2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十二章 圓錐曲線課時(shí)檢測(cè).doc

2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十二章 圓錐曲線課時(shí)檢測(cè) 第1講　橢　圓 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2011年全國)橢圓＋＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 2．橢圓＋＝1上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為(　　) A．20 B．22 C．24 D．28 3．短軸長為，離心率e＝的橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長為(　　) A．3 B．6 C．12 D．24 4．已知P為橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 5．(xx年遼寧)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若＝10，＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________. 6．(xx年新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，則C的離心率為(　　 ) A. B. C. D. 7．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 8．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________． 9．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(－2,0)，且長軸長與短軸長的比是2∶. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)．當(dāng)||最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 10．(xx年陜西)已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率． (1)求橢圓C2的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程．  第2講　雙曲線 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(xx年北京)雙曲線x2－＝1的離心率大于的充要條件是(　　) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 2．(xx年福建)已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于(　　) A. B. C. D. 3．(xx年福建)雙曲線－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于(　　) A. B. C. D. 4．已知雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(，y0)在雙曲線上．則＝(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．4 5．(xx年新課標(biāo))等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4 ，則C的實(shí)軸長為(　　) A. B．2 C．4 D．8 6．(xx年全國)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　) A. B. C. D. 7．(xx年廣東珠海二模)如圖K1221，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若 |AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為__________． 圖K1221 8．(xx年天津)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)與雙曲線C2：－＝1有相同的漸近線，且C1的右焦點(diǎn)為F(，0)，則a＝________，b＝________. 9．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，虛軸長為2 . (1)求雙曲線C的方程； (2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝5上，求m的值． 10．(xx年廣東佛山一模)已知圓C1：(x－4)2＋y2＝1，圓C2：x2＋(y－2)2＝1，圓C1，C2關(guān)于直線l對(duì)稱． (1)求直線l的方程； (2)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到點(diǎn)A(－2 ，0)的距離減去點(diǎn)Q到點(diǎn)B(2 ，0)的距離的差為4，如果存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．  第3講　拋物線 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 2．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 3．已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，－2) 4．(xx年安徽)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　) A. B. C. D．2 5．(xx年四川)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到直線x－y＝0的距離是(　　) A．2 B．2 C. D．1 6．以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓一定和準(zhǔn)線(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定 7．(xx年北京)若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝________，準(zhǔn)線方程為____________． 8．(xx年陜西)圖K1231是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬________米． 圖K1231 9．(xx年廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1(－1 ,0)，且點(diǎn)P(0 ,1)在C1上． (1)求C1的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x都相切，求直線l的方程． 10．已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N. (1)證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行； (2)是否存在實(shí)數(shù)k使＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由． 第4講　軌跡與方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－3)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝－12x D．y2＝12x 2．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)M的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D.2＋y2＝ 3．設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4．已知橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長F1P到點(diǎn)Q，使|PQ|＝|PF2|，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線一支 D．拋物線 5．F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，過一焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線，則垂足Q的軌跡為(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 6．已知A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長為2 ，P是AB的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為____________． 7．已知A，B是圓F：2＋y2＝4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為____________． 8．打開“幾何畫板”進(jìn)行如下操作： ①用畫圖工具在工作區(qū)畫一個(gè)圓C(C為圓心)； ②用取點(diǎn)工具分別在圓C上和圓外各取一點(diǎn)A，B； ③用構(gòu)造菜單下對(duì)應(yīng)命令作出線段AB的垂直平分線； ④作直線AC. 設(shè)直線AC與l相交于點(diǎn)P，當(dāng)A在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡是________． 9．(xx年重慶)如圖K1241，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率e＝，過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A，A′兩點(diǎn)，|AA′|＝4. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P，P′，過P，P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．求△PP′Q的面積S的最大值，并寫出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程. 圖K1241 10．(xx年遼寧)如圖K1242，動(dòng)圓C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，與橢圓C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)A1，A2分別為C2的左，右頂點(diǎn)． (1)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積； (2)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程． 圖K1242  第5講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定 2．已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60，則|PF1||PF2|為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 3．(xx年山東)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 4．過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________． 5．如圖K1251，已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝4x上的兩點(diǎn)A，B滿足＝3，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________． 圖K1251 6．若點(diǎn)(3,1)是拋物線y2＝2px的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p＝________. 7．如圖K1252，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是______________． 圖K1252 8．已知圓C1的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝，橢圓C2的方程為＋＝1(a>b>0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，且AB恰好是圓C1的一條直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程． 9．(xx年陜西)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍． (1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)．若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率． 第十二章　圓錐曲線 第1講　橢　圓 1．D　2.C　3.C 4．B　解析：兩圓心恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，所以|PF1|＋|PF2|＝10，M，N分別為兩圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以|PM|＋|PN|的最小值為10－1－2＝7. 5.　解析：由余弦定理，62＝|BF|2＋102－210|BF|，解得|BF|＝8，所以A到右焦點(diǎn)的距離也是8，由橢圓定義：2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝＝. 6．D　解析：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30， ∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x. 又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c， ∴2a＝3x,2c＝x. ∴C的離心率為e＝＝. 7．3　解析：由題意，知：|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝2b2＝b2＝9，∴b＝3. 8．15　解析：∵|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－|PF2|. ∴|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|.易知點(diǎn)M在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于點(diǎn)P，此時(shí)|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋＝15. 9．解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)． 由題意，得解得a2＝16，b2＝12. ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)P(x，y)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為＋＝1，故－4≤x≤4. ∵＝(x－m，y)， ∴||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12 ＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2. ∵當(dāng)||最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)上， 即當(dāng)x＝4時(shí)，||2取得最小值．而x∈[－4,4]， 故有4m≥4，解得m≥1. 又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，即－4≤m≤4. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[1,4]． 10．解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為＋＝1(a>2)， 其離心率為，故＝，則a＝4. 故橢圓C2的方程為＋＝1. (2)方法一，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)，知：O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， ∴x＝. 將y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16， ∴x＝. 又由＝2，得x＝4x，即＝. 解得k＝1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 方法二，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)，知：O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， ∴x＝， 又由＝2，得x＝，y＝， 將x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2， 解得k＝1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 第2講　雙曲線 1．C　解析：雙曲線x2－＝1，說明m>0， ∴a＝1，b＝，可得c＝. ∵離心率e>等價(jià)于＝>?m>1， ∴雙曲線x2－＝1的離心率大于的充要條件是m>1. 2．C　解析：雙曲線中，??e＝. 3．C　解析：取其右頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,0)，因?yàn)闈u近線y＝x，所以根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得答案為C. 4．C 5．C　解析：設(shè)等軸雙曲線方程為x2－y2＝m(m>0)，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－4.由|AB|＝4 ，則|yA|＝2 ，把坐標(biāo)(－4,2 )代入雙曲線方程，得m＝x2－y2＝16－12＝4，所以雙曲線方程為x2－y2＝4，即－＝1，所以a2＝4，a＝2，所以實(shí)軸長2a＝4.故選C. 6．C　解析：雙曲線的方程為－＝1，所以a＝b＝，c＝2，因?yàn)閨PF1|＝2|PF2|，所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2a＝2 ，解得|PF2|＝2 ，|PF1|＝4 ，根據(jù)余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.故選C. 7.　解析：設(shè)|AB|＝3x，|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，|BF1|－|BF2|＝2a，|BF1|＝4x＋2a，|AF2|－|AF1|＝2a，|AF1|＝5x－2a，|BF1|－|AF1|＝4a－x＝|AB|＝3x，x＝a，∴|BF2|＝4a，|BF1|＝6a,2c＝|F1F2|＝＝2 a， 雙曲線的離心率為e＝＝＝. 8．1　2　解析：雙曲線的－＝1的漸近線方程為y＝2x，而－＝1的漸近線方程為y＝x，所以有＝2，b＝2a.又雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(，0)，所以c＝.又c2＝a2＋b2，即5＝a2＋4a2＝5a2，所以a2＝1，故a＝1，b＝2. 9．解：(1)由題意，得＝，b2＝c2－a2＝2，解得a＝1，c＝. ∴所求雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)． 由得x2－2mx－m2－2＝0(判別式Δ>0)， ∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m. ∵點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝5上， ∴m2＋(2m)2＝5.∴m＝1. 10．解：(1)因?yàn)閳AC1，C2關(guān)于直線l對(duì)稱，圓C1的圓心C1坐標(biāo)為(4,0)，圓C2的圓心C2坐標(biāo)為(0,2), 顯然直線l是線段C1C2的中垂線， 線段C1C2中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1)， C1C2的斜率是k＝＝＝－. 所以直線l的方程是y－1＝－(x－2)，即y＝2x－3. (2)假設(shè)這樣的Q點(diǎn)存在， 因?yàn)镼點(diǎn)到A(－2 ，0)點(diǎn)的距離減去Q點(diǎn)到B(2 ，0)點(diǎn)的距離的差為4， 所以Q點(diǎn)在以A(－2 ，0)和B(2 ，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支上，即Q點(diǎn)在曲線－＝1(x≥2)上． 又Q點(diǎn)在直線l上，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解， 消元，得3x2－12x＋13＝0，Δ＝122－4313<0，方程組無解，所以點(diǎn)P的軌跡上是不存在滿足條件的Q點(diǎn)． 第3講　拋物線 1．C　2.B　3.A 4．C　解析：設(shè)∠AFx＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m，則由點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x＝－1的距離為3，得3＝2＋3cosθ?cosθ＝.又m＝2＋mcos(π－θ)?m＝＝，△AOB的面積為S＝|OF||AB|sinθ＝1＝. 5．D 6．B　解析：方法一，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l：x＝－，過F的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為C，則根據(jù)拋物線的定義，得|AB|＝x1＋＋x2＋＝p＋x1＋x2.則圓心C到準(zhǔn)線的距離為(x1＋x2)＋＝(p＋x1＋x2)＝|AB|. 故以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切． 方法二，設(shè)M為AB的中點(diǎn)，由A，M，B分別向準(zhǔn)線l作垂線，垂足依次是A1，M1，B1，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|MM1|，即|MM1|＝|AB|.∴以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切． 7．2　x＝－1　解析：＝1，p＝2. 8．2 　解析：設(shè)水面與橋的一個(gè)交點(diǎn)為A，如圖D68建立直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為(2，－2)．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py，代入點(diǎn)A，得p＝1，設(shè)水位下降1米后水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，－3)，則x＝－2(－3)，x0＝，所以水面寬度為2 . 圖D68 9．解：(1)由題意，得：b＝1，c＝＝1?a＝，b＝c＝1. 故橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，聯(lián)立方程組消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C1相切，所以Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，整理得2k2－m2＋1＝0.?、? 因?yàn)橹本€與拋物線C2：相切，所以Δ＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.?、? 解得k＝，m＝或k＝－，m＝－. 所以直線l方程為y＝(x＋2)． 10．解：(1)如圖D69，設(shè)A(x1,2x)，B(x2，2x)，把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0. 圖D69 由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝，x1x2＝－1. ∴xN＝xM＝＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為. 設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l：y－＝m， 將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0. ∵直線l與拋物線C相切， ∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0. ∴m＝k.即l∥AB. (2)存在理由如下： 假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使＝0，則NA⊥NB. 又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴|MN|＝|AB|. 由(1)，知：yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2) ＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2. ∵M(jìn)N⊥x軸， ∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝. 又|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝. ∴＝，解得k＝2. 即存在k＝2，使＝0. 第4講　軌跡與方程 1．A　2.C 3．A　解析：拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，∴橢圓焦點(diǎn)在x軸上且半焦距為2.∴＝，m＝4.∴n2＝42－22＝12.∴橢圓的方程為＋＝1.故選A. 4．A　解析：|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F1為圓心，2a為半徑的圓． 5．A　解析：如圖D70，∵PQ平分∠F1PF2，且PQ⊥AF1，∴Q為AF1的中點(diǎn)，且|PF1|＝|PA|. ∴|OQ|＝|AF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＝a， ∴點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓． 圖D70 6.＋y2＝1　解析：設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴?、? ∵A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的點(diǎn)， ∴y1＝x1和y2＝－x2. 代入①，得?、? 又||＝2 ，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12. ∴12y2＋x2＝12，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為＋y2＝1. 7．x2＋＝1　解析：依題意可知，|BP|＋|PF|＝2，|PB|＝|PA|，則|AP|＋|PF|＝2.由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡為以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓． 8．雙曲線　解析：由題意畫出圖形，如圖D71. 圖D71 ∵線段AB的垂直平分線為l，∴PA＝PB. ∴PC－PB＝PC－PA＝AC(定值)． ∴由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線． 9．(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 左焦點(diǎn)F1(－c,0)，將橫坐標(biāo)－c代入橢圓方程，得y＝. 所以＝2?、?，＝?、?，a2＝b2＋c2　③， 聯(lián)立①②③，解得a＝4，b＝2 . 所以橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)Q(t,0)(t>0)，圓的半徑為r，直線PP′方程為：x＝m(m>t)，則圓Q的方程為(x－t)2＋y2＝r2. 由得x2－4tx＋2t2＋16－2r2＝0. 由Δ＝0，即16t2－4(2t2＋16－2r2)＝0，得t2＋r2＝8.?、? 把x＝m代入＋＝1，得y2＝8＝8－. 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 代入(x－t)2＋y2＝r2，得(m－t)2＋8－＝r2.?、? 由④⑤消去r2，得4t2－4mt＋m2＝0，即m＝2t. S△PP′Q＝|PP′|(m－t)＝(m－t)＝t＝≤＝2 . 當(dāng)且僅當(dāng)4－t2＝t2，即t＝時(shí)取等號(hào)． 此時(shí)t＋r＝＋<4，橢圓上除P，P′外的點(diǎn)在圓Q外， 所以△PP′Q的面積S的最大值為2 ，圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－)2＋y2＝6. 當(dāng)圓心Q、直線PP′在y軸左側(cè)時(shí)，由對(duì)稱性可得圓Q的方程為(x＋)2＋y2＝6，△PP′Q的面積S的最大值仍為2 . 10．解：(1)設(shè)A(x0，y0)，則矩形ABCD的面積S＝4|x0||y0|. 由＋y＝1，得y＝1－. ∴xy＝x＝－2＋. 當(dāng)x＝，y＝時(shí)，Smax＝6. ∴當(dāng)t＝時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為6. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又A1(－3,0)，A2(3,0)，則 直線A1A的方程為y＝(x＋3)，　① 直線A2B的方程為y＝(x－3)．?、? 由①②，得y2＝(x2－32)．　③ 由點(diǎn)A(x1，y1)在橢圓C2上， 故可得＋y＝1，從而有y＝. 代入③，得－y2＝1(x<－3，y<0)， ∴直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程為 －y2＝1(x<－3，y<0)． 第5講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．A　2.B　3.D 4. 5.　解析：設(shè)BF＝m，由拋物線的定義，知：AA1＝3m，BB1＝m.∴在△ABC中，AC＝2m，AB＝4m.∴kAB＝. 直線AB方程為y＝(x－1)． 與拋物線方程聯(lián)立消y，得 3x2－10x＋3＝0. 所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為＋1＝＋1＝. 6．2　解析：設(shè)弦兩端點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 則兩式相減，得＝＝2， ∵y1＋y2＝2，∴p＝2. 7．y2＝3x　解析：方法一，過A，B作準(zhǔn)線垂線，垂足分別為A1，B1，則|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|.∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3. ∴p＝|CF|＝，∴拋物線方程為y2＝3x. 方法二，由拋物線定義，|BF|等于B到準(zhǔn)線的距離，由|BC|＝2|BF|，得∠BCB1＝30.又|AF|＝3， 從而A在拋物線上，代入拋物線方程y2＝2px，解得p＝. 8．解：∵e＝＝，c＝a，c2＝a2， ∴b2＝a2－c2＝a2. ∴方程為＋＝1. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB為直徑，有AB的中點(diǎn)為(2,1)，且|AB|＝， ∵A，B兩點(diǎn)都在橢圓上，故有 ①－②，得(x1－x2)(x1＋x2)＝－2(y1＋y2)(y1－y2)， 有＝－＝kAB＝－＝－1， 即AB的方程為x＋y－3＝0. 由得3x2－12x＋18－a2＝0， 由弦長公式，得|AB|＝＝， 解得a2＝16.∴橢圓C2的方程為＋＝1. 9．解： (1)點(diǎn)M(x，y)到直線x＝4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍，則 |x－4|＝2?＋＝1. 所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意知：2x1＝0＋x2,2y1＝3＋y2. 橢圓的上、下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，)和(0，－)，經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過這兩點(diǎn)，即直線m斜率k存在．設(shè)直線m方程為：y＝kx＋3.聯(lián)立橢圓和直線方程，整理，得 (3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0?x1＋x2＝，x1x2＝. ＋＝＋2?＝?＝?k＝. 所以直線m的斜率k＝. 專題四　圓錐曲線的綜合及應(yīng)用問題 1．C　2.C 3．A　解析：由已知，得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)．設(shè)P(x，y)(x≥1)，則＝(－1－x，－y)(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，則f(x)在x≥1上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值，即取最小值，最小值為－2. 4．B　解析：將x＝c代入橢圓方程，得＋＝1，∴y2＝b2＝b2＝b2，∴y＝.∴＝a，∴b2＝a2，e2＝＝＝，∴e＝.故選B. 5．(1)(2,0)　(2)(3,0) (3)y＝　(4) 6．③④ 7．②③　解析：①曲線C經(jīng)過原點(diǎn)，這點(diǎn)不難驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，如果經(jīng)過原點(diǎn)，即么a＝1，與條件不符；②曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這點(diǎn)顯然正確，如果在某點(diǎn)處|PF1||PF2|＝a2，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處也一定符合|PF1||PF2|＝a2；③△F1F2P的面積S＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝. 8．解：(1)兩圓半徑都為1，兩圓心分別為C1(0，－4)，C2(0,2)，由題意，得CC1＝CC2. 可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點(diǎn)為(0，－1)，直線C1C2的斜率不存在， 故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線方程為y＝－1，即圓C的圓心軌跡L的方程為y＝－1. (2)因?yàn)閙＝n，所以M(x，y)到直線y＝－1的距離與到點(diǎn)F(0,1)的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡Q是以y＝－1為準(zhǔn)線，點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，＝1，即p＝2，所以軌跡Q的方程是x2＝4y. (3)由(2)，得y＝x2，y′＝x，所以過點(diǎn)B的切線的斜率為k＝x1，切線方程為y－y1＝x1(x－x1)．令x＝0，得y＝－x＋y1.令y＝0，得x＝－＋x1. 因?yàn)辄c(diǎn)B在x2＝4y上，所以y1＝x. 故y＝－x，x＝x1. 所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S＝|x||y|＝＝. 設(shè)S＝，即＝，得＝2，所以x1＝2. 當(dāng)x1＝2時(shí)，y1＝1，當(dāng)x1＝－2時(shí)，y＝1. 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,1)或(－2,1)． 9．解：(1)設(shè)c＝，由e＝＝，得c2＝a2. 所以b2＝a2－c2＝a2. 設(shè)P(x，y)是橢圓C上任意一點(diǎn)，則＋＝1. 所以x2＝a2＝a2－3y2. |PQ|＝＝ ＝. 當(dāng)b≥1時(shí)，當(dāng)y＝－1時(shí)，|PQ|有最大值＝3. 可得a＝，所以b＝1，c＝. 當(dāng)b<1時(shí)，|PQ|<＝<3不合題意． 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)存在，理由如下：在△AOB中，|OA|＝|OB|＝1， S△AOB ＝|OA||OB|sin∠AOB≤. 當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB＝90時(shí)，S△AOB有最大值， ∠AOB＝90時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離為d＝. d＝?＝?m2＋n2＝2. 又m2＋3n2＝3，所以m2＝，n2＝，此時(shí)點(diǎn)M.