高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-2教案:第1章 聚焦反證法

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1、 聚焦反證法 反證法是間接證明的一種基本方法,常常是解決某些“疑難”問題的有力工具.對于一些用直接證明的方法難以證明的結(jié)論,常采用反證法.熟練掌握并運用反證法,對提高同學(xué)們的解題能力大有裨益.下面就反證法的要點進行歸納整理.   1.定義:一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.   2.反證法的基本思想是:否定結(jié)論就會導(dǎo)致矛盾.它可以用下面的程序來表示:“否定———推理———矛盾———肯定.”   “否定”———假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立,而結(jié)論的反面成立.   “推理”———從已知條件和假設(shè)出發(fā)

2、,應(yīng)用一系列的論據(jù)進行推理.   “矛盾”———通過推導(dǎo),推出與實際“需要”不符、與“公理”矛盾、與“已知定理”矛盾、與“定義”矛盾、與“題設(shè)”矛盾、自相矛盾等.   “肯定”———由于推理過程正確.故矛盾是由假設(shè)所引起的,因此,假設(shè)是錯誤的,從而肯定結(jié)論是正確的.   3.應(yīng)用反證法的原則:正難則反,即如果一個命題的結(jié)論難以用直接法證明時可考慮用反證法.   4.宜用反證法證明的題型:①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題;②一些基本定理;③“否定性”命題;④“惟一性”命題;⑤“必然性”命題;⑥“至少”、“至多”命題等.   5.注意事項:(1)應(yīng)用反證法證明命題時,反設(shè)必須恰當(dāng).如“都是”的否

3、定是“不都是”、“至少一個”的否定是“不存在”等.   (2)用反證法證明時最好在開篇注明“下面用反證法證明”,以告知讀者按反證法的思路閱讀或評卷.   下面舉例說明“反證法”在證題中的應(yīng)用.   例1 設(shè)的公比分別為.   假設(shè)是等比數(shù)列,則有只需證.   由于, - 1 - / 3   而.   從而有,而,   故有,即,這與已知相矛盾.因此假設(shè)不成立,故不是等比數(shù)列.   點評:當(dāng)遇到結(jié)論為否定形式的命題時,常常采用反證法.   例2 求證:兩條平行線中一條與一個平面相交,那么另一條也與這個平面相交.   已知:平面,如圖1所示.   求證:直線和平面相交

4、. 證明:假設(shè)和平面不相交,即或.  ?。?)若,因為,   所以,這與相矛盾.   (2)如果,因為,所以和確定一個平面,顯然平面與平面相交.   設(shè),因為,所以.   又,從而且.   故,這與矛盾. 由(1),(2)可知,假設(shè)不成立.故直線與平面相交.   例3 求證:正弦函數(shù)沒有比小的正周期.   證明:假設(shè)是正弦函數(shù)的周期,且,則對任意實數(shù)都有成立.   令,得,即,從而對任意實數(shù)都有,這與矛盾. 所以正弦函數(shù)沒有比小的正周期.   例4 今有50位同學(xué),男女各一半,圍坐一圈,是否存在一種座位的安排方法,使得每一位同學(xué)左右兩側(cè)的兩位同學(xué)為一男一女?證明結(jié)論.   解:不存在這樣的座位安排.   證明:假設(shè)存在這樣的安排,則每一位同學(xué)必與一同性別的同學(xué)相鄰,若以M表示男同學(xué),W表示女同學(xué),則每一對相鄰而坐的男性(女性)同學(xué)的左右兩側(cè)必為兩對相鄰而坐的女性(或男性)同學(xué),如圖2所示,因此男性或女性同學(xué)數(shù)應(yīng)是偶數(shù),這和男性或女性同學(xué)數(shù)各占25矛盾,所以這種安排方法不存在. 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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