2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題 理（含解析）新人教A版.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題 理（含解析）新人教A版 【試卷綜析】試題比較平穩(wěn)，基本符合高考復(fù)習(xí)的特點，穩(wěn)中有變，變中求新,適當(dāng)調(diào)整了試卷難度，體現(xiàn)了穩(wěn)中求進(jìn)的精神.考查的知識涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識和基本技能的考察，同時側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，這套試題以它的知識性、思辨性、靈活性，基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì)，考基礎(chǔ)，考方法，考潛能的檢測功能.試題中無偏題，怪題，起到了引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)向全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的方向發(fā)展的作用. 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的。 【題文】1設(shè)集合A={}，則滿足AB={0，1，2}的集合B的個數(shù)是( ) A 1 B 3 C 4 D 6 【知識點】并集及其運(yùn)算 A1 【答案解析】C解析：解：A={x|x2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∪B={0，1，2}，則0∈B，則B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4個，故選：C 【思路點撥】先求出集合A元素，根據(jù)集合關(guān)系和運(yùn)算即可得到結(jié)論 【題文】2. 為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=(1+)(2+)的點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義L4 【答案解析】A解析：解：復(fù)數(shù)z=（1+i）（2+i）=2+3i﹣1=1+3i，復(fù)數(shù)對應(yīng)點為（1，3）．在第一象限．故選A 【思路點撥】化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式，然后求出復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限即可 【題文】3．“”是“函數(shù)的最小正周期為”的（ ） ?。匾怀浞謼l件 ． 充分不必要條件 ．充要條件 ．既不充分也不必要條件 【知識點】三角函數(shù)的周期性及其求法；必要條件、充分條件與充要條件的判斷A2,C3 【答案解析】A解析：解：解：函數(shù)y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=1 顯然“a=1”可得“函數(shù)y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期為π”后者推不出前者，故選A． 【思路點撥】化簡y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期為π，求出a，即可判斷選項． 【題文】4.右圖是一容量為的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本重量的中位數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)K8 【答案解析】C解析：解：由題意，[5，10]的樣本有50.06100=30，[10，15]的樣本有50.1100=50，由于[10，15]的組中值為12.5，所以由圖可估計樣本重量的中位數(shù)12． 故選：C 【思路點撥】由題意，[5，10]的樣本有50.06100=30，[10，15]的樣本有50.1100=50，結(jié)合[10，15]的組中值，即可得出結(jié)論． 【題文】5.執(zhí)行上圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（ ） A． B． C． D． 【知識點】程序框圖L1 【答案解析】C解析：解：由程序框圖知：第一次運(yùn)行S=1+2=3，k=1+2=3； 第二次運(yùn)行S=1+2+6=9．k=3+2=5； 第三次運(yùn)行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7； 第四次運(yùn)行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9； 此時不滿足條件S＜20，程序運(yùn)行終止，輸出k=9． 故選：C． 【思路點撥】根據(jù)框圖的流程依次計算運(yùn)行的結(jié)果，直到不滿足條件S＜20，計算輸出k的值 【題文】6、由曲線圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B． C． D． 【知識點】定積分在求面積中的應(yīng)用B13 【答案解析】D解析：解：解：由題意得，兩曲線的交點坐標(biāo)是（1，1），（0，0）故積分區(qū)間是[0，1] 所求封閉圖形的面積為∫01（x2﹣x3）dx═， 故選D 【思路點撥】要求曲線y=x2，y=x3圍成的封閉圖形面積，根據(jù)定積分的幾何意義，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可 【題文】7． 已知是坐標(biāo)原點，點，若為平面區(qū)域 上的一個動點，則 的取值范圍是（ ） A B C D 【知識點】簡單線性規(guī)劃E5 【答案解析】A解析：解：+=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y）， 則|+|=， 設(shè)z=|+|=， 則z的幾何意義為M到定點D（1，0）的距離， 由約束條件作平面區(qū)域如圖， 由圖象可知當(dāng)M位于A（0，2）時，z取得最大值z=， 當(dāng)M位于C（1，1）時，z取得最小值z=1， 1≤z≤， 即|+|的取值范圍是[1，]， 故選：A 【思路點撥】由題意作出可行域，由向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求得+的坐標(biāo)，把||轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點M（x，y）到定點N（1，0）的距離，數(shù)形結(jié)合可得答案． 【題文】8．對于集合，如果定義了一種運(yùn)算“”，使得集合中的元素間滿足下列4個條件： （ⅰ），都有； （ⅱ），使得對，都有； （ⅲ），，使得； （ⅳ），都有， 則稱集合對于運(yùn)算“”構(gòu)成“對稱集”．下面給出三個集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”： ①，運(yùn)算“”為普通加法；②，運(yùn)算“”為普通減法； ③，運(yùn)算“”為普通乘法．其中可以構(gòu)成“對稱集”的有( ) A①② B①③ C②③ D①②③ 【知識點】元素與集合關(guān)系的判斷A1 【答案解析】B解析：解：①A={整數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為普通加法，根據(jù)加法運(yùn)算可知滿足4個條件，其中e=0，a、a′互為相反數(shù)； ②A={復(fù)數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為普通減法，不滿足4個條件； ③A={正實數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為普通乘法，根據(jù)乘法運(yùn)算可知滿足4個條件，其中e=1，a、a′互為倒數(shù)． 故選：B 【思路點撥】根據(jù)新定義，對所給集合進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論 二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分 (一)必做題(9～13題) 【題文】9. 若是奇函數(shù)，則實數(shù)=_________。 【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)B4 【答案解析】解析：解：函數(shù)f（x）=2x+2﹣xlga是奇函數(shù) ∴f（x）+f（﹣x）=0， ∴2x+2﹣xlga+2﹣x+2xlga=0，即2x+2﹣x+lga（2x+2﹣x）=0 ∴l(xiāng)ga=﹣1∴a=故答案為：． 【思路點撥】由題設(shè)條件可知，可由函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出a的值 【題文】10.在△中，角的對邊分別為，且，． 則角的大小為 ； 【知識點】正弦定理C8 【答案解析】60解析：解：解：由a=2bsinA，得sinA=2sinBsinA， 因為0＜A＜π，所以sinA≠0， 所以sinB=， 因為0＜B＜π，且a＜b＜c，所以B=60． 故答案為：60． 【思路點撥】由a=2bsinA，利用正弦定理得sinA=2sinBsinA，從而可得sinB=，結(jié)合0＜B＜π，且a＜b＜c，可求B． 【題文】11．已知某四棱錐，底面是邊長為2的正方形，且俯視圖如右圖所示. 若該四棱錐的側(cè)視圖為直角三角形，則它的體積為__________． 【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積G7 【答案解析】解析：解：解：由四棱錐的俯視圖可知，該四棱錐底面為ABCD為正方形，PO垂直于BC于點O，其中O為BC的中點， 若該四棱錐的左視圖為直角三角形， 則△BPC為直角三角形，且為等腰直角三角形， ∵B0=1， ∴PO=BO=1， 則它的體積為． 故答案為：． 【思路點撥】根據(jù)四棱錐的俯視圖得到四棱錐的特征，根據(jù)四棱錐的左視圖為直角三角形，得到四棱錐的高即可求出它的體積 【題文】12.各大學(xué)在高考錄取時采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則．一考生從某大學(xué)所給的個專業(yè)中，選擇個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時兼報，則該考生不同的填報專業(yè)志愿的方法有 種。 【知識點】計數(shù)原理的應(yīng)用J1 【答案解析】180解析：解：解：甲、乙都不選時，有=60種；甲、乙兩個專業(yè)選1個時，有=120種， 根據(jù)分類計數(shù)原理，可得共有60+120=180種不同的填報專業(yè)志愿的方法． 故答案為：180． 【思路點撥】分類討論，分別求出甲、乙都不選、甲、乙兩個專業(yè)選1個時的報名方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，可得結(jié)論． 【題文】13．若實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，點P(–1, 0)在動直線l：ax+by+c=0上的射影為M，點N(0, 3)，則線段MN長度的最小值是 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；點到直線的距離公式D2,H2 【答案解析】4﹣解析：解：因為a，b，c成等差數(shù)列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，對比方程ax+by+c=0可知，動直線恒過定點Q（1，﹣2）． 由于點P（﹣1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，即∠PMQ=90，所以點M在以PQ為直徑的圓上，該圓的圓心為PQ的中點C（0，﹣1），且半徑為 =， 再由點N到圓心C的距離為 NC=4，所以線段MN的最小值為 NC﹣r=4﹣， 故答案為 4﹣． 【思路點撥】由題意可得動直線l：ax+by+c=0過定點Q（1，﹣2），PMQ=90，點M在以PQ為直徑的圓上，求出圓心為PQ的中點C（0，﹣1），且半徑為 ．求得點N到圓心C的距離，再減去半徑，即得所求 （二）選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計前一題的得分） 【題文】14、(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,曲線與的公共點到極點的距離為__________ 【知識點】點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；兩點間的距離公式N3, 【答案解析】解析：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1， 解得ρ=或ρ=（舍）， 所以曲線ρ=cosθ+1與ρcosθ=1的公共點到極點的距離為， 故答案為：． 【思路點撥】聯(lián)立ρ=cosθ+1與ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即為答案 【題文】C D MB N O B A P 15、如圖所示，過⊙O外一點A作一條直線與⊙O交于C，D兩點，AB切⊙O 于B，弦MN過CD的中點P．已知AC=4，AB=6，則MPNP= 　　　 ． 【知識點】與圓有關(guān)的比例線段N1 【答案解析】解析：解：∵AB為⊙O的切線，ACD為⊙O的割線由切割線定理可得：AB2=AC?AD由AC=4，AB=6，故AD=9故CD=5又∵N是弦CD的中點故PC=PD= 由相交弦定理得MP?NP=PC?PD=故答案為： 【思路點撥】由已知中，過⊙O外一點A作一條直線與⊙O交于C，D兩點，AB切⊙O于B，我們由切割線定理，結(jié)合已知中AC=4，AB=6，我們易求出AD的長，進(jìn)而求出弦CD的長，又由弦MN過CD的中點P，由相交弦定理我們易求出MP?NP 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 【題文】16．（本題滿分12分） 已知函數(shù)（）的圖象過點. （1）求的值； （2）設(shè)，求的值. 【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換C4,C5 【答案解析】(I) (II) 解析：解：（1）依題意得，，…………2分 ∵ ∴……………4分 ∴，∴………………………5分 （2）∵ ∴，………7分 又∵ ∴，………9分 ∵，………………… ∴，，……10分 ∴……………12分 【思路點撥】（1）依題意求得sin（+φ）=，結(jié)合0＜φ＜ 求得φ的值． （2）由條件求得cosα=，sinβ=．根據(jù)α，β∈[0，]，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得inα 和cosβ 的值，從而求得 sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ 的值． 【題文】17. (本小題滿分12分)xx年巴西世界杯的周邊商品有80%左右為“中國制造”，所有的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮。甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)： 編號 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量； 當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175，且y≥75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量； 從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）。 【知識點】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列K6 【答案解析】(I)35(II)14(III) 0 1 2 … 解析：解：（1）乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為；………….2分 （2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為；…………4分 （3）， ……………………..5分 ，………….8分 的分布列為 0 1 2 ……………….11分 均值………………….12分 【思路點撥】（1）利用分層抽樣方法能求出乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)． （2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，由分層抽樣方法能求出乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量． （3）由題意知ξ=0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值． 圖6 【題文】18. （本小題滿分14分） 如圖6，四棱柱的底面是平行四邊形，且，，，為的中點，平面． ⑴證明：平面平面； ⑵若，試求異面直線與 所成角的余弦值． 【知識點】平面與平面垂直的判定；異面直線及其所成的角G5,G11 【答案解析】(I)略(II) 解析：解：⑴依題意，……1分，所以是正三角形，……2分，又……3分， 所以，……4分，因為平面，平面，所以……5分，因為，所以平面……6分， 因為平面，所以平面平面……7分． ⑵取的中點，連接、……8分，連接，則……9分，所以是異面直線與所成的角……10分。 因為，，所以……11分， ，……12分， 所以……14分（列式計算各1分）． 【思路點撥】（1）根據(jù)題意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60，等腰△CDE中∠CED=（180﹣∠ECD）=30，所以∠AED=90，得到DE⊥AE，結(jié)合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，從而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE． （2）取BB1的中點F，連接EF、AF，連接B1C．證出EF∥A1D，可得∠AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線AE與A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位線定理，算出△AEF各邊的長，再用余弦定理可算出異面直線AE與A1D所成角的余弦值． 【題文】19 .（本小題滿分14分） 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且. （1）求 (2) 求數(shù)列的通項； (3) 若,，求證：＜ 【知識點】數(shù)列的求和D4 【答案解析】(I) (II) (III) ＜ 解析：解：（1）令，得， ………2分 (2)又………① 有…………　②……………………3分 ②-①得…………………4分 ∴ ……………………6分 ∴ …………………………8分 (3)n=1時=1＜符合………………………9分 時，因為,…………………………11分 所以 ………….13分 ∴＜…………………………14分 【思路點撥】1）a2n+an=2Sn中令n=1求a1 （2）又a2n+an=2Sn有a2n+1+an+1=2Sn+1，兩式相減得并整理得（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，數(shù)列{an}是以a1=1，公差為1的等差數(shù)列，以此求數(shù)列{an}的通項； （3）由（2）得出an=n，利用放縮法求證：Tn＜． 【題文】20. （本小題滿分14分） 已知圓C與兩圓，外切，圓C的圓心軌跡方程為L，設(shè)L上的點與點的距離的最小值為，點與點的距離為. (Ⅰ)求圓C的圓心軌跡L的方程； （Ⅱ）求滿足條件的點的軌跡Q的方程； （Ⅲ）試探究軌跡Q上是否存在點，使得過點B的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于。若存在，請求出點B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 【知識點】直線和圓的方程的應(yīng)用；圓與圓的位置關(guān)系及其判定H4 【答案解析】(I) (II) (III) 或 解析：解：（Ⅰ）兩圓半徑都為1，兩圓心分別為、，由題意得，可知圓心C的軌跡是線段的垂直平分線，的中點為，直線的斜率等于零，故圓心C的軌跡是線段的垂直平分線方程為，即圓C的圓心軌跡L的方程為。(4分) （Ⅱ）因為，所以到直線的距離與到點的距離相等，故點的軌跡Q是以為準(zhǔn)線，點為焦點，頂點在原點的拋物線，，即，所以，軌跡Q的方程是 (8分) （Ⅲ）由（Ⅱ）得， ，所以過點B的切線的斜率為，切線方程為，令得，令得， 因為點B在上，所以 故， 所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 設(shè)，即得，所以 當(dāng)時，，當(dāng)時，， 所以點B的坐標(biāo)為或. (14分) 【思路點撥】（Ⅰ）確定兩圓心分別為C1（0，﹣4）、C2（0，2），由題意得CC1=CC2，從而可求圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線方程； （Ⅱ）因為m=n，所以M（x，y）到直線y=﹣1的距離與到點F（0，1）的距離相等，故點M的軌跡Q是以y=﹣1為準(zhǔn)線，點F（0，1）為焦點，頂點在原點的拋物線，從而可得軌跡Q的方程； （Ⅲ）設(shè)出切線方程，求出切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，利用S=，即可求得結(jié)論 【題文】21． （本小題滿分14分） 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用B3,B11 【答案解析】(I) 函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)(II) 解析：解：（Ⅰ）若k=﹣2，f（x）=﹣2ex﹣x2，則f（x）=﹣2ex﹣2x， 當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）=﹣2ex﹣2x＜0， 故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)． （Ⅱ）函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，則x1，x2是f′（x）=kex﹣2x=0的兩個根， 即方程有兩個根，設(shè)，則， 當(dāng)x＜0時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）＜0； 當(dāng)0＜x＜1時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）＞0； 當(dāng)x＞1時，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減且φ（x）＞0． 要使有兩個根，只需， 故實數(shù)k的取值范圍是． （Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函數(shù)f（x）的兩個極值點x1，x2滿足0＜x1＜1＜x2， 由，得， 所以， 由于x1∈（0，1），故， 所以0＜f（x1）＜1． 【思路點撥】（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意知x1、x2是方程f′（x）=0的兩個根，令，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間，繼而得到k的取值范圍； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f′（x1）=0，則得，又由f（x1）=﹣（x1﹣1）2+1，x1∈（0，1），即可得到0＜f（x1）＜1．