（全國(guó)通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 中檔大題規(guī)范練（六）不等式選講 理.doc

(六)不等式選講 1．(2018福建省百校模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|－|x－1|. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式0<f(x)≤1的解集； (2)若?x∈(0，＋∞)，f(x)≤a2－3，求a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)， 因?yàn)閒(x)＝|x－2|－|x－1|≤|(x－2)－(x－1)|＝1， 所以f(x)≤1的解集為R； 由f(x)>0，得|x－2|>|x－1|， 則|x－2|2>|x－1|2， 即x2－4x＋4>x2－2x＋1， 解得x<. 故不等式0<f(x)≤1的解集為. (2)當(dāng)a≤0，x∈(0，＋∞)時(shí)， f(x)＝x－a－|x－1|＝ 則f(x)max＝1－a≤a2－3， 又a≤0，所以a≤－； 當(dāng)0<a<1，x∈[1，＋∞)時(shí)，f(x)＝1－a>0>a2－3， 故0<a<1不合題意； 當(dāng)a≥1，x∈(0，＋∞)時(shí)， f(x)＝|x－a|－|x－1|≤|(x－a)－(x－1)| ＝|a－1|＝a－1， 當(dāng)且僅當(dāng)0<x≤1時(shí)等號(hào)成立， 則a2－3≥a－1， 又a≥1，所以a≥2. 綜上，a的取值范圍為∪[2，＋∞)． 2．(2018濱州、淄博模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|2x＋1|. (1)解不等式f(x)≤2； (2)若?b∈R，不等式|a＋b|－|a－b|≥f(x)對(duì)?x∈R恒成立，求a的取值范圍． 解　(1)f(x)＝ 原不等式等價(jià)于 或或 解得x≤－1或－≤x<2或x≥2， 綜上所述，不等式的解集是. (2)?b∈R，|a＋b|－|a－b|≥f(x)對(duì)?x∈R恒成立等價(jià)于 (|a＋b|－|a－b|)max≥f(x)max. 因?yàn)閨a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|， 所以|a＋b|－|a－b|的最大值為2|a|； 當(dāng)x≤－時(shí)，f(x)≤； 當(dāng)－<x<2時(shí)，－5<f(x)<； 當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)≤－5， 所以f(x)max＝， 所以由原不等式恒成立，得2|a|≥， 解得a≥或a≤－. 即a的取值范圍是∪. 3．(2018咸陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|(x∈R)． (1)解不等式f(x)≤1； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值為m，且a＋b＝m(a，b>0)，求＋的取值范圍． 解　(1)由f(x)≤1， 即|2x＋1|≤1，得－1≤2x＋1≤1， 解得x∈[－1,0]． 即不等式的解集為{x|－1≤x≤0}． (2)g(x)＝f(x)＋f(x－1)＝|2x＋1|＋|2x－1| ≥|2x＋1－(2x－1)|＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)(2x＋1)(2x－1)≤0， 即－≤x≤時(shí)取等號(hào)， ∴m＝2. ∴a＋b＝2(a，b>0)， ∴＋＝(a＋b)＝ ≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立， 綜上，＋的取值范圍為. 4．(2018廣州模擬)已知函數(shù)f(x)＝3|x－a|＋|3x＋1|，g(x)＝|4x－1|－|x＋2|. (1)求不等式g(x)<6的解集； (2)若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互為相反數(shù)，求a的取值范圍． 解　(1)由題意可得g(x)＝ 當(dāng)x≤－2時(shí)，g(x)＝－3x＋3<6，得x>－1，無(wú)解； 當(dāng)－2<x<時(shí)，g(x)＝－5x－1<6，得x>－， 即－<x<； 當(dāng)x≥時(shí)，g(x)＝3x－3<6，得x<3，即≤x<3. 綜上，g(x)<6的解集為. (2)因?yàn)榇嬖趚1，x2∈R，使得f(x1)＝－g(x2)成立， 所以{y|y＝f(x)，x∈R}∩{y|y＝－g(x)，x∈R}≠?， 又f(x)＝3|x－a|＋|3x＋1| ≥|(3x－3a)－(3x＋1)|＝|3a＋1|， 當(dāng)且僅當(dāng)(3x－3a)(3x＋1)≤0時(shí)取等號(hào)． 由(1)可知，g(x)∈， 則－g(x)∈， 所以|3a＋1|≤，解得－≤a≤. 故a的取值范圍為. 5．(2018濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x＋4|，不等式f(x)>8－|2x－2|的解集為M. (1)求M； (2)設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)>f(2a)－f(－2b)． (1)解　將f(x)＝|x＋4|代入不等式， 整理得|x＋4|＋|2x－2|>8. ①當(dāng)x≤－4時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為－x－4－2x＋2>8， 解得x<－，所以x≤－4； ②當(dāng)－4<x<1時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為x＋4＋2－2x>8， 解得x<－2，所以－4<x<－2； ③當(dāng)x≥1時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為x＋4＋2x－2>8， 解得x>2，所以x>2. 綜上，M＝{x|x<－2或x>2}． (2)證明　因?yàn)閒(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|， 所以要證f(ab)>f(2a)－f(－2b)， 只需證|ab＋4|>|2a＋2b|， 即證(ab＋4)2>(2a＋2b)2， 即證a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2， 即證a2b2－4a2－4b2＋16>0， 即證(a2－4)(b2－4)>0， 因?yàn)閍，b∈M，所以a2>4，b2>4， 所以(a2－4)(b2－4)>0成立， 所以原不等式成立．