高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第4章 拓展資料：例談?dòng)?jì)算定積分的三種方法

例談?dòng)?jì)算定積分的三種方法 定積分是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，它不僅為傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)注入了新鮮血液，還給學(xué)生提供了數(shù)學(xué)建模的新思路、“用數(shù)學(xué)”的新意識(shí)，它必將成為今后高考的新熱點(diǎn)，本文通過(guò)三個(gè)例題談?wù)劧ǚe分計(jì)算的三種方法。 一、用定積分的定義計(jì)算定積分 例1. 求定積分的值. 解析：（1）分割：把區(qū)間[0，1]等分成n個(gè)小區(qū)間[]（i=1，2，…，n）.其長(zhǎng)度為△x=，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，其面積記為△Si（i=1，2，…，n）. （2）近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積， △Si=f（）△x=3，（i=1，2，…，n）. （3）求和：. （4）取極限：S=. ∴. 點(diǎn)評(píng)：本題如果用微積分基本定理或定積分的幾何意義來(lái)求，更為簡(jiǎn)單，在此僅僅為了說(shuō)明用定積分的定義可以計(jì)算定積分.通常在用微積分基本定理或定積分的幾何意義計(jì)算定積分比較困難時(shí)，再用定積分的定義計(jì)算定積分。 二、用微積分基本定理計(jì)算定積分 例2. 求定積分的值. 解析：=. 點(diǎn)評(píng)：本題由想到被積函數(shù)的原函數(shù)可能是自然對(duì)數(shù)的形式，只是需要把拆成與的差.運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)。 三、用定積分的幾何意義計(jì)算定積分 - 1 - / 2 例3. 求定積分的值. O y x 1 解析：表示圓(x-1)2+y2=1（y≥0） 的一部分與直線(xiàn)y=x所圍成的圖形（如圖所示）的面積， 因此=. 點(diǎn)評(píng)：本題如果用定積分的定義或微積分基本定理求解都比較麻煩，由聯(lián)想到圓(x-1)2+y2=1（y≥0）的一部分與直線(xiàn)y=x，再聯(lián)想到定積分的幾何意義，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算.這也是數(shù)學(xué)結(jié)合思想的又一體現(xiàn)。運(yùn)用定積分的幾何意義計(jì)算定積分，需要具備較強(qiáng)的觀(guān)察能力、分析能力和邏輯推理能力。 定積分的計(jì)算，在實(shí)際解題中，應(yīng)因題而異，擇優(yōu)用之，靈活解題，才能快速而準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！