概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案

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1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案 習(xí)題四 1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 X -1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) (2) (3) 2.已知100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差. 【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為 X 0 1 2 3

2、 4 5 P 故 3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 X -1 0 1 P p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因……①, 又……②, ……③ 由①②③聯(lián)立解得 4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，問(wèn)從袋中任取1球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲? 【解】記A={從袋中任取1球?yàn)榘浊騷

3、，則 5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f（x）= 求E（X），D（X）. 【解】 故 6.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ -4X. 【解】(1) (2) 7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X

4、 -2Y），D（2X -3Y）. 【解】(1) (2) 8.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 試確定常數(shù)k，并求E（XY）. 【解】因故k=2 . 9.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 fX（x）= fY（y）= 求E（XY）. 【解】方法一：先求X與Y的均值 由X與Y的獨(dú)立性，得 方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為 于是 10.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為 fX（x）= fY（y）= 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y

5、2）. 【解】 從而(1) (2) 11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f（x）= 求（1） 系數(shù)c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由得. (2) (3) 故 12.袋中有12個(gè)零件，其中9個(gè)合格品，3個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）. 【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知

6、 于是，得到X的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由此可得 13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為 f（x）= 為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺(tái)設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望. 【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 -200元 故 (元

7、). 14.設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記 ，S2=. （1） 驗(yàn)證=μ， =； （2） 驗(yàn)證S2=； （3） 驗(yàn)證E（S2）=σ2. 【證】(1) (2) 因 故. (3) 因,故 同理因,故. 從而 15.對(duì)隨機(jī)變量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1, 計(jì)算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）. 【解】

8、 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似). 16.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的. 【解】設(shè). 同理E(Y)=0. 而 , 由此得,故X與Y不相關(guān). 下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|≤1時(shí)， 當(dāng)|y|≤1時(shí)，. 顯然 故X和Y不是相互獨(dú)立的. 17.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為 X Y -1

9、 0 1 -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的. 【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表 18 / 18 X -1 0 1 P Y -1 0 1 P XY -1

10、 0 1 P 由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 從而E(XY)=E(X)E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0, 即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的. 又 從而X與Y不是相互獨(dú)立的. 18.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為 題18圖 從而 同理 而 所以 . 從而 19.設(shè)（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求協(xié)方差C

11、ov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY. 【解】 從而 同理 又 故 20.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 從而 故 21.對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量V，W，若E（V2），E（W2）存在，證明： ［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）. 這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couc

12、hy -Schwarz）不等式. 【證】令 顯然 可見(jiàn)此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式Δ≤0， 即 故 22.假設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從參數(shù)λ=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開(kāi)機(jī)后無(wú)故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間X~E(λ),E(X)==5. 依題意Y=min(X,2). 對(duì)于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 對(duì)于y≥2

13、,F(y)=P(X≤y)=1. 對(duì)于0≤y<2,當(dāng)x≥0時(shí)，在(0,x)內(nèi)無(wú)故障的概率分布為 P{X≤x}=1 -e -λx,所以 F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 -e -y/5. 23.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為 , Z=k 0 1 2 3 Pk 因此， (2) 設(shè)A表示事件

14、“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有 24.假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（μ,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤(rùn)T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系 T= 問(wèn)：平均直徑μ取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？ 【解】 故 得  兩邊取對(duì)數(shù)有 解得 (毫米) 由此可得，當(dāng)u=10

15、.9毫米時(shí)，平均利潤(rùn)最大. 25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x)= 對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于π/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望. （2002研考） 【解】令 則.因?yàn)? 及, 所以 , 從而 26.兩臺(tái)同樣的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開(kāi)動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開(kāi)啟.試求兩臺(tái)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間T=T1+T2的概率密度f(wàn)T(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）. 【解】由題意知： 因T1,T2獨(dú)立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 當(dāng)t<0時(shí)，fT(t

16、)=0; 當(dāng)t≥0時(shí)，利用卷積公式得 故得 由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2) 因此，有E(T)=E(T1+T2)=. 又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=. 27.設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X -Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X -Y，由于 且X和Y相互獨(dú)立，故Z~N（0，1）. 因 而 ， 所以 . 28.某流水生產(chǎn)線

17、上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(0

18、2[E(XY) -E(X)E(Y)]. 由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而 因此 同理可得 于是 30.設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間[ -2,2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量 X= Y= 試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 為求X和Y的聯(lián)合概率分布，就要計(jì)算（X，Y）的4個(gè)可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率. P{x= -1,Y= -1}=P{U≤ -1,U≤1} P{X= -1

19、,Y=1}=P{U≤ -1,U>1}=P{}=0, P{X=1,Y= -1}=P{U> -1,U≤1} . 故得X與Y的聯(lián)合概率分布為 . (2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應(yīng)為 , . 從而 所以 31.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=，（ -∞

20、判斷|X|與X的獨(dú)立性，需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷，為此，對(duì)定義域 -∞

21、因 所以 (3) 由，得X與Z不相關(guān).又因，所以X與Z也相互獨(dú)立. 33.將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次數(shù).試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由條件知X+Y=n，則有D（X+Y）=D（n）=0. 再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=, 從而有 所以 故= -1. 34.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為 Y X -1 0

22、 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布為 YX -1 0 1 P 0.08 0.72 0.2 所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)=0.12 -0.60.2=0 從而 =0 35.對(duì)于任意兩事件A和B，

23、0

24、機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).于是由二元隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可得|ρ|≤1. 36. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 fX(x)= 令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求： (1) Y的概率密度f(wàn)Y(y)； (2) Cov(X,Y); (3). 解： (1) Y的分布函數(shù)為 . 當(dāng)y≤0時(shí)， ，； 當(dāng)0＜y＜1時(shí)， ， ； 當(dāng)1≤y<4時(shí)， ； 當(dāng)y≥4時(shí)，，. 故Y的概率密度為 (2) , , , 故 Cov(X,Y) =. (3) .