2019-2020年高中數學 4.2.1 實際問題中導數的意義二教案 北師大選修1-1.doc

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2019-2020年高中數學 4.2.1 實際問題中導數的意義二教案 北師大選修1-1 教學過程： 一、主要知識點： 1. 基本方法： （1）函數的導數與函數的單調性的關系：設函數y＝f（x）在某個區(qū)間內有導數，如果在這個區(qū)間內>0，那么函數y＝f（x）為這個區(qū)間內的增函數；如果在這個區(qū)間內<0，那么函數y＝f（x）為這個區(qū)間內的減函數. （2）用導數求函數單調區(qū)間的步驟：①求函數f（x）的導數f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間. （3）判別f（x0）是極大、極小值的方法：若滿足，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值. （4）求函數f（x）的極值的步驟：①確定函數的定義區(qū)間，求導數f′（x）. ②求方程f（x）＝0的根. ③用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格. 檢查f（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值. （5）利用導數求函數的最值步驟：（1）求在內的極值；（2）將的各極值與、比較得出函數在上的最值. 2、基本思想：學習的目的，就是要會實際應用，本講主要是培養(yǎng)學生運用導數知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力. 解決實際應用問題關鍵在于建立數學模型和目標函數. 把“問題情景”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化，形式化，抽象成數學問題，再化為常規(guī)問題，選擇合適的數學方法求解. 根據題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯系方式，適當選定變化區(qū)間，構造相應的函數關系，是這部分的主要技巧． 二、典型例題 例1、在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？ 思路一：設箱底邊長為x cm，則箱高cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數：，從求得的結果發(fā)現，箱子的高恰好是原正方形邊長的，這個結論是否具有一般性？ 變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個無蓋的箱子，箱子的高是這個正方形邊長的幾分之幾時，箱子容積最大？ 提示：答案：． 評注：這是一道實際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標函數是三次函數，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧. 而運用導數知識，求三次目標函數的最值就變得非常簡單，對于實際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標函數為高次多項式函數，簡單的分式函數，簡單的無理函數，簡單的指數，對數函數，或它們的復合函數，均可用導數法求其最值. 可見，導數的引入，大大拓寬了中學數學知識在實際優(yōu)化問題中的應用空間. 例2、（xx年福建卷）統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量為y（升），關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為： 已知甲、乙兩地相距100千米． （I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？ （II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時， 要耗油（升）． 答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升． （II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升， 依題意得 令得 當時，是減函數； 當時，是增函數． 當時，取到極小值 因為在上只有一個極值，所以它是最小值． 答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升． 例3、求拋物線上與點距離最近的點. 解：設為拋物線上一點， 則. 與同時取到極值. 令. 由得是唯一的駐點. 當或時，是的最小值點，此時. 即拋物線上與點距離最近的點是（2，2）. 例4、煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境. 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現有兩座煙囪相距20，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點，使該點的煙塵濃度最小. 解：不失一般性，設煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8并設AC＝ ， 于是點C的煙塵濃度為， 其中為比例系數. 令，有， 即. 解得在（0，20）內惟一駐點. 由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內取得， 在惟一駐點處，濃度最小，即在AB間距A處處的煙塵濃度最小. 例5、已知拋物線y＝－x2+2，過其上一點P引拋物線的切線l，使l與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程. 解：設切點P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x， ∴k1＝－2x0. ∴l(xiāng)的方程為y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝令x＝0，得y＝x02+2， ∴三角形的面積為S＝（x02+2）＝. ∴S′＝. 令S′＝0，得x0＝ （∵x0＞0）. 　 ∴當0＜x0＜時，S′＜0;　當x0＞時，S′＞0. ∴x0＝時，S取極小值∵只有一個極值， ∴x＝時S最小，此時k1＝－，切點為（，）. ∴l(xiāng)的方程為y?。剑?（x－），即2x+3y－8＝0. 例6、在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最?。? 解：設∠BCD＝Q，則BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝， ∴AC＝50－40cotθ 設總的水管費用為f（θ），依題意，有 f（θ）＝3a（50－40cotθ）+5a ＝150a+40a ∴f′（θ）＝40a 令f′（θ）＝0，得cosθ＝ 根據問題的實際意義，當cosθ＝時，函數取得最小值， 此時sinθ＝，∴cotθ＝， ∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省. 例7、（xx年江蘇卷）請您設計一個帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？ 解：設OO1為，則 由題設可得正六棱錐底面邊長為：， 故底面正六邊形的面積為： ＝，（單位：） 帳篷的體積為： （單位：） 求導得． 令，解得（不合題意，舍去），， 當時，，為增函數； 當時，，為減函數． ∴當時，最大． 答：當OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為． 點評：本題主要考查利用導數研究函數的最值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力． 三、小結 ： ⑴解有關函數最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關系，找出適當的函數關系式，并確定函數的定義區(qū)間；所得結果要符合問題的實際意義． ⑵根據問題的實際意義來判斷函數最值時，如果函數在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較． ⑶相當多有關最值的實際問題用導數方法解決較簡單 四、課后作業(yè)：