2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

3．3.3　導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題． 知識(shí)點(diǎn)　生活中的優(yōu)化問題 1．生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題． 2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值． 3．解決優(yōu)化問題的基本思路： 上述解決優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程． 1．生活中常見到的收益最高、用料最省等問題就是數(shù)學(xué)中的最大、最小值問題．(　√　) 2．解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．(　√　) 題型一　幾何中的最值問題 例1　請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝xcm. (1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x應(yīng)取何值？ (2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值． 考點(diǎn)　幾何類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　幾何體體積的最值問題 解　(1)由題意知包裝盒的底面邊長(zhǎng)為xcm， 高為(30－x)cm,0<x<30， 所以包裝盒側(cè)面積為S＝4x(30－x) ＝8x(30－x)≤82＝8225， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝30－x，即x＝15時(shí)，等號(hào)成立， 所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x＝15. (2)包裝盒容積V＝2x2(30－x) ＝－2x3＋60x2(0<x<30)， 所以V′＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)． 令V′>0，得0<x<20；令V′<0，得20<x<30. 所以當(dāng)x＝20時(shí)，包裝盒容積V取得最大值，此時(shí)包裝盒的底面邊長(zhǎng)為20 cm，高為10cm，包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為1∶2. 反思感悟　面積、體積(容積)最大，周長(zhǎng)最短，距離最小等實(shí)際幾何問題，求解時(shí)先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?，將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗(yàn)．特別注意：在列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要注意實(shí)際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域． 跟蹤訓(xùn)練1　現(xiàn)需設(shè)計(jì)某次期中考試的數(shù)學(xué)試卷，該試卷含有大小相等的兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為720cm2，四周空白的寬度為4cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為2cm，設(shè)試卷的長(zhǎng)和寬分別為xcm，ycm. (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求該函數(shù)的定義域； (2)如何確定該試卷長(zhǎng)與寬的尺寸(單位：cm)，才能使試卷的面積最?。? 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　由題意知試卷的長(zhǎng)和寬分別為xcm，ycm，則每欄的長(zhǎng)和寬分別為，y－8，其中x>10，y>8. (1)兩欄面積之和為2(y－8)＝720， 由此得y＝＋8(x>10)． (2)試卷的面積S＝xy＝x， ∴S′＝＋8， 令S′＝0，得x＝40(負(fù)數(shù)舍去)， ∴函數(shù)在(10,40)上單調(diào)遞減，在(40，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x＝40時(shí)，S取得最小值， 故當(dāng)試卷的長(zhǎng)為40cm，寬為32cm時(shí)，可使試卷的面積最?。? 題型二　實(shí)際生活中的最值問題 命題角度1　利潤(rùn)最大問題 例2　某工廠共有10臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元．(利潤(rùn)＝盈利－虧損) (1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù)； (2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？ 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 解　(1)由題意得，所獲得的利潤(rùn)為y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)． (2)由(1)知，y′＝＝， 當(dāng)4≤x≤6時(shí)，y′≥0，函數(shù)在[4,6]上為增函數(shù)； 當(dāng)6≤x≤12時(shí)，y′≤0，函數(shù)在[6,12]上為減函數(shù)， 所以當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值， 最大利潤(rùn)為y＝206－362＋96ln6－90＝96ln6－78(萬(wàn)元)． 反思感悟　解決此類有關(guān)利潤(rùn)的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有： (1)利潤(rùn)＝收入－成本． (2)利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)銷售件數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練2　某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克． (1)求a的值； (2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大． 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 解　(1)因?yàn)楫?dāng)x＝5時(shí)，y＝11，所以＋10＝11， 所以a＝2. (2)由(1)可知，該商品每日的銷售量 y＝＋10(x－6)2， 所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn) f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↘ 極大值42 ↗ 由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)． 所以當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值為42. 答　當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大． 命題角度2　用料(費(fèi)用)最省問題 例3　某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場(chǎng)數(shù)塊，用128萬(wàn)元購(gòu)買土地10000平方米，該中心每塊球場(chǎng)的建設(shè)面積為1000平方米，球場(chǎng)的總建筑面積的每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用與球場(chǎng)數(shù)有關(guān)，當(dāng)該中心建球場(chǎng)x塊時(shí)，每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用(單位：元)可近似地用f(x)＝800來刻畫．為了使該球場(chǎng)每平方米的綜合費(fèi)用最省(綜合費(fèi)用是建設(shè)費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和)，該網(wǎng)球中心應(yīng)建幾個(gè)球場(chǎng)？ 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題 解　設(shè)建成x個(gè)球場(chǎng)，則1≤x≤10，且x∈Z，每平方米的購(gòu)地費(fèi)用為＝(元)，因?yàn)槊科椒矫椎钠骄ㄔO(shè)費(fèi)用(單位：元)可近似地用f(x)＝800來表示， 所以每平方米的綜合費(fèi)用為g(x)＝f(x)＋ ＝800＋160lnx＋(1≤x≤10且x∈Z)， 所以g′(x)＝(1≤x≤10且x∈Z)， 令g′(x)＝0，得x＝8，當(dāng)1≤x<8時(shí)， g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)； 當(dāng)8<x≤10時(shí)，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)， 所以當(dāng)x＝8時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值． 故當(dāng)建成8個(gè)球場(chǎng)時(shí)，每平方米的綜合費(fèi)用最?。? 反思感悟　費(fèi)用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對(duì)象．正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答． 跟蹤訓(xùn)練3　為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和． (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式； (2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值． 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題 解　(1)由題意知，每年的能源消耗費(fèi)用為C(x)＝(0≤x≤10)，且C(0)＝8，故k＝40，所以C(x)＝(0≤x≤10)． 設(shè)建造費(fèi)用為C1(x)，則C1(x)＝6x. 所以f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)因?yàn)閒(x)＝＋6x(0≤x≤10)， 所以f′(x)＝6－. 令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5(負(fù)值舍去)． 當(dāng)0≤x<5時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)； 當(dāng)5<x≤10時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)． 故x＝5是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝＋65＝70. 故當(dāng)隔熱層修建厚度為5cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元． 損耗最少問題 典例　已知A，B兩地相距200千米，一艘船從A地逆水而行到B地，水速為8千米/時(shí)，船在靜水中的速度為v千米/時(shí)(8<v≤v0，v0為常數(shù))．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v＝12時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，為了使全程燃料費(fèi)最省，船在靜水的速度為多少？ 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為y1元，比例系數(shù)為k(k>0)，則y1＝kv2. ∵當(dāng)v＝12時(shí)，y1＝720，∴720＝k122，得k＝5. 設(shè)全程燃料費(fèi)為y元，由題意， 得y＝y(tǒng)1＝(8<v≤v0)， ∴y′＝＝. 令y′＝0，解得v＝16. 若v0≥16，當(dāng)v∈(8,16)時(shí)，y′<0，y為減函數(shù)； 當(dāng)v∈(16，v0]時(shí)，y′>0，y為增函數(shù)． 故當(dāng)v＝16時(shí)，y取得極小值，也是最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最?。? 若v0<16，當(dāng)v∈(8，v0]時(shí)，y′<0，y在(8，v0]上為減函數(shù)． 故當(dāng)v＝v0時(shí)，y取得最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最省． 綜上可得，若v0≥16，則當(dāng)v＝16千米/時(shí)時(shí)，全程燃料費(fèi)最?。? 若v0<16，則當(dāng)v＝v0時(shí)，全程燃料費(fèi)最省． [素養(yǎng)評(píng)析]　(1)解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，要先找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化、抽象成數(shù)學(xué)問題，再化歸為常規(guī)問題，最后選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解． (2)確定函數(shù)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的要求較高，有利于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升． 1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是(　　) A．8B.C．－1D．－8 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　函數(shù)類型的其他問題 答案　C 解析　原油溫度的瞬時(shí)變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值－1. 2．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2∶1，則該長(zhǎng)方體的最大體積為(　　) A．2m3B．3m3C．4m3D．5m3 考點(diǎn)　幾何類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　幾何體體積的最值問題 答案　B 解析　設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，高為h＝＝－3x(m)， 故長(zhǎng)方體的體積為V(x)＝2x2 ＝9x2－6x3， 從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)， 令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)． 當(dāng)0<x<1時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)1<x<時(shí)，V′(x)<0， 故在x＝1處V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值， 從而最大體積V＝V(1)＝912－613＝3(m3)． 3．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)品x(千臺(tái))的函數(shù)，y1＝17x2(x>0)；生產(chǎn)總成本y2(萬(wàn)元)也是x(千臺(tái))的函數(shù)，y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤(rùn)最大，則應(yīng)生產(chǎn)(　　) A．9千臺(tái)B．8千臺(tái)C．6千臺(tái)D．3千臺(tái) 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 答案　C 解析　利潤(rùn)y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0)， 求導(dǎo)得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去)． 所以當(dāng)生產(chǎn)6千臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大． 4．容積為256的方底無蓋水箱，它的高為時(shí)最省材料． 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題 答案　4 解析　設(shè)水箱高為h，底面邊長(zhǎng)為a，則a2h＝256， 其表面積為S＝a2＋4ah＝a2＋4a＝a2＋. 令S′＝2a－＝0，得a＝8. 當(dāng)0<a<8時(shí)，S′<0；當(dāng)a>8時(shí)，S′>0， 故當(dāng)a＝8時(shí)，S最小，此時(shí)h＝＝4. 5．某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件．如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知當(dāng)商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期多賣出24件． (1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)； (2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？ 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 解　(1)設(shè)商品降價(jià)x元，則每星期多賣的商品數(shù)為kx2. 若記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x)，則有 f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)． 由已知條件，得24＝k22，于是k＝6. 所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]． (2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432 ＝－18(x－2)(x－12)． 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 故當(dāng)x＝12時(shí)，f(x)取得極大值． 因?yàn)閒(0)＝9072，f(12)＝11664. 所以當(dāng)定價(jià)為30－12＝18(元)時(shí)，才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大． 1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)． (2)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值． 2．正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問題的主要思路．另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實(shí)際問題相聯(lián)系；(3)必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用. 一、選擇題 1．已知某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋36x＋126，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為(　　) A．11萬(wàn)件B．9萬(wàn)件C．7萬(wàn)件D．6萬(wàn)件 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 答案　D 解析　由y′＝－x2＋36＝0， 解得x＝6或x＝－6(舍去)． 當(dāng)0<x<6時(shí)，y′>0； 當(dāng)x>6時(shí)，y′<0， ∴在x＝6時(shí)y取最大值． 2．將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方和最小，那么這兩個(gè)數(shù)為(　　) A．2,6 B．4,4 C．3,5 D．以上都不對(duì) 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　函數(shù)類型的其他問題 答案　B 解析　設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x， 其立方和為y＝x3＋(8－x)3 ＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)， 則y′＝48x－192. 令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4. 當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0； 當(dāng)4<x≤8時(shí)，y′>0， 所以當(dāng)x＝4時(shí)，y取得極小值，也是最小值． 所以這兩個(gè)數(shù)為4,4. 3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是(　　) A．150B．200C．250D．300 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 答案　D 解析　由題意得，總利潤(rùn) P(x)＝ ∴P′(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300， 當(dāng)0<x<300時(shí)，P′(x)>0， 當(dāng)300<x<390時(shí)，P′(x)<0， 又P(300)＝40000>P(390)＝31090.故選D. 4．某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每1m2的造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為(　　) A．900元B．840元C．818元D．816元 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題 答案　D 解析　設(shè)箱底一邊的長(zhǎng)度為xm，箱子的總造價(jià)為l元， 根據(jù)題意得箱底面積為＝16(m2)， 則箱底另一邊的長(zhǎng)度為m， 所以l＝1615＋12 ＝240＋72， l′＝72. 令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)． 當(dāng)0<x<4時(shí)，l′<0；當(dāng)x>4時(shí)，l′>0. 故當(dāng)x＝4時(shí)，l取得極小值，也就是最小值，為816. 因此，當(dāng)箱底是邊長(zhǎng)為4m的正方形時(shí)，箱子的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為816元． 5．若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時(shí)底面邊長(zhǎng)為(　　) A.B.C.D．2 考點(diǎn)　幾何類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　面積的最值問題 答案　C 解析　設(shè)底面邊長(zhǎng)為x， 則表面積S＝x2＋V(x>0)， ∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝. 可判斷得當(dāng)x＝時(shí)，直棱柱的表面積最?。? 6．在三棱錐O－ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y(tǒng)，且x＋y＝3，則三棱錐O－ABC體積的最大值為(　　) A．4B．8C.D. 考點(diǎn)　幾何類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　幾何體體積的最值問題 答案　C 解析　V＝y(tǒng)＝＝ ＝(0<x<3)， V′＝＝2x－x2＝x(2－x)． 令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)． 所以當(dāng)x＝2時(shí)，V取極大值且為最大值，最大值為. 7．某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x等于(　　) A．20噸B．40噸C．60噸D．80噸 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　設(shè)該公司一年內(nèi)總共購(gòu)買n次貨物，則n＝， ∴總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x， 令f′(x)＝4－＝0， 解得x＝20，x＝－20(舍去)， x＝20是函數(shù)f(x)的最小值點(diǎn)，故當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)最?。? 8．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)(　　) A．60元 B．30元 C．28000元 D．23000元 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 答案　D 解析　由題意知，毛利潤(rùn)等于銷售額減去成本， 即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11700p－166000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)． 此時(shí)，L(30)＝23000. 因?yàn)樵趐＝30附近的左側(cè)L′(p)>0，右側(cè)L′(p)<0， 所以L(30)是極大值，根據(jù)實(shí)際問題的意義知，L(30)是最大值． 二、填空題 9．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為cm. 考點(diǎn)　幾何類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　幾何體體積的最值問題 答案　8 解析　設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm， 鐵盒的體積為Vcm3，則鐵盒的底面邊長(zhǎng)為(48－2x) cm， 由題意，得V＝x(48－2x)2(0<x<24)， V′＝12x2－384x＋2304＝12(x2－32x＋192)， 令V′＝0，得x＝8或x＝24(舍去)， ∴當(dāng)x＝8時(shí)，V取極大值，這個(gè)極大值就是最大值．故當(dāng)截去的正方形的邊長(zhǎng)為8cm時(shí)，所做的鐵盒容積最大． 10．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)＝1200＋x3，產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，則產(chǎn)量應(yīng)定為件． 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 答案　25 解析　設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元，產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x＝k，由題意知k＝250000， 則a2x＝250000， 所以a＝. 總利潤(rùn)y＝500－x3－1200(x>0)， y′＝－x2. 由y′＝0，得x＝25，當(dāng)x∈(0,25)時(shí)，y′>0； 當(dāng)x∈(25，＋∞)時(shí)，y′<0， 所以當(dāng)x＝25時(shí)，y取最大值． 11．統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙兩地相距100千米，則當(dāng)汽車以千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油量最少． 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題 答案　80 解析　當(dāng)速度為x千米/時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為y升，由題意，得 y＝ ＝＋－(0<x≤120)， 則y′＝－＝(0<x≤120)， 令y′＝0，得x＝80， 當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，y′<0，該函數(shù)遞減；當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，y′>0，該函數(shù)遞增，故當(dāng)x＝80時(shí)，y取得最小值． 三、解答題 12．某單位用3240萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少15層、每層3000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥15)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為840＋kx(單位：元)．已知樓房建為15層時(shí)，每平方米的平均建筑費(fèi)用為1245元． (1)求k的值． (2)當(dāng)樓房建為多少層時(shí)，樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝) 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　(1)由題意可得840＋15k＝1245，解得k＝27. (2)設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)， 則f(x)＝(840＋27x)＋ ＝840＋27x＋(x≥15且x∈N＋)， f′(x)＝27－，令f′(x)＝0，得x＝20， 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x [15,20) 20 (20，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)有最小值． 答　為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為20層． 13．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)＝ (1)求年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式； (2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大值． 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 解　(1)當(dāng)0<x≤10時(shí)， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10， 當(dāng)x>10時(shí)， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x， 所以W＝ (2)①當(dāng)0<x≤10時(shí)， 由W′＝8.1－＝0，得x＝9. 當(dāng)x∈(0,9)時(shí)，W′>0；當(dāng)x∈(9,10]時(shí)，W′<0. 所以當(dāng)x＝9時(shí)，W取得最大值， 即Wmax＝8.19－93－10＝38.6. ②當(dāng)x>10時(shí)，W＝98－ ≤98－2＝38， 當(dāng)且僅當(dāng)＝2.7x，即x＝時(shí)，W取得最大值38. 綜合①②知，當(dāng)x＝9千件時(shí)，W取得最大值38.6萬(wàn)元． 答　當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為38.6萬(wàn)元． 14．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．設(shè)存款利率為x，x∈(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為(　　) A．0.0162 B．0.0324 C．0.0243 D．0.0486 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問題 答案　B 解析　由題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)． 所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，則y′＝0.0972kx－3kx2(0<x<0.0486)． 令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)． 當(dāng)0<x<0.0324時(shí)，y′>0； 當(dāng)0.0324<x<0.0486時(shí)，y′<0. 所以當(dāng)x＝0.0324時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.0324時(shí)，銀行獲得最大收益． 15.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱體部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球體部分每平方米建造費(fèi)用為4千元．設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元． (1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域； (2)確定r和l為何值時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最少，并求出最少建造費(fèi)用． 考點(diǎn)　函數(shù)類型的優(yōu)化問題 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題 解　(1)因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米， 所以＋πr2l＝，解得l＝－. 所以圓柱的側(cè)面積為 2πrl＝2πr＝－， 兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4πr2， 所以y＝3＋4πr24 ＝＋8πr2. 又l＝－>0?r<2， 所以定義域?yàn)?0,2)． (2)因?yàn)閥′＝－＋16πr＝， 所以令y′>0，得2<r<2； 令y′<0，得0<r<2. 所以當(dāng)r＝2時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最少，為96π千元，此時(shí)l＝.