（全國(guó)通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 專題3 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理.doc

回扣3　三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形 1．三種三角函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調(diào)性 在(k∈Z) 上單調(diào)遞增；在(k∈Z) 上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(k∈Z)上單調(diào)遞增 對(duì)稱性 對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對(duì)稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對(duì)稱中心：(k∈Z)； 對(duì)稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對(duì)稱中心：(k∈Z) 2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的圖象 (1)“五點(diǎn)法”作圖 設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相應(yīng)的x的值與y的值，描點(diǎn)、連線可得． (2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí)，一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口． (3)圖象變換 y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． 3．準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式 對(duì)于“α，k∈Z”的三角函數(shù)值與α角的三角函數(shù)值的關(guān)系口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限． 4．三角函數(shù)恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45等． (2)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦． (4)靈活運(yùn)用輔助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 5．正弦定理及其變形 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 6．余弦定理及其推論、變形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 7．面積公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 1．利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求值時(shí)，不要忽視角的范圍，要先判斷函數(shù)值的符號(hào)． 2．在求三角函數(shù)的值域(或最值)時(shí)，不要忽略x的取值范圍． 3．求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A與ω的符號(hào)，當(dāng)ω<0時(shí)，需把ω的符號(hào)化為正值后求解． 4．三角函數(shù)圖象變換中，注意由y＝sin ωx的圖象變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象時(shí)，平移量為，而不是φ. 5．在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角利用正弦定理求解時(shí)，要注意檢驗(yàn)解是否滿足“大邊對(duì)大角”，避免增解． 1．若sin θcos θ＝，則tan θ＋的值是(　　) A．－2 B．2 C．2 D. 答案　B 解析　tan θ＋＝＋＝＝2. 2．下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 答案　A 解析　化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，A中，y＝cos 2x是最小正周期為π的偶函數(shù)． 3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝2，c＝，cos A＝－，則b的值為(　　) A．1 B. C. D. 答案　A 解析　根據(jù)余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，則22＝b2＋()2－2b，所以b2＋b－2＝0， 解得b＝1，或b＝－2(舍去)，故選A. 4．要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 答案　B 解析　∵y＝sin＝sin， ∴要得到y(tǒng)＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度． 5．若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ) ＝2sin， 則由題意知，f＝2sin＝0，又因?yàn)?<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x. 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上是減函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)在上的最小值為 f＝－2sin ＝－，故選B. 6．(2016全國(guó)Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　設(shè)BC邊上的高AD交BC于點(diǎn)D， 由題意B＝，AD＝BD＝BC，DC＝BC， tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3， 所以cos A＝－，故選C. 7．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　∵sin 2α＝，α∈， ∴2α∈，即α∈，cos 2α＝－， 又sin(β－α)＝，β∈， ∴β－α∈，cos(β－α)＝－， ∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝－＝， 又α＋β∈， ∴α＋β＝，故選A. 8．設(shè)函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是T，將其圖象向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　A 解析　方法一　由已知圖象知，y＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是2＝，所以＝，解得ω＝，所以y＝sin x.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． 方法二　因?yàn)門＝，所以將y＝sin ωx(ω>0)的圖象向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)度后， 所對(duì)應(yīng)的解析式為y＝sin ω. 由圖象知，ω＝，所以ω＝， 所以y＝sinx.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． 9．已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，則φ的值可以是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　已知f＝sin x＋cos x＝2sin， y＝f＝2sin關(guān)于直線x＝0對(duì)稱， 所以f(0)＝2sin＝2， 所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z， 當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝，故選B. 10．已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其圖象與直線y＝1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若f(x)>0對(duì)x∈恒成立，則φ的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得函數(shù)f(x)的最小正周期為，則ω＝， 當(dāng)x∈時(shí)，x＋φ∈， 因?yàn)閒(x)>0，即cos>， 所以(k∈Z)， 解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以－<φ≤－，故選B. 11．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0，0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則f的值為_(kāi)_______． 答案　1 解析　根據(jù)圖象可知，A＝2，＝－， 所以周期T＝π，ω＝＝2.又函數(shù)過(guò)點(diǎn)， 所以sin＝1，又0<φ<π， 所以φ＝，則f(x)＝2sin， 因此f＝2sin＝1. 12．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是________． 答案　 解析　由兩個(gè)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱中心完全相同可知，兩函數(shù)的周期相同，故ω＝2， 所以f(x)＝3sin， 那么當(dāng)x∈時(shí)，－≤2x－≤， 所以－≤sin≤1，故f(x)∈. 13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，角B為銳角，且sin2B＝8sin Asin C，則的取值范圍為_(kāi)___________． 答案　 解析　因?yàn)閟in2B＝8sin Asin C，由正弦定理可知， b2＝8ac，所以cos B＝ ＝＝ ＝－5∈(0,1)， 令t＝，t>0，則0<－5<1， 解得<t2<，即t∈. 14.如圖，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　3 解析　因?yàn)閏os∠BAD＝－， 故sin∠BAD＝ ＝， 在△ADC中運(yùn)用余弦定理，可得 cos∠CAD＝＝， 則sin∠CAD＝ ＝， 所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝＋＝＝， 在△ABC中運(yùn)用正弦定理，可得 ＝?BC＝＝3. 15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大?。? (2)若a＝2，b＝，求△ABC的面積． 解　(1)由已知得 －cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0， 即sin Asin B－sin Acos B＝0，因?yàn)閟in A≠0， 所以sin B－cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝， 又0<B<π，所以B＝. (2)因?yàn)閟in B＝，cos B＝，b＝， 所以＝＝＝， 又a＝2， 所以sin A＝＝， 因?yàn)閍<b，所以cos A＝. 因?yàn)锳＋B＋C＝π， 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝， 所以S△ABC＝absin C＝. 16．已知函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋sin2x＋(x∈R)． (1)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值和最大值； (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c＝，f(C)＝2，若向量m＝(1，a)與向量n＝(2，b)共線，求a，b的值． 解　(1)∵函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋sin2x＋(x∈R)， ∴f(x)＝sin 2x＋＋ ＝sin 2x－cos 2x＋1 ＝sin＋1. ∵－≤x≤，∴－≤2x－≤， ∴－≤sin≤1， ∴1－≤sin＋1≤2， ∴f(x)的最小值是1－，最大值是2. (2)∵f(C)＝sin＋1＝2， ∴sin＝1， ∵0<C<π，∴－<2C－<， ∴2C－＝，解得C＝. ∵向量m＝(1，a)與向量n＝(2，b)共線， ∴b－2a＝0，即b＝2a.① 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos ， 即a2＋b2－ab＝3.② 由①②得a＝1，b＝2.