《機械優(yōu)化設(shè)計》習題

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1、機械優(yōu)化設(shè)計習題及參考答案 1-1.簡述優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的表達形式。 答：優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實際優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象。 在明確設(shè)計 變量、約束條件、目標函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計問題就可以表示成一般數(shù)學(xué) 形式。求設(shè)計變量向量x Xi X2 L Xn T使 f(x) min 且滿足約束條件 hk(x) 0 (k 1,2,Ll) gj(x) 0 (j 1,2,L m) 2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對優(yōu)化設(shè)計有何意義？ 答:二元函數(shù)f(X1,X2)在X0點處的方向?qū)?shù)的表達式可以改寫成下面的形 )ff^ cos 1 x1 x2 xo cos 2 T xo 式：f d xo

2、 x1 xo cos 1 — cos x2 xo f 令 f(x0) [9 I x2 則稱它為函數(shù)f(X1, X2)在Xo點處的梯度。 (1 )梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，梯度模是函數(shù)變化率的最大值。 (2)梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向為等值面的法線方向。 梯度f(x0)方向為函數(shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負梯度 -f(x0)方向為函數(shù)變化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函數(shù) f(X1, X2) =2x 12+X22-2X 1+X2在 xo [0,0]T 處函數(shù)變化率 最 大的方向和數(shù)值。 解：由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的

3、方向，這里用單位向量 p 表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時梯度的模I f(x0)|。求f (x1, x2)在x0 點處的梯度方向和數(shù)值，計算如下: f f x0 Xi 4x1 2 2 f 2x2 1 x0 1 x2 f(x0) f 2 f 2 = i) ; x1 x2 2 2 __f(x0) 1 、5 f(x0) -5 1 . 5 2-3.試求目標函數(shù)f x1,x2 3x： 4x1x2 x2在點X0=[1,0] T處的最速下降 方向，并求沿著該方向移動一個單位長度后新點的目標函數(shù)值。 解：求目標函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) —6x1 x1 4x2,— x2 4x1 2x2

4、 則函數(shù)在X"[1,0「處的最速下降方向是 f P f(X0) x1 f x2 x1 1 2%0 6x1 4x1 4x2 2x2 6 x1 1 4 x2 0 這個方向上的單位向量是: P e IP [6,4]T 6)2 42 [3,2]T <13 新點是 X1 X0 3 13 2 .13 新點的目標函數(shù)值 f(X1) 94 2,13 13 2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？(要求配圖) 答：一個點集(或區(qū)域)，如果連接其中任意兩點x1、 包含在該集合，就稱該點集為凸集，否則為非凸集。 x2的線段都全部 函

5、數(shù)f(x)為凸集定義域的函數(shù)，若對任何的0 1及凸集域的任 意兩點x1、x2,存在如下不等式： f X1 1 x2 f x1 1 x2 稱f (x)是定義在圖集上的一個凸函數(shù)。 對于約束優(yōu)化問題 二月（牛孫…，x） X三R" [st g/X）＜0 j= 1,2,…，膽 若 f(x)、gj(x) j=1,2,…,m 都是凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃 3-1.簡述一維搜索區(qū)間消去法原理。(要配圖) 答：搜索區(qū)間(a, b)確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找 到極小點的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間(a, b)任取兩點al, bl , ai 《bi,并計算函數(shù)值f (

6、ai), f (bi)。將有下列三種可能情形； 1) f (ai) f (bi)由于函數(shù)為單谷，所以極小點必在區(qū)間(a, bi) 2) f (a?！怠礷 (bi),同理,極小點應(yīng)在區(qū)間(ai, b) 3) f (ai) =f (bi),這是極小點應(yīng)在(ai, bi) fftl) f 0>i) ?〕(bn -I—Uv vj—I- U—— a J bl b 耳 & bl b g 31 bl b D 23 3) 3-2.簡述黃金分割法搜索過程及程序框圖。 i b (ba) 2 a (ba) 其中，為待定常數(shù)。 J b 3-3.對函數(shù)f( ) 2 2 ,當給定搜索區(qū)間

7、 5 5時，寫出用黃金 分割法求極小點 的前三次搜索過程。(要列表) 黃金分割法的搜索過程 序號 a ai a2 b Y1 比較 Y2 0 -5 -1.18 1.18 5 -0.9676 < 3.7524 1 -5 -2.639 -1.181 ? 1.686 > -0.967 2 ? -1.18 -0.279 1.18 -0.9676 < -0.48 3 -2.639 -1.737 -1.181 ? -0.457 > -0.482

8、 c y3 yi ci ， X3 Xi i / Xp 一（Xi X3 2 C2 Ci X2 X3 3-4.使用二次插值法求f(x尸sin(x)在區(qū)間［2,6］的極小點，寫出計算步驟和 迭代公式，給定初始點 xi=2, X2=4 , X3=6 , =10-4 o 解: i 2 3 4 Xi 2 4 4.55457 4.55457 X2 4 4.55457 4.73656 4.72i25 X3 6 6 6 4.73656 yi 0.9092971 -0.756802 -0.987

9、572 -0.987572 y2 -0.756802 -0.987572 -0.999708 -0.99996i y3 -0.2794i5 -0.2794i5 -0.2794i5 -0.999708 Xp 4.55457 4.73656 4.72i25 4.7i236 yp -0.987572 -0.999708 -0.99996i -i 迭代次數(shù)K= 4 ,極小點為 4.71236 ,最小值為 -1 c y2 yi 6 C2 , C3 X2 Xi 色） C3 收斂的條件: y2 yp V2 4-1.簡述無約束優(yōu)化方法中梯度

10、法、共鈍梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別 答：梯度法是以負梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個迭代點上的函數(shù) 相互垂直即是相鄰兩個搜索方向相互垂直。這就是說在梯度法中， 迭代點向函數(shù)極小點靠近的 過程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過程互相垂直，形成“之”字形的 鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠離極小點的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降。可 是在接近極小點的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種 情況似乎與“最速下降”的名稱矛盾，其實不然，這是因為梯度是函數(shù)的局部性質(zhì)。 從局部上看, 在一點附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則

11、走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。 共軻梯度法是共軻方向法中的一種， 因為在該方法中每一個共軻的量都是依賴于迭代點處 的負梯度而構(gòu)造出來的，所以稱作共軻梯度法。該方法的第一個搜索方向取作負梯度方向，這 就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉(zhuǎn)一個角度，也就是對負梯度進行修正。 所以共輾梯度法實質(zhì)上是對最速下降法進行的一種改進，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。 鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軻方向的一種共軻方向法， 這種方法是在研究其有正 1 T T 定矩陣G的二次函數(shù)f(x) — xTGx bTx c的極小化問題時形成的。其基本思想是在不用 2 導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)

12、造G的共軻方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點和終 點所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組 線性相關(guān)的原因所在。因此在改進的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換， 還要進一步判斷原向量組中哪個向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個最壞的向量，以保 證逐次生成共軻方向。 4-2.如何確定無約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向？ 答：優(yōu)化設(shè)計是追求目標函數(shù)彳1最小，因此搜所方向 d取該點的負梯度方向-f(x)。使 函數(shù)值在該點附近的圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法 k 1 k k x x f (x ) (k=0 ,

13、 1,2,…) k 由于最速下降法是以負梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法 k 為了使目標函數(shù)值沿搜索方向 -f(x )能獲得最大的下降值，其步長因子a應(yīng)取一維搜 k 索的最佳步長。即有 k 1 k k k k f x f x a f (x ) min f x a f (x ) min () k 根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得； k 1 T k k 1 T k f (x ) f(x ) 0或?qū)懗?d d 0 由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負 梯度方向，因此相鄰的兩個搜索方向相互垂直。這就是說在

14、最速下降法中，迭代點向函數(shù)極小 點靠近的過程。 4-3.給定初始值x0=[-7,11]T ,使用牛頓法求函數(shù) f(Xi,X2)(xi 2)2 (xi 2x2)2的極小值點和極小值。 解：梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為 f (Xi , X2 ) 2(x1 2) 2(x1 2x2) 4(Xi 2x2) 2 f(xi,x2) 4 4 2 1 4 8，2f 1 1 2 4 1 1 4 4 假設(shè)初始值 x0=[-7,11] w 0 76 八 則 f(x0) 116 , (1 分) x1 x0 2f 1 f(x。): (2 分) 則 f (x1) , ( 1 分) 0

15、 X1滿足極值的必要條件，海賽矩陣是正定的, (2分) (4分) 所以是極小點 * 1 1 x x1 , f(x ) 1。 2 分 1 4-4.以二元函數(shù)f(x1,X2)為例說明單形替換法的基本原理。 答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個點 x1, x2, x3,以它們?yōu)轫旤c組成一單純 計算各頂點函數(shù)值，設(shè) f (x1) >f (x2) >f (x3),這說明x3點最好，x1點最差。 為了尋找極小點，一般來說。應(yīng)向最差點的反對稱方向進行搜索，即通過 X1并穿過x2x3 的中點x4的方向上進行搜索。在此方向上取點 x5 使 x5=x4+ (x4-x1 ) x5

16、稱彳X1點相對于X4點的反射點，計算反射點的函數(shù)值 f (X5),可能出現(xiàn)以下幾種情 1) f (x5) f(x1),反射點比最差點還差，說明收縮應(yīng)該多一些。將新點收縮在 X1X4之間 5) f(x)>f(x1),說明x1x4方向

17、上所有點都比最差點還要差，不能沿此方向進行搜索。 5-1.簡述約束優(yōu)化方法的分類。（簡述約束優(yōu)化問題的直接解法、間接 解法的原理、特點及主要方法。） 答：直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題， 它的基本思路是在 m個不等式約束條件 0 所確定的可行域選擇一個初始點 x ,然后決定可行搜索方向 d,且以適當?shù)牟介L 沿d方向 i 進行搜索，得到一個使目標函數(shù)值下降的可行的新點 x ,即完成一個迭代。再以新點為起點， 重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當設(shè)計點沿該方向 作微量移動時，目標函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將

18、由直接解 法中的各種算法決定。 直接解法的原理簡單，方法實用。其特點是： 1）由于整個求解過程在可行域進行，因此 迭代計算不論何時終點，都可以獲得一個比初始點好的設(shè)計點。 2）若目標函數(shù)為凸函數(shù)，可 行域為凸集，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個局部最優(yōu)解，當選擇的初始點不相 同時，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域選擇幾個差別較大的初始點分別進行 計算，以便從求得多個局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。 3）要求可行域為有界的非空集，即 在有界可行域存在滿足全部約束條件的點，且目標函數(shù)有定義。 直接解法有：隨機方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡約梯度法等。 間接解法有

19、不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進 行特殊的加權(quán)處理后，和目標函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個新的目標函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn) 化成一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標函數(shù)進行無約束優(yōu)化計算，從而間接地搜 索到原約束問題的最優(yōu)解。 間接解法是目前在機械優(yōu)化設(shè)計中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點是： 1）由于無 約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟， 已經(jīng)研究出不少有效的無約束最優(yōu)化方法和程序， 使得間接解 法有了可靠的基礎(chǔ)。目前，這類算法的計算效率和數(shù)值穩(wěn)定性也都有了較大提高。 2）可以有 效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題。 3）間接算法存在的主要問題是，選取

20、加權(quán)因子比較 困難，加權(quán)因子選取不當，不但影響收斂速度和計算精度，甚至會導(dǎo)致計算失敗。 間接解法有懲罰函數(shù)法和增廣乘子法。 5-2.用點法求下列問題的最優(yōu)解： 2 min f (x) x1 st g1 3 x2 0 (提示：可構(gòu)造懲罰函數(shù) (x,r) f (x) 解。) x2 2x1 1 2 r In gu (x),然后用解析法求 u 1 ［解］構(gòu)造點懲罰函數(shù)： 2 2 (x ,r) f (x) r In gu(x) xi u 1 令懲罰函數(shù)對x的極值等于零： d 2xi 2 dx 2x2 ( r)/(3 2 x2 2x1 1 r ln(3 x2) 0 x2) xi x2 1 6 .36 8r 4 舍去負根后，得x2 6 36 8r 4 當 r 0時，x2 3,該問題的最優(yōu)解為 x 1 3T o