt＝2－0＝2. Δs＝s(2)－s(0) ＝(32－22)－(30－02)＝210分 ＝＝＝1. ∴在0到2之間，物體的平均速度為1.12分 　 解答此類問題首先要理解概念與公式的內(nèi)涵，其次在解題過程中要嚴(yán)格按規(guī)定步驟解答，切忌跨步，以免出錯． 1．平均變化率＝，當(dāng)Δx趨于0時，它所趨于的一個常數(shù)就是函數(shù)在x0處的瞬時變化率，即求函數(shù)的瞬時變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解．另外，它們都是用來刻畫函數(shù)變化快慢的，它們的絕對值越大，函數(shù)變化得越快． 2．函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值的極限，它是一個定值，不是變數(shù). (對應(yīng)學(xué)生用書第48頁) 1．已知物體位移公式s＝s(t)，從t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)，下列說法錯誤的是(　　) A．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)叫做位移增量 B.＝叫做這段時間內(nèi)物體的平均速度 C.不一定與Δt有關(guān) D. 叫做這段時間內(nèi)物體的平均速度 【解析】　D錯誤，應(yīng)為t＝t0時的瞬時速度． 【答案】　D 2．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為(　　) A．0.40　　　　　　　　B．0.41 C．0.43 D．0.44 【解析】　∵x＝2，Δx＝0.1， ∴Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】　B 3．設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 【解析】?。剑絘＋bΔx， f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a. 【答案】　C 4．一物體運動的方程是s＝3＋t2，求物體在t＝2時的瞬時速度． 【解】　Δs＝(2＋Δt)2－4＝4Δt＋(Δt)2. ∴＝4＋Δt. ∴當(dāng)Δt→0時，瞬時速度為4. (對應(yīng)學(xué)生用書第103頁) 一、選擇題 1．已知函數(shù)y＝x2＋1的圖象上一點(1,2)及鄰近一點(1＋Δx,2＋Δy)，則等于(　　) A．2　　　　　　　　　B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 【解析】　Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2. ∴＝＝2＋Δx. 【答案】　C 2．自由落體運動的公式為s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，則下列說法正確的是(　　) A．v是在0～1 s這段時間內(nèi)的速度 B．v是1 s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的速度 C．5Δt＋10是物體在t＝1 s這一時刻的速度 D．5Δt＋10是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內(nèi)的平均速度 【解析】　由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故應(yīng)選D. 【答案】　D 3．(xx惠州高二檢測)某物體做直線運動，其運動規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為(　　) A.米/秒　　　　B.米/秒 C．8米/秒 D.米/秒 【解析】　∵＝ ＝ ＝Δt＋8－，∴ ＝8－＝. 【答案】　B 4．函數(shù)f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是(　　) A．k1＜k2 B．k1＞k2 C．k1＝k2 D．無法確定 【解析】　k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可負，故k1、k2大小關(guān)系不確定． 【答案】　D 5．已知點P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點，且f′(x0)＝0，則點P的坐標(biāo)為(　　) A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10) 【解析】　Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x－6x0＝6x0Δx＋3(Δx)2＋6Δx， ∴ ＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0. ∴x0＝－1，y0＝－2. 【答案】　B 二、填空題 6．(xx洛陽高二檢測)一小球沿斜面自由滾下，其運動方程是s(t)＝t2, (s的單位：米，t的單位：秒)，則小球在t＝5時的瞬時速度為________． 【解析】　v′(5)＝ ＝ (10＋Δt)＝10 【答案】　10米/秒 7．已知函數(shù)f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，則a＝________. 【解析】　f′(1)＝ ＝ ＝2，∴a＝2. 【答案】　2 8．若函數(shù)f(x)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)為m，那么 ＝________. 【解析】　∵ ＝m， 則 ＝m. ∴ ＝ ＝ ＋ ＝m＋m＝2m. 【答案】　2m 三、解答題 9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)． 【解】　∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2 ＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2 ， ∴＝＝2x0－2＋Δx， f′(x0)＝ ＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2， 把x0＝0代入上式，得f′(0)＝20－2＝＝－2. 10．設(shè)質(zhì)點做直線運動，已知路程s是時間t的函數(shù)： s＝3t2＋2t＋1. (1)求從t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求當(dāng)Δt＝1，Δt＝0.1時的平均速度； (2)求當(dāng)t＝2時的瞬時速度． 【解】　(1)從t＝2到t＝2＋Δt內(nèi)的平均速度為： ＝ ＝ ＝＝14＋3Δt. 當(dāng)Δt＝1時，平均速度為14＋31＝17； 當(dāng)Δt＝0.1時，平均速度為14＋30.1＝14.3. (2)t＝2時的瞬時速度為： v＝ ＝ (14＋3Δt)＝14. 11．(xx黃岡高二檢測)槍彈在槍筒中運動可以看作勻加速運動，如果槍彈的加速度是a＝5105 m/s2，它從槍口射出所用的時間為t1＝1.610－3 s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度． 【解】　∵s(t)＝at2， ∴Δs＝s(t1＋Δt)－s(t1) ＝a(t1＋Δt)2－at ＝at1Δt＋a(Δt)2， ＝＝at1＋aΔt. ∴槍彈射出槍口時的瞬時速度為 v＝ ＝ (at1＋aΔt)＝at1. 由題意a＝5105 m/s2， t1＝1.610－3s， ∴v＝at1＝51051.610－3 ＝800(m/s)， 即槍彈射出槍口時的瞬時速度為800 m/s.  (教師用書獨具) 求函數(shù)y＝在x＝1時的瞬時變化率． 【解】　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝－1＝ ＝ ＝， ∴＝. ∴Δx趨于0時，趨于－. ∴x＝1時的瞬時變化率為－. 求y＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． 【解】　由題意知Δy＝－1， ∴＝＝ ＝， ∴y′|x＝1＝ ＝.