高三數學復習 第11篇 第4節(jié) 證明方法

高考數學精品復習資料 2019.5 第十一篇　第4節(jié) 一、選擇題 1．(20xx濰坊模擬)用反證法證明某命題時，對結論“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設是(　　) A．自然數a，b，c中至少有兩個偶數 B．自然數a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數 C．自然數a，b，c都是奇數 D．自然數a，b，c都是偶數 解析：“恰有一個”反面應是至少有兩個或都是奇數．故選B. 答案：B 2．設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)單調遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負值　　　　　　 B．恒等于零 C．恒為正值 D．無法確定正負 解析：由f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)單調遞減，可知f(x)是R上的單調遞減函數，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)， 則f(x1)＋f(x2)<0，故選A. 答案：A 3．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：<a”索的因應是(　　) A．a－b>0 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 解析：<a?b2－ac<3a2 ?(a＋c)2－ac<3a2 ?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0 ?－2a2＋ac＋c2<0 ?2a2－ac－c2>0 ?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.故選C. 答案：C 4．(20xx汕頭一中月考)用數學歸納法證明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝(n∈N*)，則從n＝k到n＝k＋1時左邊應添加的項為(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 解析：∵當n＝k時，等式左邊＝1＋2＋3＋…＋k2， 當n＝k＋1時，等式左邊＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， ∴比較上述兩個式子，當n＝k＋1時，等式左邊是在假設n＝k時等式成立的基礎上，等式的左邊加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 故選D. 答案：D 5．(20xx遼寧大連模擬)設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a，b∈S，對于有序元素對(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應)，若對任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(　　) A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b 解析：由已知條件可得對任意a，b∈S，a*(b*a)＝b， 則b*(b*b)＝b，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a＝b，即選項B，C，D中的等式均恒成立，僅選項A中的等式不恒成立．故選A. 答案：A 6．對于不等式<n＋1(n∈N*)，某同學用數學歸納法的證明過程如下： (1)當n＝1時，<1＋1，不等式成立． (2)假設當n＝k(k∈N*且k≥1)時，不等式成立， 即<k＋1，則當n＝k＋1時，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以當n＝k＋1時，不等式成立， 則上述證法(　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗得不正確 C．歸納假設不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 解析：在n＝k＋1時，沒有應用n＝k時的假設，故推理錯誤．故選D. 答案：D 二、填空題 7．設a>b>0，m＝－，n＝，則m，n的大小關系是________． 解析：法一　取a＝2，b＝1，得m<n. 法二　分析法：－<?＋>?a<b＋2＋a－b?2>0，顯然成立． 答案：m<n 8．已知點An(n，an)為函數y＝圖象上的點，Bn(n，bn)為函數y＝x圖象上的點，其中n∈N*，設cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關系為________． 解析：由條件得cn＝an－bn＝－n＝， ∴cn隨n的增大而減小． ∴cn＋1<cn. 答案：cn＋1<cn 9．用反證法證明：若整系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數根，那么a、b、c中至少有一個是偶數．用反證法證明時，假設的內容是________． 解析：“至少有一個”的否定為“都不是”． 答案：假設a，b，c都不是偶數 10．用數學歸納法證明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步證明由“k到k＋1”時，左邊應加________． 解析：當n＝k時，左邊＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12； 當n＝k＋1時，左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12. 答案：(k＋1)2＋k2 三、解答題 11．已知a>0，求證：－≥a＋－2. 證明：要證－≥a＋－2. 只要證＋2≥a＋＋. ∵a>0，故只要證2≥2， 即a2＋＋4＋4≥ a2＋2＋＋2＋2， 從而只要證2≥， 只要證4≥2，即a2＋≥2， 而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 12．(20xx湖南常德模擬)設a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數列{an}的通項公式； (2)用數學歸納法證明你的結論． (1)解：∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝； a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝. 猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：①易知，n＝1時，猜想正確． ②假設n＝k時猜想正確， 即ak＝， 則ak＋1＝f(ak)＝＝ ＝＝. 這說明，n＝k＋1時猜想正確． 由①②知，對于任何n∈N*，都有an＝.