高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 2.2.2 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 第2課時(shí) 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修1

第2課時(shí)　對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)進(jìn)行同底對(duì)數(shù)和不同底對(duì)數(shù)大小的比較．(重點(diǎn))2.通過(guò)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，加深理解分類討論、數(shù)形結(jié)合這兩種重要數(shù)學(xué)思想的意義和作用．(重點(diǎn)) [合 作 探 究攻 重 難] 比較對(duì)數(shù)值的大小 　比較下列各組值的大?。? (1)log5與log5； (2)log2與log2； (3)log23與log54. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102296】 [解]　(1)法一(單調(diào)性法)：對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log5x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，而<，所以log5<log5. 法二(中間值法)：因?yàn)閘og5<0，log5>0， 所以log5<log5. (2)由于log2＝，log2＝. 又因?qū)?shù)函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 且>，所以0>log2>log2， 所以<，所以log2<log2. (3)取中間值1， 因?yàn)閘og23>log22＝1＝log55>log54， 所以log23>log54. [規(guī)律方法]　比較對(duì)數(shù)值大小的常用方法 (1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性. (2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化. (3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量. 提醒：比較數(shù)的大小時(shí)先利用性質(zhì)比較出與零或1的大小. [跟蹤訓(xùn)練] 1．比較下列各組值的大?。? (1)log0.5，log0.6. (2)log1.51.6，log1.51.4. (3)log0.57，log0.67. (4)log3π，log20.8. [解]　(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝logx是減函數(shù)，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6. (2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log1.5x是增函數(shù)，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4. (3)因?yàn)?>log70.6>log70.5， 所以<， 即log0.67<log0.57. (4)因?yàn)閘og3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8. 解對(duì)數(shù)不等式 　已知函數(shù)f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)． (1)求函數(shù)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定義域； (2)試確定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范圍． 思路探究：(1)直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求解x的取值集合； (2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案． [解]　(1)由解得1＜x＜3，∴函數(shù)φ(x)的定義域?yàn)閧x|1＜x＜3}． (2)不等式f(x)≤g(x)，即為loga(x－1)≤loga(6－2x)， ①當(dāng)a＞1時(shí)，不等式等價(jià)于解得1<x≤； ②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式等價(jià)于解得≤x<3. 綜上可得，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)0＜a＜1，不等式的解集為. [規(guī)律方法]　 常見(jiàn)的對(duì)數(shù)不等式有三種類型： (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論； (2)形如logax＞b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解； (3)形如logax＞logbx的不等式，可利用圖象求解. [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)已知loga>1，求a的取值范圍； (2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102297】 [解]　(1)由loga>1得loga>logaa. ①當(dāng)a>1時(shí)，有a<，此時(shí)無(wú)解． ②當(dāng)0<a<1時(shí)，有<a，從而<a<1. 所以a的取值范圍是. (2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log0.7x在(0，＋∞)上為減函數(shù)， 所以由log0.72x<log0.7(x－1)得解得x>1. 即x的取值范圍是(1，＋∞)． 對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1．函數(shù)f(x)＝log(2x－1)的單調(diào)性如何？求出其單調(diào)區(qū)間． 提示：函數(shù)f(x)＝log(2x－1)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)y＝logx是減函數(shù)，函數(shù)y＝2x－1是增函數(shù)，所以f(x)＝log(2x－1)是上的減函數(shù)，其單調(diào)遞減區(qū)間是. 2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？ 提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基礎(chǔ)上，分a>1和0<a<1兩種情況，借助y＝logax的單調(diào)性求函數(shù)y＝logaf(x)的值域． 　(1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的減函數(shù)，則a的取值范圍為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102298】 A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞) (2)函數(shù)f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________． 思路探究：(1)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)及y＝2－ax的單調(diào)性，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組可得． (2)先求真數(shù)的范圍，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解． (1)B　(2)(－∞，－1]　[(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)，且y＝2－ax在[0,1]上是減函數(shù)， ∴ 即∴∴1＜a＜2. (2)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]， 因?yàn)?x＋1)2＋2≥2， 所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，所以函數(shù)f(x)的值域是(－∞，－1]．] 母題探究：1.求本例(2)的函數(shù)f(x)在[－3,1]上的值域． [解]　∵x∈[－3,1]， ∴2≤x2＋2x＋3≤6， ∴l(xiāng)og6≤log(x2＋2x＋3)≤log22， 即－log26≤f(x)≤1， ∴f(x)的值域?yàn)閇－log26,1]． 2．若本例(2)中的函數(shù)在(－∞，a]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍． [解]　由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知， 函數(shù)g(x)＝x2＋2x＋3在(－∞，a]上單調(diào)遞減，所以a≤－1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1]． [規(guī)律方法]　 1．已知對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，注意函數(shù)的定義域求解；若是分段函數(shù)，則需注意兩段函數(shù)最值的大小關(guān)系． 2．求對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則(　　) A．a(chǎn)>c>b　　　　　　　 B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b D　[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知log52<log32，∴b<a<c，故選D.] 2．函數(shù)y＝log(2x＋1)的值域?yàn)開(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102299】 (－∞，0)　[∵2x＋1>1，函數(shù)y＝logx是(0，＋∞)上的減函數(shù)， ∴l(xiāng)og(2x＋1)<log1＝0，即所求函數(shù)的值域?yàn)?－∞，0)．] 3．若函數(shù)f(x)＝log2(ax＋1)在[0,1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (0，＋∞)　[由題意得解得a>0.] 4．函數(shù)f(x)＝log2(1＋2x)的單調(diào)增區(qū)間是______． 　[易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x和y＝1＋2x都是增函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是.] 5．已知a＞0且滿足不等式22a＋1＞25a－2. (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集； (3)若函數(shù)y＝loga(2x－1)在區(qū)間[1,3]上有最小值為－2，求實(shí)數(shù)a的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102300】 [解]　(1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1. (2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)， ∴ 即解得<x<. 即不等式的解集為. (3)∵0＜a＜1，∴函數(shù)y＝loga(2x－1)在區(qū)間[1,3]上為減函數(shù)，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y有最小值為－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝. 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。