蘇教版高中數(shù)學(xué)選修22第2章 復(fù)習(xí)與小結(jié)教案

精品資料 教學(xué)目標(biāo)： 1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理． 3．了解直接證明的基本方法：分析法、綜合法和數(shù)學(xué)歸納法；了解分析法、綜合法和數(shù)學(xué)歸納法的思考過程、特點(diǎn)． 4．了解本章知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步感受和體會(huì)常用的思維模式和證明方法，形成對(duì)數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識(shí)． 教學(xué)重點(diǎn)： 了解本章知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步感受和體會(huì)常用的思維模式和證明方法，形成對(duì)數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識(shí)． 教學(xué)難點(diǎn)： 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，靈活選擇并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題． 教學(xué)過程： 一、 知識(shí)回顧 本章知識(shí)結(jié)構(gòu)： 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)： （1）合情推理包括 推理、 推理． （2） 稱為歸納推理；它是一種由 到 ，由 到 的推理． （3） 稱為類比推理；它是一種由 到 的推理． （4）歸納推理的一般步驟是：① ，② ． （5）類比推理的一般步驟是：① ，② ． （6）從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們稱這種推理為 ，它是一種 到 的推理． （7） 和 是直接證明的兩種基本方法． （8）反證法證明問題的一般步驟：① ，② ， ③ ；④ ． （9）數(shù)學(xué)歸納法的基本思想 ； 數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟：① ，② ， ③ ． 二、數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1?。?）考察下列一組不等式：23＋53＞225＋252，24＋54＞235＋253，25＋55＞2352＋2253，…．將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是 ． （2）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為 ． （3）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，對(duì)于bn＝(a1＋a2 ＋…＋an)，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于dn＞0，則dn＝ 時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列． 解?。?）； （2）體積比為1∶8； （3）． 說明?。?）是從個(gè)別情況到一般情況的合情推理； （2）是從平面到空間的類比推理； （3）是從等差數(shù)列到等比數(shù)列的類比推理． 例2　若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，分別用綜合法和分析法證明：． 證明?。ǚ治龇ǎ┮C， 只需證， 即證， ∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，∴C＝60， 由余弦定理得，即， 故原命題成立． （綜合法）∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，∴C＝60， 由余弦定理得，即， 或， 兩邊同除以得． 說明　分析法和綜合法是兩種常用的直接證明方法．分析法的特點(diǎn)是執(zhí)果索因，綜合法的特點(diǎn)是由因?qū)Ч?，分析法常用來探尋解題思路，綜合法常用來書寫解題過程． 例3　已知a，b，c∈(0，1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時(shí)大于． 分析　“不能同時(shí)大于”包含多種情形，不易直接證明，可考慮反證法． 證明：假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同時(shí)大于， 即 (1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞， ∵a，b，c∈(0，1)， ∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞， 又， 同理，， ∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，這與假設(shè)矛盾，故原命題得證． 說明　反證法屬于“間接證明法”，是從反面的角度思考問題的證明方法．用反證法證明命題“若p則q”時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)以下三種情況： （1）導(dǎo)出非p為真，即與原命題的條件矛盾； （2）導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)“非q為真”矛盾； （3）導(dǎo)出一個(gè)恒假命題． 使用反證法證明問題時(shí)，準(zhǔn)確地作出反設(shè)（即否定結(jié)論），是正確運(yùn)用反證法的前提．當(dāng)遇到否定性、惟一性、無限性、至多、至少等類型問題時(shí)，常用反證法． 例4　已知數(shù)列{an}，an ≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝ an 2(n∈N*) 記Sn＝a1＋a2＋…＋an．Tn ． 求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，（1）an＜an＋1 ；（2）Sn＞n－2 ；（3）Tn＜3． 解?。?）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明． ① n＝1時(shí)，因?yàn)閍2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1＜a2． ② 設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，ak＜ak＋1， 因?yàn)閍k＋12－ak2＝(ak＋22＋ak＋2－1)－(ak＋12＋ak＋1－1) ＝(ak＋1－ak＋1) (ak＋1＋ak＋1＋1)， 所以ak＋1＜ak＋2． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，an＜an＋1也成立． 根據(jù)①和②，可知an＜an＋1對(duì)任何n∈N*都成立． （2）證明：由ak＋12＋ak＋1－1＝ak2，k＝1，2，…，n－1（n≥2）， 得an2＋(a2＋a3＋…＋an)－(n－1)＝a12． 因?yàn)閍1＝0，所以Sn＝n－1－an2． 由an＜an＋1及an＋1＝1＋an2－2an＋12＜1，得an＜1， 所以Sn＞n－2． （3）證明：由ak＋12＋ak＋1＝1＋ak2≥2 ak，得 ( k＝2，3，…，n－1，n≥3) 所以( a≥3)， 于是＝＜( n≥3)， 故當(dāng)n≥3時(shí)，， 又因?yàn)門1＜T2＜T3， 所以Tn＜3． 三、學(xué)生總結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、收獲三個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)，明確推理、歸納推理的概念及彼此間的關(guān)系．認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力． 四、課后作業(yè) 教材第102—103頁復(fù)習(xí)題第3題，第4題，第5題，第9題，第12題，第13題．