§3.4基本不等式

課題: 3.4基本不等式 第1課時(shí) 授課類型：新授課 【教學(xué)目標(biāo)】 1．知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等； 2．過程與方法：通過實(shí)例探究抽象基本不等式； 3．情態(tài)與價(jià)值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 【教學(xué)重點(diǎn)】 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程； 【教學(xué)難點(diǎn)】 基本不等式等號(hào)成立條件 【教學(xué)過程】 1.課題導(dǎo)入 基本不等式的幾何背景： 如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ 教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。 2.講授新課 1．探究圖形中的不等關(guān)系 將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為。這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：。 當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有。 2．得到結(jié)論：一般的，如果 3．思考證明：你能給出它的證明嗎？ 證明：因?yàn)? 當(dāng) 所以，，即 4．1）從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式 特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ，可得， 通常我們把上式寫作： 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式 用分析法證明： 要證 (1) 只要證 a+b (2) 要證（2），只要證 a+b- 0 （3） 要證（3），只要證 （ - ） （4） 顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（4）中的等號(hào)成立。 3）理解基本不等式的幾何意義 探究：課本第110頁(yè)的“探究” 在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？ 易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣAＣB 即ＣD＝. 這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立. 因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦” 評(píng)述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng). 2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). [補(bǔ)充例題] 例1 已知x、y都是正數(shù)，求證： (1)≥2； (2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 分析：在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形. 解：∵x，y都是正數(shù) ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1)＝2即≥2. (2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥222＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.隨堂練習(xí) 1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：對(duì)于此類題目，選擇定理：（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結(jié)果. 解：∵a，b，c都是正數(shù) ∴a＋b≥2＞0 b＋c≥2＞0 c＋a≥2＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥222＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 4.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（≥）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來(lái)解決問題：ab≤，ab≤（）2. 5.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 課本第113頁(yè)習(xí)題[A]組的第1題 【板書設(shè)計(jì)】 010-58818067 58818068 canpoint@ 第 4 頁(yè) 共 4 頁(yè)