精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第4章 拓展資料：走出定積分運(yùn)用的誤區(qū)

精編北師大版數(shù)學(xué)資料 走出定積分運(yùn)用的誤區(qū) 通過(guò)定積分與微積分基本定理部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)．同時(shí)體會(huì)微積分的產(chǎn)生對(duì)人類文化發(fā)展的意義和價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神．在實(shí)際解題中，由于這部分知識(shí)的特殊性，經(jīng)常會(huì)由于種種原因出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，下面結(jié)合實(shí)際加以剖析． 1．公式應(yīng)用出錯(cuò) 微積分基本定理為：一般地，如果是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且=，那么=． 例1．計(jì)算． 錯(cuò)解：== =++=+－=－． 錯(cuò)解剖析：錯(cuò)誤的原因在于對(duì)微積分基本定理記憶不準(zhǔn)，定理的條件與對(duì)應(yīng)的公式不清而導(dǎo)致錯(cuò)誤．根據(jù)微積分基本定理，相應(yīng)的公式是==，而不是=． 正解：== =++=+－=． 評(píng)注：利用微積分基本定理來(lái)計(jì)算時(shí)通常是把求原函數(shù)與計(jì)算原函數(shù)值的差用一串等式表示出來(lái)．注意，把積分上、下限代入原函數(shù)求差時(shí)，要按步驟進(jìn)行，以免發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤． 2．幾何意義出錯(cuò) 我們知道，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上恒為正時(shí)，定積分的幾何意義是以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積．在一般情況下，定積分的幾何意義是介于x軸，函數(shù)的圖象以及直線x=a，x=b之間各部分面積的代數(shù)和． 例2．如圖，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上，則陰影部分的面積S為（ ） A． B．－ C．―― D．―+ 錯(cuò)解：選擇答案：A或B或C． 錯(cuò)解剖析：錯(cuò)誤的原因在于對(duì)微積分的幾何意義不理解或理解得不夠透徹而導(dǎo)致出錯(cuò)．根據(jù)微積分的幾何意義，若，則在[a，b]上的陰影面積S=；若，則在[a，b]上的陰影面積S=－． 正解：如圖所示，在[a，c]上，；在[c，b]上，； 所以函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的陰影部分的面積S=―+， 故選擇答案：D． 評(píng)注：在實(shí)際求解曲邊梯形的面積時(shí)要注意在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào)．各部分面積的代數(shù)和即為：x軸上方的面積減去x軸下方的面積． 3．實(shí)際應(yīng)用出錯(cuò) 利用定積分可以用來(lái)解決平面幾何中的面積問(wèn)題．其實(shí)，除幾何方面外，定積分在工程物理等方面的應(yīng)用也極其廣泛，可以用來(lái)處理變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和速度問(wèn)題，也可以用來(lái)解決變力的作功問(wèn)題等． 例3．模擬火箭自靜止開(kāi)始豎直向上發(fā)射，設(shè)起動(dòng)時(shí)即有最大加速度，以此時(shí)為起點(diǎn)，加速度滿足，求火箭前內(nèi)的位移． 錯(cuò)解：由題設(shè)知， ====， 即火箭前內(nèi)的位移為． 錯(cuò)解剖析：錯(cuò)誤的原因在于對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的相關(guān)問(wèn)題理解不夠透徹，關(guān)系混淆．一般地，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題的一般解法：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v=v（t）（v（t）0）在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即s=．而一般地，變速直線運(yùn)動(dòng)的速度問(wèn)題的一般解法：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所具有的速度v，等于其加速度函數(shù)a=a（t）在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分，即v=． 正解：由題設(shè)知，，，， 所以=， 那么===， 即火箭前內(nèi)的位移為． 評(píng)注：先通過(guò)定積分求解變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所具有的速度函數(shù)v（t），再根據(jù)已求的速度函數(shù)，通過(guò)定積分求解在對(duì)應(yīng)時(shí)間的位移．