高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布列二學(xué)案 新人教A版選修23

2.1.2　離散型隨機(jī)變量的分布列(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步理解離散型隨機(jī)變量的分布列的求法、作用.2.理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布． 知識點(diǎn)一　兩點(diǎn)分布 隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 1－p p 若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率． 知識點(diǎn)二　超幾何分布 思考　在含有5名男生的100名學(xué)生中，任選3人，求恰有2名男生的概率表達(dá)式． 答案　. 梳理　一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列 X 0 1 … m P … 為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布． 類型一　兩點(diǎn)分布 例1　(1)某運(yùn)動員射擊命中10環(huán)的概率為0.9，求他在一次射擊中命中10環(huán)的次數(shù)的分布列； (2)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 求出c，并說明X是否服從兩點(diǎn)分布，若是，則成功概率是多少？ 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的分布列 題點(diǎn)　兩點(diǎn)分布 解　(1)設(shè)該運(yùn)動員射擊一次命中10環(huán)的次數(shù)為X， 則P(X＝1)＝0.9，P(X＝0)＝1－0.9＝0.1. X 0 1 P 0.1 0.9 (2)由(9c2－c)＋(3－8c)＝1，解得c＝或c＝， 又9c2－c≥0,3－8c≥0，所以≤c≤，所以c＝. X的取值為0,1，故X服從兩點(diǎn)分布，成功概率為3－8c＝. 反思與感悟　兩步法判斷一個分布是否為兩點(diǎn)分布 (1)看取值：隨機(jī)變量只取兩個值：0和1. (2)驗概率：檢驗P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一個分布滿足以上兩點(diǎn)，則該分布是兩點(diǎn)分布，否則不是兩點(diǎn)分布． 跟蹤訓(xùn)練1　已知一批100件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的分布列． 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的分布列 題點(diǎn)　兩點(diǎn)分布 解　由題意知，X服從兩點(diǎn)分布，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－＝.所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 類型二　超幾何分布 例2　一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1,2,3；黑球有2個，編號為1,2；白球有1個，編號為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個球． (1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率； (2)記取得1號球的個數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列． 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　求超幾何分布的分布列 解　(1)從袋中一次隨機(jī)抽取3個球，基本事件總數(shù)n＝C＝20，取出的3個球的顏色都不相同包含的基本事件的個數(shù)為CCC＝6，所以取出的3個球的顏色都不相同的概率為P＝＝. (2)由題意知X＝0,1,2,3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 引申探究 1．在本例條件下，若記取到白球的個數(shù)為隨機(jī)變量η，求隨機(jī)變量η的分布列． 解　由題意可知η＝0,1，服從兩點(diǎn)分布．又P(η＝1)＝＝，所以η的分布列為 η 0 1 P 2．將本例的條件“一次隨機(jī)抽取3個球”改為“有放回地抽取3次球，每次抽取1個球”，其他條件不變，結(jié)果又如何？ 解　(1)取出3個球顏色都不相同的概率 P＝＝. (2)由題意知X＝0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝. P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 反思與感悟　超幾何分布的求解步驟 (1)辨模型：結(jié)合實際情景分析所求概率分布問題是否由具有明顯的兩部分組成，如“男生、女生”，“正品、次品”“優(yōu)劣”等，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分．具有該特征的概率模型為超幾何分布模型． (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、組合及概率的知識求解，需注意借助公式求解時應(yīng)理解參數(shù)M，N，n，k的含義． (3)列分布表：把求得的概率值通過表格表示出來． 跟蹤訓(xùn)練2　某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊． (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率； (2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列． 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　求超幾何分布的分布列 解　(1)由題意知，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6人． 代表隊中的學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為＝，因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為1－＝. (2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為1,2,3. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為 X 1 2 3 P 1．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ去表示1次試驗的成功次數(shù)，則P(ξ＝0)等于(　　) A．0 B. C. D. 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的分布列 題點(diǎn)　兩點(diǎn)分布 答案　C 解析　由題意知該分布為兩點(diǎn)分布， 又P(ξ＝1)＝2P(ξ＝0)且P(ξ＝1)＋P(ξ＝0)＝1， ∴P(ξ＝0)＝. 2．已知在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　C 解析　X服從超幾何分布，基本事件總數(shù)為C，所求事件數(shù)為CC，∴P(X＝4)＝. 3．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)等于(　　) A．0.8 B．0.2 C．0.4 D．0.1 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的分布列 題點(diǎn)　兩點(diǎn)分布 答案　A 解析　因為Y＝3X－2，所以X＝(Y＋2)．當(dāng)Y＝－2時，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8. 4．從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競賽，則所選3人中，女生的人數(shù)不超過1人的概率為________． 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　 解析　設(shè)所選女生數(shù)為隨機(jī)變量X，則X服從超幾何分布，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 5．交5元錢，可以參加一次摸獎，一袋中有同樣大小的球10個，其中8個標(biāo)有1元錢，2個標(biāo)有5元錢，摸獎?wù)咧荒軓闹腥稳?個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎人所得錢數(shù)的分布列． 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　求超幾何分布的分布列 解　設(shè)抽獎人所得錢數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ＝2,6,10. P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝6)＝＝， P(ξ＝10)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 2 6 10 P 1．兩點(diǎn)分布：兩點(diǎn)分布是很簡單的一種概率分布，兩點(diǎn)分布的試驗結(jié)果只有兩種可能，要注意成功概率的值指的是哪一個量． 2．超幾何分布：超幾何分布在實際生產(chǎn)中常用來檢驗產(chǎn)品的次品數(shù)，只要知道N，M和n就可以根據(jù)公式： P(X＝k)＝求出X取不同值k時的概率．學(xué)習(xí)時，不能機(jī)械地去記憶公式，而要結(jié)合條件以及組合知識理解M，N，n，k的含義． 一、選擇題 1．從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張是A的概率為(　　) A. B. C．1－ D. 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　D 解析　設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)，則P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋. 2．下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是(　　) A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X B．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為X C．某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為X D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù) 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　超幾何分布的概念 答案　B 解析　由超幾何分布的定義可知B正確． 3．在100張獎券中，有4張能中獎，從中任取2張，則2張都能中獎的概率是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　C 解析　記X為2張中的中獎數(shù)，則P(X＝2)＝＝. 4．10名同學(xué)中有a名女生，若從中抽取2個人作為學(xué)生代表，恰抽取1名女生的概率為，則a等于(　　) A．1 B．2或8 C．2 D．8 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　B 解析　由題意知，＝， 解得a＝2或8. 5．一個盒子里裝有大小相同的10個黑球，12個紅球，4個白球，從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則下列概率等于的是(　　) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　B 解析　本題相當(dāng)于求至多取出1個白球的概率，即取到1個白球或沒有取到白球的概率． 6．盒中有10個螺絲釘，其中有3個是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個，則概率是的事件為(　　) A．恰有1個是壞的 B．4個全是好的 C．恰有2個是好的 D．至多有2個是壞的 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　C 解析　“X＝k”表示“取出的螺絲釘恰有k個是好的”， 則P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故選C. 7．從只有3張中獎的10張彩票中不放回隨機(jī)逐張抽取，設(shè)X表示直至抽到中獎彩票時的次數(shù)，則P(X＝3)等于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　排列、組合知識在分布列中的應(yīng)用 答案　D 解析　“X＝3”表示前2次未抽到中獎彩票，第3次抽到中獎彩票，故P(X＝3)＝＝＝，故選D. 二、填空題 8．某手機(jī)經(jīng)銷商從已購買某品牌手機(jī)的市民中抽取20人參加宣傳活動，這20人中年齡低于30歲的有5人．現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈送一部手機(jī)，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X＝1)＝________. 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　 解析　易知P(X＝1)＝＝. 9．在A，B兩個袋中都有6張分別寫有數(shù)字0,1,2,3,4,5的卡片，現(xiàn)從每個袋中任取一張卡片，兩張卡片上的數(shù)字之和記為X，則P(X＝7)＝________. 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　排列、組合知識在分布列中的應(yīng)用 答案　 解析　P(X＝7)＝＝. 10．有同一型號的電視機(jī)100臺，其中一級品97臺，二級品3臺，從中任取4臺，則二級品不多于1臺的概率為________．(用式子表示) 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　 解析　二級品不多于1臺，即一級品有3臺或4臺． 11．袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球，取到1個紅球得3分，取到1個黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________. 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　 解析　由題意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝. 三、解答題 12．老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求： (1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量X的分布列； (2)他能及格的概率． 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　求超幾何分布的分布列 解　(1)X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 13．受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下： 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn)故障 時間x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轎車數(shù)量(輛) 2 3 45 5 45 每輛利潤(萬元) 1 2 3 1.8 2.9 將頻率視為概率，解答下列問題： (1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； (2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列． 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的分布列 題點(diǎn)　求離散型隨機(jī)變量的分布列 解　(1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝＝. (2)依題意得，X1的分布列為 X1 1 2 3 P X2的分布列為 X2 1.8 2.9 P 四、探究與拓展 14．一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是.從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，則P(X＝2)＝________. 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　利用超幾何分布求概率 答案　 解析　設(shè)10個球中有白球m個， 則＝1－， 解得m＝5或m＝14(舍去)． 所以P(X＝2)＝＝. 15．為了迎接即將到來的某商界大會，大會組委會在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖(單位：cm)．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定義為“高個子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才擔(dān)任“禮儀小姐”． (1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中選取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？ (2)若從所有“高個子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列． 考點(diǎn)　超幾何分布 題點(diǎn)　求超幾何分布的分布列 解　(1)根據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是＝，所以選中的“高個子”有12＝2(人)，“非高個子”有18＝3(人)． 用事件A表示“至少有一名‘高個子’被選中”， 則它的對立事件表示“沒有一個‘高個子’被選中”， 則P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝. 因此，至少有一人是“高個子”的概率是. (2)依題意，X的可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 因此，X的分布列為 X 0 1 2 3 P 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375