高中數(shù)學（北師大版）選修2-2教案：第4章 拓展資料：例談計算定積分的三種方法

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1、 例談計算定積分的三種方法 定積分是新課標的新增內(nèi)容，它不僅為傳統(tǒng)的高中數(shù)學注入了新鮮血液，還給學生提供了數(shù)學建模的新思路、“用數(shù)學”的新意識，它必將成為今后高考的新熱點，本文通過三個例題談?wù)劧ǚe分計算的三種方法。 一、用定積分的定義計算定積分 例1. 求定積分的值. 解析：（1）分割：把區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間[]（i=1，2，…，n）.其長度為△x=，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，其面積記為△Si（i=1，2，…，n）. （2）近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積， △Si=f（）△x=3，（i=1，2，…，n）. （3）求和：. （4）取極限：S=.

2、 ∴. 點評：本題如果用微積分基本定理或定積分的幾何意義來求，更為簡單，在此僅僅為了說明用定積分的定義可以計算定積分.通常在用微積分基本定理或定積分的幾何意義計算定積分比較困難時，再用定積分的定義計算定積分。 二、用微積分基本定理計算定積分 例2. 求定積分的值. 解析：=. 點評：本題由想到被積函數(shù)的原函數(shù)可能是自然對數(shù)的形式，只是需要把拆成與的差.運用微積分基本定理計算定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)。 三、用定積分的幾何意義計算定積分 - 1 - / 2 例3. 求定積分的值. O y x 1 解析：表示圓(x-1)2+y2=1（y≥0） 的一部分與直線y=x所圍成的圖形（如圖所示）的面積， 因此=. 點評：本題如果用定積分的定義或微積分基本定理求解都比較麻煩，由聯(lián)想到圓(x-1)2+y2=1（y≥0）的一部分與直線y=x，再聯(lián)想到定積分的幾何意義，從而簡化了運算.這也是數(shù)學結(jié)合思想的又一體現(xiàn)。運用定積分的幾何意義計算定積分，需要具備較強的觀察能力、分析能力和邏輯推理能力。 定積分的計算，在實際解題中，應(yīng)因題而異，擇優(yōu)用之，靈活解題，才能快速而準確地解決問題。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！