專題14圓的切線有關(guān)證明問題解析版蘇科版
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專題14圓的切線有關(guān)證明問題解析版蘇科版
2020年中考數(shù)學(xué)必考經(jīng)典題講練案【蘇科版】
專題14 圓的切線有關(guān)證明問題
【方法指導(dǎo)】
1. 判斷直線和圓的位置關(guān)系:設(shè)⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d.
①直線l和⊙O相交?d<r②直線l和⊙O相切?d=r
③直線l和⊙O相離?d>r.
2. 切線的性質(zhì):①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).
③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.
如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),那么它一定滿足第三個(gè)條件,這三個(gè)條件是:①直線過圓心;②直線過切點(diǎn);③直線與圓的切線垂直.
3.切線的判定:
(1)切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
(2)在應(yīng)用判定定理時(shí)注意:
①切線必須滿足兩個(gè)條件:a、經(jīng)過半徑的外端;b、垂直于這條半徑,否則就不是圓的切線.
②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí),直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的.
③在判定一條直線為圓的切線時(shí),當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí),常過圓心作該直線的垂線段,證明該線段的長(zhǎng)等于半徑,可簡(jiǎn)單的說成“無交點(diǎn),作垂線段,證半徑”;當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),常連接過該公共點(diǎn)的半徑,證明該半徑垂直于這條直線,可簡(jiǎn)單地說成“有交點(diǎn),作半徑,證垂直”.
4.切線長(zhǎng)定理:
(1)圓的切線長(zhǎng)定義:經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).
(2)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線,平分兩條切線的夾角.切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念,切線是直線,不能度量;切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng),這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn),可以度量.
(3)切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論:①垂直關(guān)系三處;②全等關(guān)系三對(duì);③弧相等關(guān)系兩對(duì),在一些證明求解問題中經(jīng)常用到.
5.三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心
(1)內(nèi)切圓的有關(guān)概念:
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓,三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).
(2)任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓,而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形.
(3)三角形內(nèi)心的性質(zhì):三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等;三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.
【題型剖析】
【類型1】直線和圓的位置關(guān)系
【例1】(2019秋?邗江區(qū)校級(jí)期中)直線l與半徑為r的⊙O相交,且點(diǎn)O到直線l的距離為3,則r的取值范圍是( ?。?
A.r<3 B.r=3 C.r>3 D.r≥3
【分析】直線和圓有三種位置關(guān)系:已知⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離是d,①當(dāng)d=r時(shí),直線l和⊙O相切,②當(dāng)d<r時(shí),直線l和⊙O相交,③當(dāng)d>r時(shí),直線l和⊙O相離,根據(jù)以上內(nèi)容得出即可.
【解析】∵直線l與半徑為r的⊙O相交,且點(diǎn)O到直線l的距離為3,
∴r>3,
故選:C.
【方法小結(jié)】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解答.若d<r,則直線與圓相交;若d=r,則直線于圓相切;若d>r,則直線與圓相離.
【變式1-1】(2018?常州模擬)半徑為10的⊙O和直線l上一點(diǎn)A,且OA=10,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( ?。?
A.相切 B.相交 C.相離 D.相切或相交
【分析】分兩種情況求解:OA⊥l;OA不垂直l.根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判定.
【解析】若OA⊥l,則圓心O到直線l的距離就是OA的長(zhǎng),等于半徑,所以直線l與⊙O相切;
若OA與直線l不垂直,根據(jù)垂線段最短,圓心O到直線l的距離小于5,即小于半徑,所以直線l與⊙O相交.
故選:D.
【變式1-2】(2019?宜興市一模)如圖,在直角△ABC中,∠C=90,BC=3,AC=4,D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn),且DE=3.若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N,則MN的最大值為( )
A.85 B.2 C.125 D.145
【分析】根據(jù)題意有C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OG最小,MN最大,根據(jù)勾股定理求得AB,根據(jù)三角形面積求得CF,然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求得MN的最大值.
【解析】取DE的中點(diǎn)O,過O作OG⊥AB于G,連接OC,
又∵CO=1.5,
∴只有C、O、G三點(diǎn)一線時(shí)G到圓心O的距離最小,
∴此時(shí)OG達(dá)到最小.
∴MN達(dá)到最大.
作CF⊥AB于F,
∴G和F重合時(shí),MN有最大值,
∵∠C=90,BC=3,AC=4,
∴AB=AC2+BC2=5,
∵12AC?BC=12AB?CF,
∴CF=125,
∴OG=125-32=910,
∴MG=OM2-OG2=65,
∴MN=2MG=125,
故選:C.
【類型2】切線的性質(zhì)問題
【例2】(2019?宿豫區(qū)模擬)如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,∠BAC=2∠ABC,過點(diǎn)B的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若⊙O的半徑為1,則CD長(zhǎng)為( ?。?
A.3 B.4 C.23 D.3
【分析】根據(jù)圓周角定理和∠BAC=2∠ABC,求得∠ABC=30,解直角三角形求得AC=1,BC=3,由切線的性質(zhì)得出∠ABD=90,根據(jù)射影定理即可求得.
【解析】∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90,
∴∠BAC+∠ABC=90,
∵∠BAC=2∠ABC,
∴∠ABC=30,
∴AC=12AB=1,BC=32AB=3,
∵BD是⊙O的切線,
∴AD⊥DB,
∴∠ABD=90,
∴BC2=AC?CD,
∴CD=BC2AC=31=3,
故選:A.
【變式2-1】(2019?灌南縣二模)如圖,菱形ABCD的邊AB=5,面積為20,∠BAD<90,⊙O與邊AB、AD都相切,AO=2,則⊙O的半徑長(zhǎng)等于( ?。?
A.235 B.55 C.335 D.255
【分析】連接AC,BD,OE,根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理分別求出AM,BM,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OEA=90,證明△AOE∽△ABM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,計(jì)算即可.
【解析】連接AC,BD,OE,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AM=CM,BM=DM,
∵⊙O與邊AB、AD都相切,
∴點(diǎn)O在AC上,
設(shè)AM=x,BM=y(tǒng),
∵∠BAD<90,
∴x>y,
由勾股定理得,x2+y2=25,
∵菱形ABCD的面積為20,
∴12xy=5,
x2+y2=2512xy=5,
解得,x=25,y=5,
∵⊙O與邊AB相切,
∴∠OEA=90,
∵∠OEA=∠BMA,∠OAE=∠BAM,
∴△AOE∽△ABM,
∴OEBM=OAAB,即OE5=25,
解得,OE=255,
故選:D.
【變式2-2】(2019?昆山市二模)如圖,⊙O中,直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,連接BC,AD,過點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若∠D=65,則∠F的度數(shù)等于( ?。?
A.30 B.35 C.40 D.45
【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCF=90,根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠D=65,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.
【解析】連接OC,
∵CF是⊙O的切線,
∴∠OCF=90,
由圓周角定理得,∠ABC=∠D=65,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠ABC=65,
∴∠BOC=180﹣65﹣65=50,
∴∠F=90﹣∠BOC=40,
故選:C.
【方法小結(jié)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理,掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.
【類型3】切線長(zhǎng)定理
【例3】(2019?宜興市二模)如圖,PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B,PA=10,CD切⊙O于點(diǎn)E,交PA、PB于C、D兩點(diǎn),則△PCD的周長(zhǎng)是( ?。?
A.10 B.18 C.20 D.22
【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出PA=PB=10,CA=CE,DE=DB,求出△PCD的周長(zhǎng)是PC+CD+PD=PA+PB,代入求出即可.
【解析】∵PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B,CD切⊙O于點(diǎn)E,
∴PA=PB=10,CA=CE,DE=DB,
∴△PCD的周長(zhǎng)是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20.
故選:C.
【變式3-1】(2019?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn),CA、CD是⊙O的切線,A、D為切點(diǎn),連接BD、AD.若∠ACD=48,則∠DBA的大小是( ?。?
A.32 B.48 C.60 D.66
【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知CA=CD,求出∠CAD,再證明∠DBA=∠CAD即可解決問題.
【解析】∵CA、CD是⊙O的切線,
∴CA=CD,
∵∠ACD=48,
∴∠CAD=∠CDA=66,
∵CA⊥AB,AB是直徑,
∴∠ADB=∠CAB=90,
∴∠DBA+∠DAB=90,∠CAD+∠DAB=90,
∴∠DBA=∠CAD=66,
故選:D.
【變式3-2】(2019秋?阜寧縣期中)如圖,⊙O為△ABC的內(nèi)切圓,AC=10,AB=8,BC=9,點(diǎn)D,E分別為BC,AC上的點(diǎn),且DE為⊙O的切線,則△CDE的周長(zhǎng)為( ?。?
A.9 B.7 C.11 D.8
【分析】設(shè)AB,AC,BC和圓的切點(diǎn)分別是P,N,M.根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到NC=MC,QE=DQ.所以三角形CDE的周長(zhǎng)即是CM+CN的值,再進(jìn)一步根據(jù)切線長(zhǎng)定理由三角形ABC的三邊進(jìn)行求解即可.
【解析】設(shè)AB,AC,BC和圓的切點(diǎn)分別是P,N,M,CM=x,根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得
CN=CM=x,BM=BP=9﹣x,AN=AP=10﹣x.
則有9﹣x+10﹣x=8,
解得:x=5.5.
所以△CDE的周長(zhǎng)=CD+CE+QF+DQ=2x=11.
故選:C.
【類型4】三角形的內(nèi)切圓問題
【例4】(2019秋?興化市期末)如圖,△ABC周長(zhǎng)為20cm,BC=6cm,圓O是△ABC的內(nèi)切圓,圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N,則△AMN的周長(zhǎng)為 cm.
【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到BF=BE,CF=CD,DN=NG,EM=GM,AD=AE,然后利用三角形的周長(zhǎng)和BC的長(zhǎng)求得AE和AD的長(zhǎng),從而求得△AMN的周長(zhǎng).
【解析】∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓,圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N,
∴BF=BE,CF=CD,DN=NG,EM=GM,AD=AE,
∵△ABC周長(zhǎng)為20cm,BC=6cm,
∴AE=AD=AB+AC-BC2=20-BC-BC2=20-122=4,
∴△AMN的周長(zhǎng)為AM+MG+NG+AN=AM+ME+AN+ND=AE+AD=4=4=8,
故答案為:8.
【方法小結(jié)】考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心及切線的性質(zhì)的知識(shí),解題的關(guān)鍵是利用切線長(zhǎng)定理求得AE和AD的長(zhǎng),難度不大.
【變式4-1】(2019秋?秦淮區(qū)期末)Rt△ABC中,∠C=90,AC=5,BC=12,則△ABC的內(nèi)切圓半徑為 ?。?
【分析】設(shè)AB、BC、AC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、F、E;易證得四邊形OECF是正方形;那么根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得:CE=CF=12(AC+BC﹣AB),由此可求出r的長(zhǎng).
【解析】如圖:
在Rt△ABC,∠C=90,AC=5,BC=12,
根據(jù)勾股定理AB=AC2+BC2=13,
四邊形OECF中,OE=OF,∠OEC=∠OFC=∠C=90,
∴四邊形OECF是正方形,
由切線長(zhǎng)定理,得:AD=AE,BD=BF,CE=CF,
∴CE=CF=12(AC+BC﹣AB),
即:r=12(5+12﹣13)=2.
故答案為:2.
【變式4-2】(2019?高淳區(qū)二模)如圖,△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與三角形三邊相切于點(diǎn)D、E、F,若∠DFE=55,則∠A= .
【分析】連接OD、OE;由圓周角定理可求得∠DOE的度數(shù);在四邊形ADOE中,∠ADO=∠AEO=90,由此可求出∠A的度數(shù).
【解析】連接OD,OE,如圖所示:
則∠ADO=∠AEO=90;
由圓周角定理知,∠DOE=2∠DFE=110;
∴∠A=360﹣∠ADO﹣∠AEO﹣∠DOE=70.
故答案為:70.
【類型5】圓的有關(guān)切線的計(jì)算與證明問題
【例5】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),D為BC的中點(diǎn).過點(diǎn)D作直線AC的垂線,垂足為E,連接OD.
(1)求證:∠A=∠DOB;
(2)DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
【分析】(1)連接OC,由D為BC的中點(diǎn),得到CD=BD,根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)平行線的判定定理得到AE∥OD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥DE,于是得到結(jié)論.
【解答】(1)證明:連接OC,
∵D為BC的中點(diǎn),
∴CD=BD,
∴∠BOD=12∠BOC,
∵∠BAC=12∠BOC,
∴∠A=∠DOB;
(2)解:DE與⊙O相切,
理由:∵∠A=∠DOB,
∴AE∥OD,
∵DE⊥AE,
∴OD⊥DE,
∴DE與⊙O相切.
【方法小結(jié)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.
【變式5-1】(2019?淮安)如圖,AB是⊙O的直徑,AC與⊙O交于點(diǎn)F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足為E.
(1)試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為2,∠BAC=60,求線段EF的長(zhǎng).
【分析】(1)欲證明DE是⊙O的切線,只要證明∠ODE=90即可;
(2)過O作OG⊥AF于G,得到AF=2AG,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AG=12OA=1,得到AF=2,推出四邊形AODF是菱形,得到DF∥OA,DF=OA=2,于是得到結(jié)論.
【解析】(1)直線DE與⊙O相切,
連結(jié)OD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,即∠AED=90,
∴∠ODE=90,即DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切線;
(2)過O作OG⊥AF于G,
∴AF=2AG,
∵∠BAC=60,OA=2,
∴AG=12OA=1,
∴AF=2,
∴AF=OD,
∴四邊形AODF是菱形,
∴DF∥OA,DF=OA=2,
∴∠EFD=∠BAC=60,
∴EF=12DF=1.
【變式5-2】(2019?泰州)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC為⊙O的直徑,D為AC的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為5,AB=8,求CE的長(zhǎng).
【分析】(1)連接OC,由AC為⊙O的直徑,得到∠ADC=90,根據(jù)AD=CD,得到AD=CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CDE=∠DCA=45,求得∠ODE=90,于是得到結(jié)論;
(2)根據(jù)勾股定理得到AD=CD=52,由圓周角定理得到∠ABC=90,求得BC=6,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解析】(1)DE與⊙O相切,
理由:連接OD,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ADC=90,
∵D為AC的中點(diǎn),
∴AD=CD,
∴AD=CD,
∴∠ACD=45,
∵OA是AC的中點(diǎn),
∴∠ODC=45,
∵DE∥AC,
∴∠CDE=∠DCA=45,
∴∠ODE=90,
∴DE與⊙O相切;
(2)∵⊙O的半徑為5,
∴AC=10,
∴AD=CD=52,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ABC=90,
∵AB=8,
∴BC=6,
∵∠BAD=∠DCE,
∵∠ABD=∠CDE=45,
∴△ABD∽△CDE,
∴ABCD=ADCE,
∴852=52CE,
∴CE=254.
【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】
1.(2019?蘇州)如圖,AB為⊙O的切線,切點(diǎn)為A,連接AO、BO,BO與⊙O交于點(diǎn)C,延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)D,連接AD.若∠ABO=36,則∠ADC的度數(shù)為( )
A.54 B.36 C.32 D.27
【答案】D
【解析】∵AB為⊙O的切線,
∴∠OAB=90,
∵∠ABO=36,
∴∠AOB=90﹣∠ABO=54,
∵OA=OD,
∴∠ADC=∠OAD,
∵∠AOB=∠ADC+∠OAD,
∴∠ADC=12∠AOB=27;
故選:D.
2.(2019?無錫)如圖,PA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B,若∠P=40,則∠B的度數(shù)為( ?。?
A.20 B.25 C.40 D.50
【答案】B
【解析】連接OA,如圖,
∵PA是⊙O的切線,
∴OA⊥AP,
∴∠PAO=90,
∵∠P=40,
∴∠AOP=50,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB,
∵∠AOP=∠B+∠OAB,
∴∠B=12∠AOP=1250=25.
故選:B.
3.(2019?灌南縣二模)如圖,菱形ABCD的邊AB=5,面積為20,∠BAD<90,⊙O與邊AB、AD都相切,AO=2,則⊙O的半徑長(zhǎng)等于( ?。?
A.235 B.55 C.335 D.255
【答案】D
【解析】連接AC,BD,OE,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AM=CM,BM=DM,
∵⊙O與邊AB、AD都相切,
∴點(diǎn)O在AC上,
設(shè)AM=x,BM=y(tǒng),
∵∠BAD<90,
∴x>y,
由勾股定理得,x2+y2=25,
∵菱形ABCD的面積為20,
∴12xy=5,
x2+y2=2512xy=5,
解得,x=25,y=5,
∵⊙O與邊AB相切,
∴∠OEA=90,
∵∠OEA=∠BMA,∠OAE=∠BAM,
∴△AOE∽△ABM,
∴OEBM=OAAB,即OE5=25,
解得,OE=255,
故選:D.
4.(2019?鎮(zhèn)江一模)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是4,5,6,則△ABC的內(nèi)切圓半徑是( ?。?
A.62 B.72 C.2 D.32
【答案】B
【解析】如圖所示:
設(shè)AC=4,BC=5,AB=6,作AD⊥BC于D,
設(shè)BD=x,則CD=5﹣x,
由勾股定理得:AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,
∴62﹣x2=42﹣(5﹣x)2,
解得:x=92,
∴BD=92,
∴AD=62-(92)2=372,
∴△ABC的面積=12BCAD=125372=1574,
∴△ABC的內(nèi)切圓半徑=215744+5+6=72;
故選:B.
5.(2019?南京)如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點(diǎn),點(diǎn)C、D在⊙O上.若∠P=102,則∠A+∠C= .
【答案】219
【解析】連接AB,
∵PA、PB是⊙O的切線,
∴PA=PB,
∵∠P=102,
∴∠PAB=∠PBA=12(180﹣102)=39,
∵∠DAB+∠C=180,
∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180+39=219,
故答案為:219.
6.(2019?宿遷)直角三角形的兩條直角邊分別是5和12,則它的內(nèi)切圓半徑為 2?。?
【答案】2
【解析】直角三角形的斜邊=52+122=13,
所以它的內(nèi)切圓半徑=5+12-132=2.
故答案為2.
7.(2018?連云港)如圖,AB是⊙O的弦,點(diǎn)C在過點(diǎn)B的切線上,且OC⊥OA,OC交AB于點(diǎn)P,已知∠OAB=22,則∠OCB= ?。?
【答案】44
【解析】連接OB,
∵BC是⊙O的切線,
∴OB⊥BC,
∴∠OBA+∠CBP=90,
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90,
∵OA=OB,∠OAB=22,
∴∠OAB=∠OBA=22,
∴∠APO=∠CBP=68,
∵∠APO=∠CPB,
∴∠CPB=∠APO=68,
∴∠OCB=180﹣68﹣68=44,
故答案為:44
8.(2019?高淳區(qū)二模)如圖,△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與三角形三邊相切于點(diǎn)D、E、F,若∠DFE=55,則∠A= ?。?
【答案】70.
【解析】連接OD,OE,如圖所示:
則∠ADO=∠AEO=90;
由圓周角定理知,∠DOE=2∠DFE=110;
∴∠A=360﹣∠ADO﹣∠AEO﹣∠DOE=70.
故答案為:70.
9.(2019?鹽城)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD是斜邊AB上的中線,以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)N作NE⊥AB,垂足為E.
(1)若⊙O的半徑為52,AC=6,求BN的長(zhǎng);
(2)求證:NE與⊙O相切.
【解析】(1)連接DN,ON
∵⊙O的半徑為52,
∴CD=5
∵∠ACB=90,CD是斜邊AB上的中線,
∴BD=CD=AD=5,
∴AB=10,
∴BC=AB2-AC2=8
∵CD為直徑
∴∠CND=90,且BD=CD
∴BN=NC=4
(2)∵∠ACB=90,D為斜邊的中點(diǎn),
∴CD=DA=DB=12AB,
∴∠BCD=∠B,
∵OC=ON,
∴∠BCD=∠ONC,
∴∠ONC=∠B,
∴ON∥AB,
∵NE⊥AB,
∴ON⊥NE,
∴NE為⊙O的切線.
10.(2019?揚(yáng)州)如圖,AB是⊙O的弦,過點(diǎn)O作OC⊥OA,OC交AB于P,CP=BC.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)已知∠BAO=25,點(diǎn)Q是AmB上的一點(diǎn).
①求∠AQB的度數(shù);
②若OA=18,求AmB的長(zhǎng).
【解答】(1)證明:連接OB,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵PC=CB,
∴∠CPB=∠PBC,
∵∠APO=∠CPB,
∴∠APO=∠CBP,
∵OC⊥OA,
∴∠AOP=90,
∴∠OAP+∠APO=90,
∴∠CBP+∠ABO=90,
∴∠CBO=90,
∴BC是⊙O的切線;
(2)解:①∵∠BAO=25,
∴∠ABO=25,∠APO=65,
∴∠POB=∠APO﹣∠ABO=40,
∴∠AQB=12(∠AOP+∠POB)=12130=65;
②∵∠AQB=65,
∴∠AOB=130,
∴AmB的長(zhǎng)=AQB的長(zhǎng)=230?π18180=23π.
11.(2018?徐州)如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O外,∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D,∠C=90.
(1)CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由;
(2)若∠CDB=60,AB=6,求AD的長(zhǎng).
【解析】(1)相切.理由如下:
連接OD,
∵BD是∠ABC的平分線,
∴∠CBD=∠ABD,
又∵OD=OB,
∴∠ODB=∠ABD,
∴∠ODB=∠CBD,
∴OD∥CB,
∴∠ODC=∠C=90,
∴CD與⊙O相切;
(2)若∠CDB=60,可得∠ODB=30,
∴∠AOD=60,
又∵AB=6,
∴AO=3,
∴AD=60π3180=π.
12.(2019?南通)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠A=30,BC=1,以邊AC上一點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)B.
(1)求⊙O的半徑;
(2)點(diǎn)P為劣弧AB中點(diǎn),作PQ⊥AC,垂足為Q,求OQ的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,連接PC,求tan∠PCA的值.
【解析】(1)作OH⊥AB于H.
在Rt△ACB中,∵∠C=90,∠A=30,BC=1,
∴AB=2BC=2,
∵OH⊥AB,
∴AH=HB=1,
∴OA=AHcos30=233.
(2)如圖2中,連接OP,PA.設(shè)OP交AB于H.
∵PA=PB,
∴OP⊥AB,
∴∠AHO=90,
∵∠OAH=30,
∴∠AOP=60,
∵OA=OP,
∴△AOP是等邊三角形,
∵PQ⊥OA,
∴OQ=QA=12OA=33.
(3)連接PC.
在Rt△ABC中,AC=3BC=3,
∵AQ=QO=12AO=33.
∴QC=AC﹣AQ=3-33=233,
∵△AOP是等邊三角形,PQ⊥OA,
∴PQ=1,
∴tan∠ACP=PQCQ=1233=32.
13.如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),D為BC的中點(diǎn).過點(diǎn)D作直線AC的垂線,垂足為E,連接OD.
(1)求證:∠A=∠DOB;
(2)DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
【解答】(1)證明:連接OC,
∵D為BC的中點(diǎn),
∴CD=BD,
∴∠BOD=12∠BOC,
∵∠BAC=12∠BOC,
∴∠A=∠DOB;
(2)解:DE與⊙O相切,
理由:∵∠A=∠DOB,
∴AE∥OD,
∵DE⊥AE,
∴OD⊥DE,
∴DE與⊙O相切.
14.(2019?鎮(zhèn)江)如圖,在△ABC中,AB=AC,過AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)O作OD⊥AO,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,以O(shè)為圓心,OD長(zhǎng)為半徑的圓過點(diǎn)B.
(1)求證:直線AB與⊙O相切;
(2)若AB=5,⊙O的半徑為12,則tan∠BDO= ?。?
【解答】(1)證明:連接OB,如圖所示:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠OCD,
∴∠ABC=∠OCD,
∵OD⊥AO,
∴∠COD=90,
∴∠D+∠OCD=90,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠D,
∴∠OBD+∠ABC=90,
即∠ABO=90,
∴AB⊥OB,
∵點(diǎn)B在圓O上,
∴直線AB與⊙O相切;
(2)解:∵∠ABO=90,
∴OA=AB2+OB2=52+122=13,
∵AC=AB=5,
∴OC=OA﹣AC=8,
∴tan∠BDO=OCOD=812=23;
故答案為:23.
15.(2019?淮安)如圖,AB是⊙O的直徑,AC與⊙O交于點(diǎn)F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足為E.
(1)試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為2,∠BAC=60,求線段EF的長(zhǎng).
【解析】(1)直線DE與⊙O相切,
連結(jié)OD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,即∠AED=90,
∴∠ODE=90,即DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切線;
(2)過O作OG⊥AF于G,
∴AF=2AG,
∵∠BAC=60,OA=2,
∴AG=12OA=1,
∴AF=2,
∴AF=OD,
∴四邊形AODF是菱形,
∴DF∥OA,DF=OA=2,
∴∠EFD=∠BAC=60,
∴EF=12DF=1.
16.(2019?蘇州)如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),D是弧BC的中點(diǎn),BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F.
(1)求證:DO∥AC;
(2)求證:DE?DA=DC2;
(3)若tan∠CAD=12,求sin∠CDA的值.
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn),
所以∠CAD=∠BAD,即∠CAB=2∠BAD,
而∠BOD=2∠BAD,
所以∠CAB=∠BOD,
所以DO∥AC;
(2)∵CD=BD,
∴∠CAD=∠DCB,
∴△DCE∽△DCA,
∴CD2=DE?DA;
(3)∵tan∠CAD=12,連接BD,則BD=CD,
∠DBC=∠CAD,在Rt△BDE中,tan∠DBE=DEBD=DECD=12,
設(shè):DE=a,則CD=2a,
而CD2=DE?DA,則AD=4a,
∴AE=3a,
∴AEDE=3,
而△AEC∽△DEF,
即△AEC和△DEF的相似比為3,
設(shè):EF=k,則CE=3k,BC=8k,
tan∠CAD=12,
∴AC=6k,AB=10k,
∴sin∠CDA=35.