2021-2022年度中考數(shù)學(xué)壓軸題專題訓(xùn)練17 探究型問題

一、單選題 1．如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C（﹣1，0）為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)，連接PA，PB，則△PAB面積的最小值是（　?。? A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【解析】 作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．連接BC． ∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5． ∵S△ABC= AB?CH=AC?OB，∴AB?CH=AC?OB，∴5CH=(4+1)3，解得：CH=3，∴EH=3﹣1=2． 當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，△PAB的面積最小，最小值52=5． 故選A． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用直線與圓的位置關(guān)系解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題． 2．定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)（n）=3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)（n）=（其中k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)）……，兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取n=24，則： 若n=13，則第2018次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（　?。? A．1 B．4 C．2018 D．42018 【答案】A 【解析】 若n=13， 第1次結(jié)果為：3n+1=40， 第2次結(jié)果是：， 第3次結(jié)果為：3n+1=16， 第4次結(jié)果為：=1， 第5次結(jié)果為：4， 第6次結(jié)果為：1， … 可以看出，從第四次開始，結(jié)果就只是1，4兩個(gè)數(shù)輪流出現(xiàn)， 且當(dāng)次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是1；次數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果是4， 而2018次是偶數(shù)，因此最后結(jié)果是1， 故選A． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了規(guī)律題——數(shù)字的變化類，能根據(jù)所給條件得出n=13時(shí)六次的運(yùn)算結(jié)果，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵． 3．如圖，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是( )秒 A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【解析】 設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故選D． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到動(dòng)點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于中檔題． 4．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其下方的部分記作，將向左平移得到，與x軸交于點(diǎn)B、D，若直線與、共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B， ∴=0， ∴x1=5，x2=9， ， 拋物線向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式， 當(dāng)直線過B點(diǎn)，有2個(gè)交點(diǎn)， ， ， 當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)， ， ， 相切， ， ， 如圖， 若直線與、共有3個(gè)不同的交點(diǎn)， --， 故選C． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)，正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵. 5．已知拋物線y=x2+1具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)F（0，2）的距離與到x軸的距離始終相等，如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，3），P是拋物線y=x2+1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PMF周長(zhǎng)的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】 過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交拋物線y=x2+1于點(diǎn)P，此時(shí)△PMF周長(zhǎng)最小值， ∵F（0，2）、M（ ，3）， ∴ME=3，F(xiàn)M==2， ∴△PMF周長(zhǎng)的最小值=ME+FM=3+2=5． 故選C． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題求線段和的最值問題，把需要求和的線段，找到相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后的線段共線時(shí)為最值情況. 6．如圖，點(diǎn)是菱形邊上的一動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)出發(fā)沿在路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 設(shè)菱形的高為h，有三種情況： ①當(dāng)P在AB邊上時(shí)，如圖1， y=AP?h， ∵AP隨x的增大而增大，h不變， ∴y隨x的增大而增大， 故選項(xiàng)C不正確； ②當(dāng)P在邊BC上時(shí)，如圖2， y=AD?h， AD和h都不變， ∴在這個(gè)過程中，y不變， 故選項(xiàng)A不正確； ③當(dāng)P在邊CD上時(shí)，如圖3， y=PD?h， ∵PD隨x的增大而減小，h不變， ∴y隨x的增大而減小， ∵P點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D， ∴P在三條線段上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同， 故選項(xiàng)D不正確， 故選B． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)P的位置的不同，運(yùn)用分類討論思想，分三段求出△PAD的面積的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵． 7．如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C（﹣2，0）為圓心，1為半徑的⊙C上，Q是AP的中點(diǎn)，已知OQ長(zhǎng)的最大值為，則k的值為（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如圖，連接BP， 由對(duì)稱性得：OA=OB， ∵Q是AP的中點(diǎn)， ∴OQ=BP， ∵OQ長(zhǎng)的最大值為， ∴BP長(zhǎng)的最大值為2=3， 如圖，當(dāng)BP過圓心C時(shí)，BP最長(zhǎng)，過B作BD⊥x軸于D， ∵CP=1， ∴BC=2， ∵B在直線y=2x上， 設(shè)B（t，2t），則CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2， ∴22=（t+2）2+（﹣2t）2， t=0（舍）或t=﹣， ∴B（﹣，﹣）， ∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上， ∴k=﹣（-）=， 故選C． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查的是代數(shù)與幾何綜合題，涉及了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，中位線定理，圓的基本性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，確定出BP過點(diǎn)C時(shí)OQ有最大值是解題的關(guān)鍵. 8．如圖，在正方形ABCD中，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB、AC于點(diǎn)M，N，分別以M，N為圓心，大于MN長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)H，連結(jié)AH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，再分別以A、E為圓心，以大于AE長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，Q，作直線PQ，分別交CD，AC，AB于點(diǎn)F，G，L，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，連接GE，下列結(jié)論：①∠LKB=22.5，②GE∥AB，③tan∠CGF=，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正確的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【解析】 ①∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BAD=45， 由作圖可知：AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=22.5， ∵PQ是AE的中垂線， ∴AE⊥PQ， ∴∠AOL=90， ∵∠AOL=∠LBK=90，∠ALO=∠KLB， ∴∠LKB=∠BAE=22.5； 故①正確； ②∵OG是AE的中垂線， ∴AG=EG， ∴∠AEG=∠EAG=22.5=∠BAE， ∴EG∥AB， 故②正確； ③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90， ∴∠ALO=∠AGO， ∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO， ∴∠CGF=∠BLK， 在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=， 故③正確； ④連接EL， ∵AL=AG=EG，EG∥AB， ∴四邊形ALEG是菱形， ∴AL=EL=EG＞BL， ∴， ∵EG∥AB， ∴△CEG∽△CBA， ∴， 故④不正確； 本題正確的是：①②③， 故選A． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了基本作圖：角平分線和線段的垂直平分線，三角形相似的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是關(guān)鍵，在正方形中由于性質(zhì)比較多，要熟記各個(gè)性質(zhì)并能運(yùn)用；是中考?？嫉倪x擇題的壓軸題． 9．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組，有且僅有三個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程=1有整數(shù)解，則滿足條件的所有a的值之和是（　?。? A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 【答案】B 【解析】 ， 解①得x≥-3， 解②得x≤， 不等式組的解集是-3≤x≤． ∵僅有三個(gè)整數(shù)解， ∴-1≤＜0 ∴-8≤a＜-3， =1， 3y-a-12=y-2． ∴y=， ∵y≠-2， ∴a≠-6， 又y=有整數(shù)解， ∴a=-8或-4， 所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是-8-4=-12， 故選B． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解題關(guān)鍵． 10．如圖，△ABC中，∠A=30，點(diǎn)O是邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點(diǎn)D，連接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，則線段CD的長(zhǎng)是（　?。? A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】 連接OD ∵OD是⊙O的半徑，AC是⊙O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)， ∴OD⊥AC 在Rt△AOD中，∵∠A=30，AD=2， ∴OD=OB=2，AO=4， ∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD， ∴∠ODB=∠CBD， ∴OD∥CB， ∴，即， ∴CD=． 故選B． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)及平行線分線段成比例定理，解決本題亦可說明∠C=90，利用∠A=30，AB=6，先得AC的長(zhǎng)，再求CD．遇切點(diǎn)連圓心得直角，是通常添加的輔助線． 11．如圖，在△ABC中，∠C=90，AC=BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線ACCB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.設(shè)△APQ的面積為y（cm2）.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），則下列圖象能反映y與x之間關(guān)系的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 在△ABC中，∠C=90，AC=BC=3cm，可得AB=，∠A=∠B=45，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)（如圖1）， 由題意可得AP=x，AQ=x，過點(diǎn)Q作QN⊥AB于點(diǎn)N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN=x，所以y==（0＜x≤3），即當(dāng)0＜x≤3時(shí)，y隨x的變化關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x=3時(shí)，y=4.5；當(dāng)3≤x≤6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)（如圖2），由題意可得PQ=6-x，AP=3，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN=(6-x)，所以y==（3≤x≤6），即當(dāng)3≤x≤6時(shí)，y隨x的變化關(guān)系是一次函數(shù)，且當(dāng)x=6時(shí)，y=0.由此可得，只有選項(xiàng)D符合要求，故選D. 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象，解決本題要正確分析動(dòng)線運(yùn)動(dòng)過程，然后再正確計(jì)算其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，由函數(shù)的解析式對(duì)應(yīng)其圖象，由此即可解答． 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN，則下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　） A．△ONC≌△OAM B．四邊形DAMN與△OMN面積相等 C．ON=MN D．若∠MON=45，MN=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，+1） 【答案】C 【解析】 ∵點(diǎn)M、N都在y=的圖象上， ∴S△ONC=S△OAM=k，即OC?NC=OA?AM， ∵四邊形ABCO為正方形， ∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90， ∴NC=AM， ∴△OCN≌△OAM， ∴A正確； ∵S△OND=S△OAM=k， 而S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN， ∴四邊形DAMN與△MON面積相等， ∴B正確； ∵△OCN≌△OAM， ∴ON=OM， ∵k的值不能確定， ∴∠MON的值不能確定， ∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形， ∴ON≠M(fèi)N， ∴C錯(cuò)誤； 作NE⊥OM于E點(diǎn)，如圖所示： ∵∠MON=45，∴△ONE為等腰直角三角形， ∴NE=OE， 設(shè)NE=x，則ON=x， ∴OM=x， ∴EM=x-x=（ -1）x， 在Rt△NEM中，MN=2， ∵M(jìn)N2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2， ∴x2=2+， ∴ON2=（x）2=4+2， ∵CN=AM，CB=AB， ∴BN=BM， ∴△BMN為等腰直角三角形， ∴BN=MN=， 設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，則OC=a，CN=a-， 在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2， ∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去）， ∴OC=+1， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，+1）， ∴D正確． 故選：C． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和正方形的性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)；熟練運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算． 13．如圖，一段拋物線y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）為C1，與x軸交于A0，A1兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180得到C2，頂點(diǎn)為D2；C1與C2組成一個(gè)新的圖象，垂直于y軸的直線l與新圖象交于點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），與線段D1D2交于點(diǎn)P3（x3，y3），設(shè)x1，x2，x3均為正數(shù)，t=x1+x2+x3，則t的取值范圍是（　?。? A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12 【答案】D 【解析】 翻折后的拋物線的解析式為y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12， ∵設(shè)x1，x2，x3均為正數(shù)， ∴點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限， 根據(jù)對(duì)稱性可知：x1+x2=8， ∵2≤x3≤4， ∴10≤x1+x2+x3≤12， 即10≤t≤12， 故選D． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，熟練掌握和靈活應(yīng)用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 14．已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+6及一次函數(shù)y=﹣x+m，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新函數(shù)（如圖所示），請(qǐng)你在圖中畫出這個(gè)新圖象，當(dāng)直線y=﹣x+m與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是（　?。? A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2 【答案】D 【解析】 如圖，當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，則A（﹣2，0），B（3，0）， 將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y=（x+2）（x﹣3）， 即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）， 當(dāng)直線y=﹣x+m經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）時(shí)，2+m=0，解得m=﹣2； 當(dāng)直線y=﹣x+m與拋物線y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點(diǎn)時(shí)，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的實(shí)數(shù)解，解得m=﹣6， 所以當(dāng)直線y=﹣x+m與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為﹣6＜m＜﹣2， 故選D． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了拋物線與幾何變換，拋物線與x軸的交點(diǎn)等，把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程是解決此類問題常用的方法. 15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AP，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H，連接HF．下列結(jié)論正確的是（　?。? A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF?CF 【答案】D 【解析】 連接． 四邊形ABCD是正方形， ∴CD=AB=BC=AD=2，CD∥AB， ∵BE⊥AP，CG⊥BE， ∴CH∥PA， ∴四邊形是平行四邊形， ∴CP = AH， ∵CP=PD=1， ∴AH=PC=1， ∴AH=BH， 在Rt△ABE中，∵AH=HB， ∴EH=HB，∵HC⊥BE， ∴BG=EG， ∴CB=CE=2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤， ∵CH=CH，CB=CE，HB=HE， ∴△CBH≌△CEH， ∴∠CBH=∠CEH=90， ∵HF=HF，HE=HA， ∴Rt△HFE≌Rt△HFA， ∴AF=EF，設(shè)EF=AF=x， 在Rt△CDF中，有22+(2-x)2=(2+x)2， ∴x= ， ∴EF=∴，故B錯(cuò)誤， ∵PA∥CH， ∴∠CEP=∠ECH=∠BCH， ∴cos∠CEP=cos∠BCH== ，故C錯(cuò)誤． ∵HF= ，EF= ，F(xiàn)C= ∴HF2=EFFC，故D正確， 故選：D． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題． 16．如圖，拋物線y=（x+2）（x﹣8）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M，以AB為直徑作⊙D．下列結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3；②⊙D的面積為16π；③拋物線上存在點(diǎn)E，使四邊形ACED為平行四邊形；④直線CM與⊙D相切．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 ∵在y=（x+2）（x﹣8）中，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣2或x=8， ∴點(diǎn)A（﹣2，0）、B（8，0）， ∴拋物線的對(duì)稱軸為x==3，故①正確； ∵⊙D的直徑為8﹣（﹣2）=10，即半徑為5， ∴⊙D的面積為25π，故②錯(cuò)誤； 在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，當(dāng)x=0時(shí)y=﹣4， ∴點(diǎn)C（0，﹣4）， 當(dāng)y=﹣4時(shí)，x2﹣x﹣4=﹣4， 解得：x1=0、x2=6， 所以點(diǎn)E（6，﹣4）， 則CE=6， ∵AD=3﹣（﹣2）=5， ∴AD≠CE， ∴四邊形ACED不是平行四邊形，故③錯(cuò)誤； ∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣， ∴點(diǎn)M（3，﹣）， ∴DM=， 如圖，連接CD，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，則有N（0，﹣），MN=3， ∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=， 在Rt△ODC中，∠COD=90，∴CD2=OC2+OD2=25，∴CM2+CD2=， ∵DM2=， ∴CM2+CD2=DM2， ∴∠DCM=90，即DC⊥CM， ∵CD是半徑， ∴直線CM與⊙D相切，故④正確， 故選B． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)與圓的綜合題，涉及到拋物線的對(duì)稱軸、圓的面積、平行四邊形的判定、待定系數(shù)法、兩直線垂直、切線的判定等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 17．拋物線的部分圖象如圖所示，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是下列結(jié)論中： ；；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；若點(diǎn)在該拋物線上，則． 其中正確的有　　 A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 【答案】B 【解析】 對(duì)稱軸是y軸的右側(cè)， ， 拋物線與y軸交于正半軸， ， ，故錯(cuò)誤； ， ，，故正確； 由圖象得：時(shí)，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)， 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故正確； 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是， 拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，故正確； 拋物線的對(duì)稱軸是， 有最大值是， 點(diǎn)在該拋物線上， ，故正確， 本題正確的結(jié)論有：，4個(gè)， 故選B． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于；也考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)． 18．如圖，點(diǎn)E在△DBC的邊DB上，點(diǎn)A在△DBC內(nèi)部，∠DAE=∠BAC=90，AD=AE，AB=AC．給出下列結(jié)論： ①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正確的是（　　） A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【解析】 ∵∠DAE=∠BAC=90， ∴∠DAB=∠EAC ∵AD=AE，AB=AC， ∴△DAB≌△EAC， ∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正確， ∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45，故②正確， ∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45+45=90， ∴∠CEB=90，即CE⊥BD，故③正確， ∴BE2=BC2-EC2=2AB2-（CD2-DE2）=2AB2-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2．故④正確， 故選：A． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題． 19．如圖，邊長(zhǎng)為2的正△ABC的邊BC在直線l上，兩條距離為l的平行直線a和b垂直于直線l，a和b同時(shí)向右移動(dòng)（a的起始位置在B點(diǎn)），速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），直到b到達(dá)C點(diǎn)停止，在a和b向右移動(dòng)的過程中，記△ABC夾在a和b之間的部分的面積為s，則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如圖①，當(dāng)0≤t＜1時(shí)，BE=t，DE=t， ∴s=S△BDE=tt=t2； 如圖②，當(dāng)1≤t＜2時(shí)，CE=2-t，BG=t-1， ∴DE=（2-t），F(xiàn)G=（t-1）， ∴s=S五邊形AFGED=S△ABC-S△BGF-S△CDE=2-（t-1）（t-1）-（2-t）（2-t）=-t2+3t-； 如圖③，當(dāng)2≤t≤3時(shí)，CG=3-t，GF=（3-t）， ∴s=S△CFG=（3-t）（3-t）=t2-3t+， 綜上所述，當(dāng)0≤t＜1時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分；當(dāng)1≤t＜2時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一部分；當(dāng)2≤t≤3時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分， 故選B． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力． 20．如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，AE的垂直平分線分別交AD，BC及AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，G，H，連接HE，HC，OD，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M．則下列結(jié)論中： ①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH?DE；⑤GO+BH=HC 正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 如圖， 建立以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，可分別得各點(diǎn)坐標(biāo)， A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E為CD的中點(diǎn),可得E點(diǎn)坐標(biāo)（2，1），可得AE的直線方程，，由OF為直線AE的中垂線可得O點(diǎn)為，設(shè)直線OF的斜率為K，得，可得k=2,同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)O(),可得OF的直線方程： ，可得OF與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)G(,0),H(0,),及F(,2), 同理可得：直線CO的方程為：，可得M點(diǎn)坐標(biāo)（，2）， 可得：①FG=, AO= =, 故FG=2AO，故①正確； ②：由O點(diǎn)坐標(biāo)，D點(diǎn)坐標(biāo)（2，2），可得OD的方程：， 由H點(diǎn)坐標(biāo)(0,)，E點(diǎn)坐標(biāo)（2，1），可得HE方程：， 由兩方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE， 故②錯(cuò)誤； ③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1）， 可得：BH=,EC=1,AM=,MD=, 故=， 故③正確； ④：由O點(diǎn)坐標(biāo)，E（2，1），H(0,)，D(2,2), 可得：, AH=,DE=1,有2OE2=AH?DE， 故④正確； ⑤：由G(,0)，O點(diǎn)坐標(biāo)，H(0,)，C(2,0), 可得：, BH=,HC=, 可得：GO≠BH+HC, 故正確的有①③④， 故選B. 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題主要考查一次函數(shù)與矩形的綜合，及點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式，難度較大，靈活建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵. 二、填空題 21．如圖，已知等邊△，頂點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．過作交雙曲線于點(diǎn)，過作交軸于點(diǎn)，得到第二個(gè)等邊△；過作交雙曲線于點(diǎn)，過作交軸于點(diǎn)，得到第三個(gè)等邊△；以此類推，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__． 【答案】（2，0）． 【解析】 如圖，作軸于點(diǎn)C， 設(shè)，則， ，． 點(diǎn)A2在雙曲線上， ， 解得，（不符題意舍去）， ， 點(diǎn)B2的坐標(biāo)為； 作軸于點(diǎn)D，設(shè)B2D=b，則， ，． 點(diǎn)A3在雙曲線上， ， 解得，（不符題意舍去）， ， 點(diǎn)B3的坐標(biāo)為； 同理可得點(diǎn)B4坐標(biāo)為； 以此類推， 點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為， 點(diǎn)B6的坐標(biāo)為． 故答案為． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí). 正確求出、、的坐標(biāo)進(jìn)而得出點(diǎn)Bn的規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 22．如圖，已知∠MON=120，點(diǎn)A，B分別在OM，ON上，且OA=OB=a，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM′，旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜120且α≠60），作點(diǎn)A關(guān)于直線OM′的對(duì)稱點(diǎn)C，畫直線BC交OM′于點(diǎn)D，連接AC，AD，有下列結(jié)論： ①AD=CD； ②∠ACD的大小隨著α的變化而變化； ③當(dāng)α=30時(shí)，四邊形OADC為菱形； ④△ACD面積的最大值為a2； 其中正確的是_____．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）． 【答案】①③④ 【解析】①∵A、C關(guān)于直線OM對(duì)稱， ∴OM是AC的垂直平分線， ∴CD=AD，故①正確； ②連接OC， 由①知：OM是AC的垂直平分線，∴OC=OA， ∴OA=OB=OC， 以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作⊙O，交AO的延長(zhǎng)線于E，連接BE， 則A、B、C都在⊙O上， ∵∠MON=120， ∴∠BOE=60， ∵OB=OE， ∴△OBE是等邊三角形， ∴∠E=60， ∵A、C、B、E四點(diǎn)共圓， ∴∠ACD=∠E=60，故②不正確； ③當(dāng)α=30時(shí)，即∠AOD=∠COD=30， ∴∠AOC=60， ∴△AOC是等邊三角形， ∴∠OAC=60，OC=OA=AC， 由①得：CD=AD， ∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60， ∴△ACD是等邊三角形， ∴AC=AD=CD， ∴OC=OA=AD=CD， ∴四邊形OADC為菱形，故③正確； ④∵CD=AD，∠ACD=60， ∴△ACD是等邊三角形， 當(dāng)AC最大時(shí)，△ACD的面積最大， ∵AC是⊙O的弦，即當(dāng)AC為直徑時(shí)最大，此時(shí)AC=2OA=2a，α=90， ∴△ACD面積的最大值是：AC2=，故④正確， 所以本題結(jié)論正確的有：①③④， 故答案為：①③④． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線構(gòu)建圖形并能靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 23．按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，如數(shù)列：，，，，…，則這個(gè)數(shù)列前2018個(gè)數(shù)的和為_____． 【答案】 【解析】 由數(shù)列知第n個(gè)數(shù)為， 則前2018個(gè)數(shù)的和為 = = =1﹣ =， 故答案為：． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律題、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算等，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的法則以及得出第n個(gè)數(shù)為是解題的關(guān)鍵. 24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OAA1的直角邊OA在x軸上，點(diǎn)A1在第一象限，且OA=1，以點(diǎn)A1為直角頂點(diǎn)，OA1為一直角邊作等腰直角三角形OA1A2，再以點(diǎn)A2為直角頂點(diǎn)，OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3…依此規(guī)律，則點(diǎn)A2018的坐標(biāo)是_____． 【答案】（0，21009） 【解析】 ∵∠OAA1=90，OA=AA1=1，以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，再以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…， ∴OA1=，OA2=（）2，…，OA2018=（）2018， ∵A1、A2、…，每8個(gè)一循環(huán)， ∵2018=2528+2 ∴點(diǎn)A2018的在y軸正半軸上，OA2018==21009， 故答案為：（0，21009）. 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題是平面直角坐標(biāo)系下的規(guī)律探究題，除了研究動(dòng)點(diǎn)變化的相關(guān)數(shù)據(jù)規(guī)律，還應(yīng)該注意象限符號(hào)． 25．如圖，已知等邊△OA1B1，頂點(diǎn)A1在雙曲線y=（x＞0）上，點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（2，0）．過B1作B1A2∥OA1交雙曲線于點(diǎn)A2，過A2作A2B2∥A1B1交x軸于點(diǎn)B2，得到第二個(gè)等邊△B1A2B2；過B2作B2A3∥B1A2交雙曲線于點(diǎn)A3，過A3作A3B3∥A2B2交x軸于點(diǎn)B3，得到第三個(gè)等邊△B2A3B3；以此類推，…，則點(diǎn)B6的坐標(biāo)為_____． 【答案】（2，0）． 【解析】 如圖，作A2C⊥x軸于點(diǎn)C，設(shè)B1C=a，則A2C=a， OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）． ∵點(diǎn)A2在雙曲線y=（x＞0）上， ∴（2+a）?a=， 解得a=﹣1，或a=﹣﹣1（舍去）， ∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2， ∴點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（2，0）； 作A3D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)B2D=b，則A3D=b， OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）． ∵點(diǎn)A3在雙曲線y=（x＞0）上， ∴（2+b）?b=， 解得b=﹣+，或b=﹣﹣（舍去）， ∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2+2=2， ∴點(diǎn)B3的坐標(biāo)為（2，0）； 同理可得點(diǎn)B4的坐標(biāo)為（2，0）即（4，0）； …， ∴點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為（2，0）， ∴點(diǎn)B6的坐標(biāo)為（2，0）， 故答案為：（2，0）． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律題，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，正確求出B2、B3、B4的坐標(biāo)進(jìn)而得出點(diǎn)Bn的規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 26．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1、x2，且x12+x22=4，則x12﹣x1x2+x22的值是_____． 【答案】4 【解析】 ∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1、x2， ∴x1+x2=2k，x1?x2=k2﹣k， ∵x12+x22=4， ∴（x1+x2）2-2x1x2=4， （2k）2﹣2（k2﹣k）=4， 2k2+2k﹣4=0， k2+k﹣2=0， k=﹣2或1， ∵△=（﹣2k）2﹣41（k2﹣k）≥0， k≥0， ∴k=1， ∴x1?x2=k2﹣k=0， ∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4， 故答案為：4． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握“當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式△≥0”是解題的關(guān)鍵． 27．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象分別與AD，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若S△BEF=7，k1+3k2=0，則k1等于_____． 【答案】9 【解析】 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣a，0）， 由圖象可知，點(diǎn)C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，）， ∵k1+3k2=0，∴k2=﹣k1，∴F（﹣，）， 矩形ABCD面積為：2a?=2k1， ∴S△DEF=， S△BCF=， S△ABE=， ∵S△BEF=7， ∴2k1+﹣+k2=7， 又∵k2=﹣k1， ∴k1+（﹣）=7， ∴k1=9 故答案為：9 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題是反比例函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)B坐標(biāo)繼而表示出相關(guān)各點(diǎn)，應(yīng)用面積的割補(bǔ)法構(gòu)造方程． 28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第三象限的雙曲線上，過點(diǎn)作軸交雙曲線于點(diǎn)，連接，則的面積為__________． 【答案】7 【解析】 如圖，過D作GH⊥x軸，過A作AG⊥GH，過B作BM⊥HC于M， 設(shè)D（x，）， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90， 易得△AGD≌△DHC≌△CMB， ∴AG=DH=-x-1， ∴DG=BM， ∴1-=-1-x-， x=-2， ∴D（-2，-3），CH=DG=BM=1-=4， ∵AG=DH=-1-x=1， ∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-4， 當(dāng)y=-4時(shí)，x=-， ∴E（-，-4）， ∴EH=2-=， ∴CE=CH-HE=4-=， ∴S△CEB=CE?BM=4=7. 故答案為：7． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題的壓軸題． 29．如圖，在直角△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ =________． 【答案】或 【解析】 ①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ，∠QPB=90時(shí)，設(shè)AQ=PQ=x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴， ∴， ∴x=， ∴AQ=． ②當(dāng)AQ=PQ，∠PQB=90時(shí)，如圖2，設(shè)AQ=PQ=y． ∵△BQP∽△BCA， ∴， ∴， ∴y=． 綜上所述，滿足條件的AQ的值為或． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題． 30．如圖．在△ABC中，∠ACB=60，AC=1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)．若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是_____． 【答案】 【解析】 如圖，延長(zhǎng)BC至M，使CM=CA，連接AM，作CN⊥AM于N， ∵DE平分△ABC的周長(zhǎng)， AD=DB， ∴BE=CE+AC， ∴ME=EB， 又AD=DB， ∴DE=AM，DE∥AM， ∵∠ACB=60， ∴∠ACM=120， ∵CM=CA， ∴∠ACN=60，AN=MN， ∴AN=AC?sin∠ACN=， ∴AM=， ∴DE=， 故答案為：． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，掌握三角形中位線定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵． 31．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BD＝CD，過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，且DN＝，在DB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P，滿足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，則AP＝_____. 【答案】6 【解析】 ∵BD=CD，AB=CD， ∴BD=BA， 又∵AM⊥BD，DN⊥AB， ∴DN=AM=3， 又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP， ∴∠P=∠PAM， ∴△APM是等腰直角三角形， ∴AP=AM=6， 故答案為：6． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題給的關(guān)鍵是判定△APM是等腰直角三角形． 32．如圖，點(diǎn) C 為 Rt△ACB 與 Rt△DCE 的公共點(diǎn)，∠ACB=∠DCE=90，連 接 AD、BE，過點(diǎn) C 作 CF⊥AD 于點(diǎn) F，延長(zhǎng) FC 交 BE 于點(diǎn) G．若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，則的值為___________． 【答案】 【解析】 如圖，過 E作 EH⊥GF于 H，過 B 作 BP⊥GF于P，則∠EHG=∠BPG=90， 又∵∠EGH=∠BGP， ∴△EHG∽△BPG， ∴=， ∵CF⊥AD， ∴∠DFC=∠AFC=90， ∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB， 又∵∠ACB=∠DCE=90， ∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB， ∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP， ∴， ∴EH=CF，BP=CF， ∴=， ∴=， 故答案為：． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵. 33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（x＞0）與正比例函數(shù)y=kx、 （k＞1）的圖象分別交于點(diǎn)A、B，若∠AOB＝45，則△AOB的面積是________. 【答案】2 【解析】 如圖：作BD⊥x軸，AC⊥y軸，OH⊥AB， 設(shè)A（x1，y1），B（x2 ， y2）， ∵A、B在反比例函數(shù)上， ∴x1y1=x2y2=2， ∵， 解得：x1=， 又∵， 解得：x2=， ∴x1x2==2， ∴y1=x2， y2=x1， 即OC=OD，AC=BD， ∵BD⊥x軸，AC⊥y軸， ∴∠ACO=∠BDO=90， ∴△ACO≌△BDO（SAS）， ∴AO=BO，∠AOC=∠BOD， 又∵∠AOB＝45，OH⊥AB， ∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5， ∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO， ∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= 2+ 2=2， 故答案為：2. 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，全等三角形的判定與性質(zhì)等，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵. 34．如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接AC交BN于點(diǎn)E，連接DE交AM于點(diǎn)F，連接CF，若正方形的邊長(zhǎng)為6，則線段CF的最小值是______． 【答案】 【解析】 如圖， 在正方形ABCD中，，，， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， 取AD的中點(diǎn)O，連接OF、OC， 則， 在中，， 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，， 當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小， 最小值， 故答案為：． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，確定出CF最小時(shí)點(diǎn)F的位置是解題關(guān)鍵． 35．設(shè)是一列正整數(shù)，其中表示第一個(gè)數(shù)，表示第二個(gè)數(shù)，依此類推，表示第個(gè)數(shù)(是正整數(shù))，已知，，則___________. 【答案】4035 【解析】 ∵， ∴， ∴， ∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1， ∴an+1-an=2或an=-an+1， 又∵是一列正整數(shù)， ∴an=-an+1不符合題意，舍去， ∴an+1-an=2， 又∵a1=1， ∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1， ∴a2018=22018-1=4035， 故答案為：4035. 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用、平方根的應(yīng)用、規(guī)律型題，解題的關(guān)鍵是通過已知條件推導(dǎo)得出an+1-an=2. 36．如圖，射線OM在第一象限，且與x軸正半軸的夾角為60，過點(diǎn)D（6,0)作DA⊥OM于點(diǎn)A，作線段 OD的垂直平分線BE交x軸于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)B,作射線OB.以AB為邊在△AOB的外側(cè)作正方形ABCA1,延長(zhǎng)A1C交射線OB于點(diǎn)B1,以A1B1為邊在△A1OB1的外側(cè)作正方形A1B1C1A2,延長(zhǎng)A2C1交射線OB于點(diǎn)B2,以A2B2為邊在△A2OB2的外側(cè)作正方形A2B2C2A3……按此規(guī)律進(jìn)行下去，則正方形A2017B2017C2017A2018的周長(zhǎng)為______________. 【答案】 【解析】 由題意：正方形ABCA1的邊長(zhǎng)為， 正方形A1B1C1A2的邊長(zhǎng)為（1+）＝+1， 正方形A2B2C2A3…的邊長(zhǎng)為（1+）2， 正方形A3B3C3A4的邊長(zhǎng)為（1+）3， 由此規(guī)律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的邊長(zhǎng)為（1+）2017． ∴正方形A2017B2017C2017A2018的周長(zhǎng)為：4（1+）2017． 故答案為：4（1+）2017． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查規(guī)律型問題、解直角三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，根據(jù)獲取的規(guī)律解決問題． 37．如圖，平面直角坐標(biāo)系中是原點(diǎn)， 的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)把線段三等分，延長(zhǎng)分別交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論： ①是的中點(diǎn)；②與相似；③四邊形的面積是；④；其中正確的結(jié)論是 __________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)） 【答案】①③ 【解析】如圖，分別過點(diǎn)A、B作 于點(diǎn)N， 軸于點(diǎn)M， 在 中， ， 是線段AB的三等分點(diǎn)， ， ， ， 是OA的中點(diǎn)，故①正確； ， 不是菱形， ， ， ， 故 和 不相似，故②錯(cuò)誤； 由①得，點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)， 是 的中位線， ， 是OB的三等分點(diǎn)， ， ， ∴ ， ，∴四邊形 是梯形， ， 故③正確； ,故④錯(cuò)誤， 綜上：①③正確， 故答案為：①③. 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、三角形的中位線等，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵. 38．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論： ①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH?PB；④． 其中正確的是____________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)） 【答案】①③④． 【解析】 ∵△BPC是等邊三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90，∴∠ABE=∠DCF=30，在△ABE與△CDF中，∵∠A=∠ADC，∠ABE=∠DCF，AB=CD，∴△ABE≌△DCF，故①正確； ∵PC=CD，∠PCD=30，∴∠PDC=75，∴∠FDP=15，∵∠DBC=45，∴∠PBD=15，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60，∴△DFP∽△BPH，∴，故②錯(cuò)誤； ∵∠PDH=∠PCD=30，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴，∵PB=CD，∴，故③正確； 如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，△BPC為正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30∴PN=PB?sin60=4=，PM=PC?sin30=2，S△BPD=S四邊形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=，∴．故答案為：①③④． 39．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60，AB=2，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間的最短距離為 ． 【答案】． 【解析】 如圖連接AC、BD交于點(diǎn)O，以B為圓心BC為半徑畫圓交BD于P． 此時(shí)△PBC是等腰三角形，線段PD最短，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴BO=DO=2=，∴BD=2BO=，∴PD最小值=BD﹣BP=．故答案為：． 40．如圖，直線l為y=x，過點(diǎn)A1（1，0）作A1B1⊥x軸，與直線l交于點(diǎn)B1，以原點(diǎn)O為圓心，OB1長(zhǎng)為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A2；再作A2B2⊥x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以原點(diǎn)O為圓心，OB2長(zhǎng)為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A3；……，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)An的坐標(biāo)為（_______）． 【答案】2n﹣1，0 【解析】 ∵直線l為y=x，點(diǎn)A1（1，0），A1B1⊥x軸， ∴當(dāng)x=1時(shí)，y=， 即B1（1，）， ∴tan∠A1OB1=， ∴∠A1OB1=60，∠A1B1O=30， ∴OB1=2OA1=2， ∵以原點(diǎn)O為圓心，OB1長(zhǎng)為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A2， ∴A2（2，0）， 同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…， ∴點(diǎn)An的坐標(biāo)為（2n﹣1，0）， 故答案為：2n﹣1，0． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律題——點(diǎn)的坐標(biāo)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等，先根據(jù)所給一次函數(shù)判斷出一次函數(shù)與x軸夾角是解決本題的突破點(diǎn)；根據(jù)含30的直角三角形的特點(diǎn)依次得到A1、A2、A3…的點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵． 三、解答題 41．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3 的圖象與x軸分別交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C （1）求此二次函數(shù)解析式； （2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，試判斷△BCD的形狀，并說明理由； （3）將直線BC向上平移t(t>0)個(gè)單位，平移后的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在y軸的右側(cè)），當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，求t的值． 【答案】（1）；（2）△BCD為直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，t的值為1或4． 【解析】 （1）將、代入，得： ，解得：， 此二次函數(shù)解析式為． （2）為直角三角形，理由如下： ， 頂點(diǎn)的坐標(biāo)為． 當(dāng)時(shí)，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為． 點(diǎn)的坐標(biāo)為， ， ， ． ， ， 為直角三角形． （3）設(shè)直線的解析式為， 將，代入，得： ，解得：， 直線的解析式為， 將直線向上平移個(gè)單位得到的直線的解析式為． 聯(lián)立新直線與拋物線的解析式成方程組，得：， 解得：，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，． 點(diǎn)的坐標(biāo)為， ，，． 為直角三角形， 分三種情況考慮： ①當(dāng)時(shí)，有，即， 整理，得：， 解得：，（不合題意，舍去）； ②當(dāng)時(shí)，有，即， 整理，得：， 解得：，（不合題意，舍去）； ③當(dāng)時(shí)，有，即， 整理，得：． ， 該方程無解（或解均為增解）． 綜上所述：當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為1或4． 【關(guān)鍵點(diǎn)撥】 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根