山東省棗莊市嶧城區(qū)吳林街道中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 622 定義與命題教案 北師大版
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1、 6.2.2 定義與命題教案 教學(xué)目標(biāo): 1.了解命題中的真命題、假命題、公理、定理的含義. 2.能夠分清命題的題設(shè)和結(jié)論.會(huì)把命題改寫成“如果……,那么……”的形式;能判斷命題的真假. 3.培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力和培養(yǎng)學(xué)生 “舉一反三”的能力. 4.通過了解數(shù)學(xué)知識(shí),拓展學(xué)生的視野,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn): 重點(diǎn):找出命題的條件(題設(shè))和結(jié)論. 難點(diǎn):找出命題的條件和結(jié)論. 教法與學(xué)法指導(dǎo): 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)方法并采用自主探索、合作交流方式,讓學(xué)生獨(dú)立思考問題,獲取知識(shí),掌握方法,通過適時(shí)的引導(dǎo)促使學(xué)生積極的開展探究活動(dòng)來激發(fā)學(xué)生的思維,通過
2、適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)、能力和情感的升華. 課前準(zhǔn)備:多媒體課件. 教學(xué)過程: 一、溫故知新,引入新課 Ⅰ.巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情境,引入課題 師:上節(jié)課我們研究了命題,那么什么叫命題呢? 生:判斷一件事情的句子,叫做命題. 師:好.下面大家來想一想:(出示投影片) 觀察下列命題,你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征? (1)如果兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等. (2)如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等,那么這個(gè)四邊形是平行四邊形. (3)如果一個(gè)三角形是等腰三角形,那么這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等. (4)如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等,那么這個(gè)四邊形是矩形. (
3、5)如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直,那么這個(gè)四邊形是菱形. 師:大家讀完題后,分組討論. 生1:這五個(gè)命題都是用“如果……,那么……”的形式敘述的. 生2:每個(gè)命題都是由已知得到結(jié)論. 生3:這五個(gè)命題的每個(gè)命題都有條件和結(jié)論. 師:很好.這節(jié)課我們繼續(xù)來研究命題. 【教師板書課題------6.2定義與命題(2).】 設(shè)計(jì)意圖:回顧上節(jié)知識(shí),為本節(jié)課的展開打好基礎(chǔ);另外通過典型的五個(gè)命題,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征,從而順利地引出新課. 二、交流討論,探索新知 師:大家剛才觀察到上面的五個(gè)命題中,每個(gè)命題都有條件(condition)和結(jié)論(conclusi
4、on)兩部分組成. 條件是已知的事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng). 一般地,命題都可以寫成“如果……,那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論. 如:上面的命題(1)中,如果引出的部分“兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等”是條件,那么引出的部分“這兩個(gè)三角形全等”是結(jié)論. 有些命題沒有寫成“如果……,那么……”的形式,題設(shè)和結(jié)論不明顯.如:“同角的余角相等”,對(duì)于這樣的命題,要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論,也可以將它們改寫成“如果……,那么……”的形式. 如:“同角的余角相等”可以寫成“如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角,那么這兩個(gè)角相等”. 注意:命題的題設(shè)(條件
5、)部分,有時(shí)也可用“已知……”或者“若……”等形式表述,命題的結(jié)論部分,有時(shí)也可用“求證……”或“則……”等形式表述. 做一做(出示投影片) 1.下列各命題的條件是什么?結(jié)論是什么? (1)如果兩個(gè)角相等,那么它們是對(duì)頂角; (2)如果a>b,b>c,那么a=c; (3)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等; (4)菱形的四條邊都相等; (5)全等三角形的面積相等. 生1:第一個(gè)命題的條件是:兩個(gè)角相等,結(jié)論是:它們是對(duì)頂角. 生2:第二個(gè)命題的條件是:a>b,b>c.結(jié)論是:a=c. 生3:第三個(gè)命題的條件是:在兩個(gè)三角形中,有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.結(jié)論是
6、:這兩個(gè)三角形全等. 生4:第四個(gè)命題的條件是:菱形的四條邊.結(jié)論是:都相等. 生5:生4同學(xué)說得不對(duì).這個(gè)命題可改寫為:如果一個(gè)四邊形是菱形,那么這個(gè)四邊形的四條邊都相等.顯然,這個(gè)命題的條件是:一個(gè)四邊形是菱形.結(jié)論是:這個(gè)四邊形的四條邊都相等. 生6:第五個(gè)命題可改寫為:如果兩個(gè)三角形全等,那么這兩個(gè)三角形的面積相等.則這個(gè)命題的題設(shè)是:兩個(gè)三角形全等.結(jié)論是:這兩個(gè)三角形的面積相等. 師:同學(xué)們分析得很好.能夠經(jīng)過分析,準(zhǔn)確地找出命題的條件和結(jié)論. 師:你能將(3)、(4)、(5)改寫成“如果……,那么……”的形式嗎? (學(xué)生激情很高,答案不唯一;要注意改寫時(shí)不要機(jī)械地添上
7、“如果”和“那么”,應(yīng)適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些修飾語句,使改寫后的語句通順,完整.) 師:接下來我們來思考(出示投影片) 做一做: 2.上述命題中哪些是正確的?哪些是不正確的?你怎么知道它們是不正確的? 師:大家思考后,來分組討論. 生1:第三個(gè)、第四個(gè)、第五個(gè)命題是正確的.第一個(gè)、第二個(gè)命題是不正確的. 生2:我們討論的結(jié)果是與生1同學(xué)的一樣.如圖,∠1=∠2,從圖形中可知∠1與∠2不是對(duì)頂角.所以第一個(gè)命題:如果兩個(gè)角相等,那么它們是對(duì)頂角是錯(cuò)誤的. 生3:第二個(gè)命題中的a取6,b取3,c取2,這樣可知:a與c是不相等的.所以第二個(gè)命題是不正確的. 師:很好.同學(xué)們不僅能辨別命題的正
8、確與否,還能舉例說明命題的錯(cuò)誤.真棒!我們把正確的命題稱為真命題(true statement),不正確的命題稱為假命題(false statement). 由大家剛才分析可以知道:要說明一個(gè)命題是一個(gè)假命題,通常可以舉出一個(gè)例子,使它具備命題的條件,而不具有命題的結(jié)論.這種例子稱為反例(counter example). 注意:對(duì)于假命題并不要求,在題設(shè)成立時(shí),結(jié)論一定錯(cuò)誤.事實(shí)上,只要你不能保證結(jié)論一定成立,這個(gè)命題就是假命題了.因此,要說明一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)“反例”就可以了. 設(shè)計(jì)意圖:分組交流、討論、教師引導(dǎo)使得學(xué)生形成共識(shí).使學(xué)生了解命題有真假之分,并且知道怎樣去判
9、斷真假命題.在對(duì)前面5個(gè)命題的真?zhèn)芜M(jìn)行判斷的基礎(chǔ)上,大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)對(duì)命題的真假性有了初步的判斷,但有部分學(xué)生誤認(rèn)為假命題不是命題. 三、學(xué)以致用,解決問題 師:那一個(gè)正確的命題如何證實(shí)呢?大家來想一想:(出示投影片) 如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢? (學(xué)生小組交流,選代表回答自己的觀點(diǎn).) 生1:用我們以前學(xué)過的觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證特例等方法. 生2:這些方法往往并不可靠. 生3:能不能根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實(shí)呢? 生4:那已經(jīng)知道的真命題又是如何證實(shí)的? 生5:哦……那可怎么辦呢? …… 師:其實(shí),在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,數(shù)學(xué)家們也遇到過類似的問題,公元前3世紀(jì),人們已經(jīng)積累了大量的
10、數(shù)學(xué)知識(shí),在此基礎(chǔ)上,古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid,公元前300前后)編寫了一本書,書名叫《原本》(Elements),為了說明每一結(jié)論的正確性,他在編寫這本書時(shí)進(jìn)行了大膽創(chuàng)造:挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的起始依據(jù).其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名,公認(rèn)的真命題稱為公理(axiom).除了公理外,其他真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí).推理的過程稱為證明(proof).經(jīng)過證明的真命題稱為定理(theorem),而證明所需的定義、公理和其他定理都編寫在要證明的這個(gè)定理的前面. 《原本》問世之前,世界上還沒有一本數(shù)學(xué)書籍像《原本》這樣編排.因此,《原本》是一部具有劃時(shí)
11、代意義的著作. 生:老師,我知道了,除公理、定義外,其他的真命題必須通過證明才能證實(shí). 師:對(duì),我們這套教材有如下命題作為公理:(出示投影片) 1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行. 2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等. 3.兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 6.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等. 師:同學(xué)們來朗讀一次. 師:好.除這些以外,等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理. 在等式或不等式中,一個(gè)量可以用它的等量來代替.如:如果a=b,
12、b=c,那么,a=c,這一性質(zhì)也看做公理,稱為“等量代換”. 注意:(1)公理是通過長(zhǎng)期實(shí)踐反復(fù)驗(yàn)證過的,不需要再進(jìn)行推理論證而都承認(rèn)的真命題. (2)公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù). 師:好,下面我們通過“讀一讀”來進(jìn)一步了解《原本》這套書,進(jìn)而了解數(shù)學(xué)史. 設(shè)計(jì)意圖:采取教師講解與學(xué)生習(xí)讀相結(jié)合的方式.培養(yǎng)學(xué)生公理化思想和方法,養(yǎng)成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣. 四、課堂小結(jié),反思提高 師:從今天的課堂中,你學(xué)到了哪些知識(shí)?掌握了哪些方法?先想一想,再談?wù)勛约旱氖斋@. 生:本節(jié)課我們主要研究了命題的組成及真假.知道任何一個(gè)命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成.命題分為真命題和假命題.
13、 生:在辨別真假命題時(shí).注意:假命題只需舉一個(gè)反例即可.而真命題除公理和性質(zhì)外,必須通過推理得證. 生:我知道應(yīng)該用本節(jié)課談到的公理來證明一些題. 生:…… 師:大家都談了自己的收獲,看來這節(jié)課學(xué)的不錯(cuò).下面我們來檢測(cè)一下,看看哪些同學(xué)應(yīng)用的最好. 繼續(xù)努力! 設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)我鼓勵(lì)學(xué)生暢談自己學(xué)習(xí)所得的新知識(shí)與個(gè)人切身體會(huì),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與自信心,對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)有很大的幫助. 五、快樂套餐,深化提高 A組: 1.下列命題中是真命題的是( ) A.平行于同一條直線的兩條直線平行; B.兩直線平行,同旁內(nèi)角相等 C.兩個(gè)角相等,這兩個(gè)角一定是對(duì)頂
14、角;D.相等的兩個(gè)角是平行線所得的內(nèi)錯(cuò)角 2.下列語句中不是命題的是( ) A.延長(zhǎng)線段AB; B.自然數(shù)也是整數(shù) C.兩個(gè)銳角的和一定是直角; D.同角的余角相等 3.下列語句中是命題的是( ) A.這個(gè)問題 B.這只筆是黑色的 C.一定相等 D.畫一條線段 4.下列命題是假命題的是( ) A.互補(bǔ)的兩個(gè)角不能都是銳角; B.若a⊥b,a⊥c,則b⊥c C.乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù); D.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 B組: 5.(中考演練)下列命題正確的
15、是( ) A.對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形; B.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形 C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形; D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 6.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,A,B,C,D,E五位同學(xué)分別得到了前五名(沒有并列同一名次的).關(guān)于各人的名次大家作出了下面的猜測(cè): A說:“第二名是D,第三名是B”. B說:“第二名是C,第四名是E.” C說:“第一名是E,第五名是A.” D說:“第三名是C,第四名是A.” E說:“第二名是B,第五名是D.” 結(jié)果每人都只猜對(duì)了一半,請(qǐng)判斷他們的名次如何. 設(shè)計(jì)意圖:
16、通過檢測(cè)糾錯(cuò),有針對(duì)性的對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固、落實(shí),對(duì)學(xué)生存在的問題及時(shí)有效的進(jìn)行反饋,讓老師及時(shí)、準(zhǔn)確的掌握學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果,為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備. 六、布置作業(yè),課堂延伸 必做題:課本第227頁 習(xí)題6.3 第1、2題. 選做題:課本第227頁 習(xí)題6.3 第3、4題. 板書設(shè)計(jì): 6.2 定義與命題 (2) 做一做: 命題: 一般地:命題常寫成:“如果……,那么……” 真命題: 假命題: 公理: 定理: 等量代換: 學(xué)生板演區(qū) 教學(xué)反思: 本節(jié)課的教學(xué)看似很容易,但要讓學(xué)生真正弄清命題的含義,理清命題的構(gòu)成并不容易,更多的學(xué)生只是能機(jī)械地將一個(gè)命題改寫成“如果……那么……”的形式,往往改寫的語句不夠通順、完整。因此,在教學(xué)中,進(jìn)行適當(dāng)?shù)撵柟叹毩?xí)是必要的,但要注意,應(yīng)允許部分學(xué)生在課余時(shí)間自行消化。 在探討命題的結(jié)構(gòu)特征和修改命題形式時(shí),有的學(xué)生可能會(huì)說出比較幼稚、甚至可笑的語句,盡管如此,也應(yīng)讓學(xué)生大膽說出自己的意見,避免學(xué)生機(jī)械模仿,要允許學(xué)生有錯(cuò)誤,并能在自行改正錯(cuò)誤中調(diào)整前進(jìn)。 7
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