（全國通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 專題5 概率與統(tǒng)計學(xué)案 理.doc

回扣5　概率與統(tǒng)計 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法(也稱加法原理)． 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種方法(也稱乘法原理)． 3．排列 (1)排列的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． (2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示． (3)排列數(shù)公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，A＝n(n－1)(n－2)…21＝n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A＝，這里規(guī)定0！＝1. 4．組合 (1)組合的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． (2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示． (3)組合數(shù)的計算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1. (4)組合數(shù)的性質(zhì)：①C＝C；②C＝C＋C. 5．二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． 這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數(shù)C(k＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數(shù)．式中的Can－kbk叫做二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即展開式的第k＋1項：Tk＋1＝Can－kbk. 6．二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為n＋1. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n. (4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C. 7．二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C. (2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C，當(dāng)k<時，二項式系數(shù)是遞增的；當(dāng)k>時，二項式系數(shù)是遞減的． 當(dāng)n是偶數(shù)時，那么其展開式中間一項的二項式系數(shù)最大． 當(dāng)n是奇數(shù)時，那么其展開式中間兩項和的二項式系數(shù)相等且最大． (3)各二項式系數(shù)的和 (a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n， 即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 8．概率的計算公式 (1)古典概型的概率計算公式 P(A)＝； (2)互斥事件的概率計算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (3)對立事件的概率計算公式 P()＝1－P(A)； (4)幾何概型的概率計算公式 P(A)＝. (5)條件概率公式 P(B|A)＝. 9．抽樣方法 簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣． (1)從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，則每個個體被抽到的概率都為； (2)分層抽樣實際上就是按比例抽樣，即按各層個體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量． 10．統(tǒng)計中四個數(shù)據(jù)特征 (1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)． (2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)． (3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)， 即＝(x1＋x2＋…＋xn)． (4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 標(biāo)準(zhǔn)差： s＝. 11．離散型隨機變量 (1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì) ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. (2)期望公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. (3)期望的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np； ③若X服從兩點分布，則E(X)＝p. (4)方差公式 D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，標(biāo)準(zhǔn)差為. (5)方差的性質(zhì) ①D(aX＋b)＝a2D(X)； ②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)； ③若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)． (6)獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式 P(AB)＝P(A)P(B)． (7)獨立重復(fù)試驗的概率計算公式 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k. 12．線性回歸 線性回歸方程＝x＋一定過樣本點的中心(，)． 13．獨立性檢驗 利用隨機變量K2＝來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．如果K2的觀測值k越大，說明“兩個分類變量有關(guān)系”的可能性越大． 14．正態(tài)分布 如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)．滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 1．關(guān)于兩個計數(shù)原理應(yīng)用的注意事項 (1)分類加法和分步乘法計數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事． (2)混合問題一般是先分類再分步． (3)分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏． (4)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律． 2．對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． (3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 3．排列、組合問題的求解方法與技巧 (1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準(zhǔn)確分步．(3)排列、組合混合問題先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題排除法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價條件． 4．對于二項式定理應(yīng)用時要注意 (1)區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔細(xì)． 項的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正． (2)運用通項求展開的一些特殊項，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系． (3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，1. (4)在化簡求值時，注意二項式定理的逆用，要用整體思想看待a，b. 5．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和． 6．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件． 7．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯． 8．要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別 (1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時發(fā)生． (2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)． 9．易忘判定隨機變量是否服從二項分布，盲目使用二項分布的期望和方差公式計算致誤． 1．從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為(　　) A．224 B．112 C．56 D．28 答案　B 解析　根據(jù)分層抽樣，從8名女生中抽取2人，從4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法數(shù)為CC＝112. 2．采用系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號為1到50的50名學(xué)生中選取5名參加測試，則所選5名學(xué)生的學(xué)號可能是(　　) A．1,2,3,4,5 B．5,26,27,38,49 C．2,4,6,8,10 D．5,15,25,35,45 答案　D 解析　采用系統(tǒng)抽樣的方法時，即將總體分成均衡的若干部分，分段的間隔要求相等，間隔一般為總體的個數(shù)除以樣本容量，據(jù)此即可得到答案．采用系統(tǒng)抽樣間隔為＝10，只有D答案中的編號間隔為10.故選D. 3．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔(dān)任班主任(每班1位班主任)，要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有(　　) A．210種 B．420種 C．630種 D．840種 答案　B 解析　因為要求3位班主任中男、女教師都要有，所以共有兩種情況，1男2女或2男1女．若選出的3位教師是1男2女，則共有CCA＝180(種)不同的選派方法；若選出的3位教師是2男1女，則共有CCA＝240(種)不同的選派方法，所以共有180＋240＝420(種)不同的方案，故選B. 4．有5張卡片，上面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5.從這5張卡片中隨機抽取2張，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　方法一　從5張卡片中隨機抽2張的結(jié)果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的有7種，故所求概率P＝. 方法二　從5張卡片中抽取2張的結(jié)果有C＝10(種)，2張卡片上的數(shù)字之積為奇數(shù)的有C＝3(種)，故所求概率為P＝＝. 5．200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速的眾數(shù)，中位數(shù)的估計值為(　　) A．62,62.5 B．65,62 C．65,63.5 D．65,65 答案　D 解析　選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應(yīng)的橫坐標(biāo)即為中位數(shù)．最高的矩形為第三個矩形，所以時速的眾數(shù)為65；前兩個矩形的面積為(0.01＋0.02)10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，則10＝5，所以中位數(shù)為60＋5＝65.故選D. 6．道路交通法規(guī)定：行人和車輛路過十字路口時必須按照交通信號指示通行，綠燈行，紅燈停，遇到黃燈時，如已超過停車線須繼續(xù)行進(jìn)，某十字路口的交通信號燈設(shè)置時間是：綠燈48秒，紅燈47秒，黃燈5秒，小張是個特別守法的人，只有遇到綠燈才通過，則他路過該路口不等待的概率為(　　) A．0.95 B．0.05 C．0.47 D．0.48 答案　D 解析　由題意得小張路過該路口不等待的概率為＝0.48. 7．在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)開關(guān)a，b，c閉合的事件分別為A，B，C，則燈亮事件D＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互獨立，ABC，AB，AC互斥，所以P(D)＝P(ABC∪AB∪AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＝＋＋＝，故選B. 8．在二項式n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為(　　) A．32 B．－32 C．0 D．1 答案　C 解析　依題意得所有二項式系數(shù)的和為2n＝32，解得n＝5. 因此，令x＝1，則該二項展開式中的各項系數(shù)的和等于5＝0，故選C. 9．某天連續(xù)有7節(jié)課，其中語文、英語、物理、化學(xué)、生物5科各1節(jié)，數(shù)學(xué)2節(jié)．在排課時，要求生物課不排第1節(jié)，數(shù)學(xué)課要相鄰，英語課與數(shù)學(xué)課不相鄰，則不同排法的種數(shù)為(　　) A．408 B．480 C．552 D．816 答案　A 解析　數(shù)學(xué)在第(1,2)節(jié)，從除英語外的4門課中選1門安排在第3節(jié)，剩下的任意排，故有CA＝96(種)排法；數(shù)學(xué)在第(2,3)節(jié)，從除英語、生物外的3門課中選1門安排在第1節(jié)，從除英語外剩下的3門課中再選1門安排在第4節(jié)，剩下的任意排，故有CCA＝54(種)排法；數(shù)學(xué)在(3,4)，(4,5)，(5,6)情況一樣，當(dāng)英語在第1節(jié)時，其他任意排，故有A＝24(種)排法，當(dāng)英語不在第1節(jié)時，從除英語，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再從除英語外剩下的3門中選2門放在數(shù)學(xué)課前1節(jié)和后1節(jié)，剩下的任意排，有CAA＝36(種)排法，故共有3(24＋36)＝180(種)排法；數(shù)學(xué)在第(6,7)節(jié)時，當(dāng)英語在第一節(jié)時，其他任意排，故有A＝24(種)排法，當(dāng)英語不在第1節(jié)，從除英語，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再從除英語外的剩下的3門中選1門放在第5節(jié)，剩下的任意排，有CCA＝54(種)排法，故有24＋54＝78(種)排法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有96＋54＋180＋78＝408(種)排法．故選A. 10．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得線性回歸方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元的家庭的年支出為(　　) A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 答案　B 解析　由題意知，＝＝10， ＝＝8， ∴ ＝8－0.7610＝0.4， ∴線性回歸方程 ＝0.76x＋0.4， ∴當(dāng)x＝15時， ＝0.7615＋0.4＝11.8(萬元)． 11．已知等比數(shù)列{an}的第5項是二項式4展開式中的常數(shù)項，則a3a7＝________. 答案　36 解析　4的展開式的通項為Tk＋1＝Cx4－2k， 令4－2k＝0，得k＝2，∴常數(shù)項為C＝6，即a5＝6. ∵{an}為等比數(shù)列，∴a3a7＝a＝62＝36. 12．書架上原來并排放著5本不同的書，現(xiàn)要再插入3本不同的書，那么不同的插入方法共有________種． 答案　336 解析　由題意得3本不同的書，插入到原來的5本不同的書中，可分為三步，第一步：先插入第一本，插入到原來5本不同的書排成的一排所形成的6個間隔中，有A＝6(種)方法；第二步：再插入第二本，插入到原來6本不同的書排成的一排所形成的7個間隔中，有A＝7(種)方法；第三步：再插入第三本，插入到原來7本不同的書排成的一排所形成的8個間隔中，有A＝8(種)方法，共有678＝336(種)不同的插入方法． 13．(x2－x＋1)10的展開式中x3的系數(shù)為________． 答案?。?10 解析　(x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展開式的通項公式為Tk＋1＝C(x2－x)k，對于(x2－x)k通項公式為 Tm＋1＝Cx2k－2m(－x)m＝(－1)mCx2k－m， 令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N， 得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展開式中x3的系數(shù)為CC(－1)＋CC(－1)3＝－210. 14．某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動，凡在商場消費滿100元者即可參加射擊贏玩具活動，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止．設(shè)甲每次擊中的概率為p(p≠0)，射擊次數(shù)為η，若η的期望E(η)>，則p的取值范圍是________． 答案　 解析　由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p， P(η＝3)＝(1－p)2，則E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<， 又p∈(0,1)，所以p∈. 15．某工廠的污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水(A級水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡稱達(dá)標(biāo))的概率為p(0<p<1)．經(jīng)化驗檢測，若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放；若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放． 某廠現(xiàn)有4個標(biāo)準(zhǔn)水量的A級水池，分別取樣、檢測．多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗．混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo)，則混合樣本的化驗結(jié)果必不達(dá)標(biāo)．若混合樣本不達(dá)標(biāo)，則該組中各個樣本必須再逐個化驗；若混合樣本達(dá)標(biāo)，則原水池的污水直接排放． 現(xiàn)有以下四種方案： 方案一：逐個化驗； 方案二：平均分成兩組化驗； 方案三：三個樣本混在一起化驗，剩下的一個單獨化驗； 方案四：混在一起化驗． 化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”． (1)若p＝，求2個A級水樣本混合化驗結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率； (2)若p＝，現(xiàn)有4個A級水樣本需要化驗，請問：方案一，二，四中哪個最“優(yōu)”？ (3)若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”，求p的取值范圍． 解　(1)該混合樣本達(dá)標(biāo)的概率是2＝， 所以根據(jù)對立事件原理，不達(dá)標(biāo)的概率為1－＝. (2)方案一：逐個檢測，檢測次數(shù)為4. 方案二：由(1)知，每組兩個樣本檢測時，若達(dá)標(biāo)則檢測次數(shù)為1，概率為；若不達(dá)標(biāo)則檢測次數(shù)為3，概率為.故方案二的檢測次數(shù)記為ξ2，ξ2的可能取值為2,4,6. 其分布列如下， ξ2 2 4 6 P 2 C 2 可求得方案二的期望為E(ξ2)＝2＋4＋6＝， 方案四：混在一起檢測，記檢測次數(shù)為ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下， ξ4 1 5 P 4 1－4 可求得方案四的期望為E(ξ4)＝1＋5＝. 比較可得E(ξ4)<E(ξ2)<4，故選擇方案四最“優(yōu)”． (3)方案三：設(shè)化驗次數(shù)為η3，η3可取2,5. η3 2 5 P p3 1－p3 E(η3)＝2p3＋5(1－p3)＝5－3p3； 方案四：設(shè)化驗次數(shù)為η4，η4可取1,5. η4 1 5 P p4 1－p4 E(η4)＝1p4＋5(1－p4)＝5－4p4； 由題意得E(η3)<E(η4)?5－3p3<5－4p4?p<. 故當(dāng)0<p<時，方案三比方案四更“優(yōu)”． 16．(2017全國Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 總計 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 總計 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)． 附： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2＝. 解　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”． 由題意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)5＝0.62， 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)5＝0.66， 故P(C)的估計值為0.66. 因此事件A的概率估計值為0.620.66＝0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 總計 舊養(yǎng)殖法 62 38 100 新養(yǎng)殖法 34 66 100 總計 96 104 200 K2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004＋0.020＋0.044)5＝0.34<0.5， 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為50＋≈52.35(kg)．