高二數(shù)學(xué)同步測試（1）— 平面的基本性質(zhì)兩直線的位置關(guān)系

高中學(xué)生學(xué)科素質(zhì)訓(xùn)練 高二數(shù)學(xué)同步測試（1）— 平面的基本性質(zhì)，兩直線的位置關(guān)系 YCY 本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.共150分. 第Ⅰ卷（選擇題，共50分） 一、選擇題（本題每小題5分，共50分） 1．若直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則 （ ） A．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) B．直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) C．直線上所有點(diǎn)都在平面外 D．直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) 2．在空間中，下列命題正確的是 （ ） A．對(duì)邊相等的四邊形一定是平面圖形 B．四邊相等的四邊形一定是平面圖形 C．有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平面圖形 D．有一組對(duì)角相等的四邊形是平面圖形 3．在空間四點(diǎn)中，無三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的 （ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 4．用一個(gè)平面去截正方體，則截面形狀不可能是 （ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形 5．如圖:正四面體S－ABC中，如果E，F(xiàn)分別是SC，AB的中點(diǎn)， 那么異面直線EF與SA所成的角等于 （ ） A．90 B．45 C．60 D．30 6．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，那么它與另一條直線的位置關(guān)系是（ ） A．相交 B．異面 C．平行 D．相交或異面 7．異面直線a、b成60，直線c⊥a，則直線b與c所成的角的范圍為 （ ） A．[30，90] B．[60，90] C．[30，60] D．[60，120] N D C M E A B F 8．右圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中， ① BM與ED平行； ② CN與BE是異面直線； ③ CN與BM成角； ④ DM與BN垂直． 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（ ） A．①②③ B．②④ C.③④ D．②③④ 9．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位 置關(guān)系只能是 （ ） A．平行 B．平行或異面 C．平行或相交 D．異面或相交 10．在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，且AE ：EB＝AF ：FD ＝1 ：4，又H、G分別為BC、CD的中點(diǎn)，則 （ ） A．BD//平面EFGH且EFGH是矩形 B．EF//平面BCD且EFGH是梯形 C．HG//平面ABD且EFGH是菱形 D．HE//平面ADC且EFGH是平行四邊形 第Ⅱ卷（非選擇題，共100分） 二．填空題（本題每小題6分，共24分） 11．若直線a, b與直線c相交成等角，則a, b的位置關(guān)系是 ． 12．在四面體ABCD中，若AC與BD成60角，且AC＝BD＝a，則連接AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)的四邊形面積為 ． 13．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，則異面直線AB1與 A1D所成的角的余弦值為 ． 14．把邊長為a的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起， 使A、C的距離等于a，如圖所示，則異面直線AC 和BD的距離為 ． 三、解答題（共76分） 15．（12分）已知△ABC三邊所在直線分別與平面α交于P、Q、R三點(diǎn)，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線 . 16．（12分）在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊上的點(diǎn)，且滿足 =k.求證：M、N、P、Q共面. 17．（12分）已知：平面 求證：b、c是異面直線 18．（12分）如圖，已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)， 并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF=，求AB和CD所成角的大小. 19．（14分）四面體A-BCD的棱長均為a，E、F分別為楞AD、BC的 中點(diǎn)，求異面直線AF與CE所成的角的余弦值． 20．（14分）在棱長為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的 中點(diǎn). （1）求證：四邊形B′EDF是菱形； （2）求直線A′C與DE所成的角； 參考答案（一） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分） 題 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 D C D C B D A C B B 二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 11．平行、相交或異面 12． 13． 14． 三、解答題（本大題共6題，共76分） 15．(12分) 證明：∵A、B、C是不在同一直線上的三點(diǎn) ∴由A、B、C確定一個(gè)平面, 又 16．(12分) 證明：∵AM∶MB=CN∶NB ∴MN∥AC ∵DQ∶QA=DP∶PC ∴PQ∥AC∴MN∥PQ ∴M、N、P、Q共面. 17．(12分) 反證法：若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交 18．(12分) 解：連結(jié)BD，在BD上取點(diǎn)G，使BG∶GD=1∶2， 連結(jié)EG、FG，在△BCD中，∵ ∴EG∥CD 同理FG∥AB ∴EG和FG所成的銳角（或直角）就是異面直線AB和CD 所成的角. 在△BCD中， ∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2 ∴EG=1 在△ABD中， ∴FG∥AB，AB=3，F(xiàn)G∶AB=2∶3 ∴FG=2 在△EFG中，EG=1，F(xiàn)G=2，EF=，由余弦定理，得 ∴∠EGF=120,EG和FG所成的銳角為60.∴AB與CD所成的角為60. 19．（14分） 解： 連接FD，在面AFD內(nèi)過E作EO∥AF交FD于O，則∠OEC為異面直線AF與CE的所成角. 且O為DF的中點(diǎn)。又∵E為AD的中點(diǎn)，∴EO=. ∵⊿ABC和⊿ACD均為等邊三角形，且邊長為 AF、CE分別是它們的中位線， O ∴，在Rt⊿DFC中， . 在⊿OEC中， . 即異面直線AF與CE所成的角的余弦值為. 20．(14分) （1）證明：由題目中圖所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a, 下證B′、E、D、F四點(diǎn)共面，取AD中點(diǎn)G，連結(jié)A′G、EG，由EGABA′B′知， B′EGA′是平行四邊形. ∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF為平行四邊形. ∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四點(diǎn)共面 故四邊形B′EDF是菱形. （2）解：如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP∥DE，交直線AD于P， 則∠A′CP(或補(bǔ)角)為異面直線A′C與DE所成的角. 在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a，A′P=a 由余弦定理得cos∠A′CP=，故A′C與DE所成角為arccos.