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高考數(shù)學(xué) 25個(gè)必考點(diǎn) 專題21 拋物線檢測(cè)

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高考數(shù)學(xué) 25個(gè)必考點(diǎn) 專題21 拋物線檢測(cè)

專題21 拋物線 一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題 1.(2018全國(guó)卷III)已知點(diǎn)和拋物線,過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于,兩 點(diǎn).若,則________. 【答案】 【解析】依題意得,拋物線的焦點(diǎn)為,故可設(shè)直線, 聯(lián)立消去得,設(shè),, 則,,∴,.又,, ∴ ,∴. 2.(2017昆明調(diào)研)已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),如果=-12,那么拋物線C的方程為( ) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 【答案】 C 3.已知拋物線y2=2px(p>0),過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 【答案】 B 【解析】 ∵y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0), ∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-, 即x=y(tǒng)+,將其代入y2=2px,得y2=2py+p2, 即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=2p,∴=p=2, ∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1. 4.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則的值一定等于( ) A.-4 B.4 C.p2 D.-p2 【答案】 A 5.如圖,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為( ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=x 【答案】 C 【解析】 如圖,分別過(guò)A、B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1, 6.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x,y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)A(-1,0),則的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,如圖, 過(guò)P作PN垂直直線x=-1于N, 由拋物線的定義可知|PF|=|PN|,連接PA, 在Rt△PAN中,sin∠PAN=, 當(dāng)=最小時(shí),sin∠PAN最小,即∠PAN最小,即∠PAF最大, 此時(shí),PA為拋物線的切線,設(shè)PA的方程為y=k(x+1), 聯(lián)立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=1,所以∠PAF=∠NPA=45, ==cos∠NPA=,故選B. 7.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________. 【答案】 12 8.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,過(guò)M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A,與C的一個(gè)交點(diǎn)為B,若=,則p=________. 【答案】 2 【解析】 如圖, 由AB的斜率為, 知∠α=60,又=,∴M為AB的中點(diǎn). 過(guò)點(diǎn)B作BP垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)P, 則∠ABP=60,∴∠BAP=30, ∴|BP|=|AB|=|BM|. ∴M為焦點(diǎn),即=1,∴p=2. 9.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=________. 【答案】 6 【解析】 拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2. 設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),由題意,c=2,=, 可得a=4,b2=16-4=12. 故橢圓方程為+=1. 把x=-2代入橢圓方程,解得y=3.從而|AB|=6. 10.(2016沈陽(yáng)模擬)已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9. (1)求該拋物線的方程為y2=8x; (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若=+λ,求λ的值. 【答案】(1)該拋物線的方程;(2) λ=0或λ=2. 二、能力提高題 1.(2016上饒四校聯(lián)考)設(shè)拋物線C:y2=3px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),則拋物線C的方程為( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 【答案】 C 2.設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是________________. 【答案】 (2,4) 【解析】 如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 則兩式相減得,(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). 當(dāng)l的斜率k不存在時(shí),符合條件的直線l必有兩條. 3.設(shè)P,Q是拋物線y2=2px(p>0)上相異兩點(diǎn),P,Q到y(tǒng)軸的距離的積為4,且=0. (1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為R,與x軸的交點(diǎn)為T(mén),且Q為線段RT的中點(diǎn),試求弦PR長(zhǎng)度的最小值. 【答案】(1)該拋物線的方程為y2=2x;(2) |PR|最小值為4. 【解析】(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), ∵=0,則x1x2+y1y2=0. 又點(diǎn)P,Q在拋物線上,∴y=2px1,y=2px2, 代入得12+y1y2=0, y1y2=-4p2,∴|x1x2|==4p2. 又|x1x2|=4,∴4p2=4,p=1,∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2x. (2)設(shè)直線PQ過(guò)點(diǎn)E(a,0)且方程為x=my+a, 聯(lián)立方程組消去x得y2-2my-2a=0,∴① 設(shè)直線PR與x軸交于點(diǎn)M(b,0),則可設(shè)直線PR的方程為x=ny+b,并設(shè)R(x3,y3),同理可知, ② 由①②可得=. 由題意得,Q為線段RT的中點(diǎn),∴y3=2y2,∴b=2a. 又由(1)知,y1y2=-4,代入①, 可得-2a=-4,∴a=2,∴b=4,y1y3=-8, ∴|PR|=|y1-y3|==2≥4. 當(dāng)n=0,即直線PR垂直于x軸時(shí),|PR|取最小值4. 4.如圖,由部分拋物線:y2=mx+1(m>0,x≥0)和半圓x2+y2=r2(x≤0)所組成的曲線稱為“黃金拋物線C”,若“黃金拋物線C”經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)和(-,). (1)求“黃金拋物線C”的方程; (2)設(shè)P(0,1)和Q(0,-1),過(guò)點(diǎn)P作直線l與“黃金拋物線C”相交于A,P,B三點(diǎn),問(wèn)是否存在這樣的直線l,使得QP平分∠AQB?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由. 【答案】(1) 黃金拋物線C的方程為y2=x+1(x≥0)和x2+y2=1(x≤0);(2) 存在直線l:y=(-1)x+1,使得QP平分∠AQB. (2)假設(shè)存在這樣的直線l,使得QP平分∠AQB,顯然直線l的斜率存在且不為0, 設(shè)直線l:y=kx+1,聯(lián)立消去y, 得k2x2+(2k-1)x=0,∴xB=,yB=,即B(,),∴kBQ=, 聯(lián)立消去y,得(k2+1)x2+2kx=0, ∴xA=-,yA=,即A(-,),∴kAQ=-, ∵QP平分∠AQB,∴kAQ+kBQ=0, ∴-=0,解得k=-1, 由圖形可得k=-1-應(yīng)舍去,∴k=-1, ∴存在直線l:y=(-1)x+1,使得QP平分∠AQB. 5. (2018高考北京卷19)已知拋物線C:=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2).過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N. (Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍; (Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),,,求證:為定值. (Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 由(I)知,. 直線PA的方程為y–2=. 令x=0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為. 同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為. 由,得,. 所以. 所以為定值. 6.(2018高考浙江卷21)如圖,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上. (Ⅰ)設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸; (Ⅱ)若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動(dòng)點(diǎn),求△PAB面積的取值范圍. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 所以,. 因此,的面積. 因?yàn)椋裕? 因此,面積的取值范圍是. 點(diǎn)評(píng).本題主要考查橢圓、拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力。 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式,改變粗放式增長(zhǎng)模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化,推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。

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