高中數(shù)學(xué)北師大版選修44同步配套教學(xué)案：第二章 章末復(fù)習(xí)課

2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 章末復(fù)習(xí)課 [對應(yīng)學(xué)生用書P37] [對應(yīng)學(xué)生用書P38] 將參數(shù)方程化為普通方程 將參數(shù)方程化為普通方程的考查有三個熱點考向，其一給出參數(shù)方程，直接化為普通方程；其二給出參數(shù)方程研究其形狀、幾何性質(zhì)，則需化為普通方程定形狀，研究其幾何性質(zhì)，其三，在用參數(shù)法求出曲線的參數(shù)方程后，通常利用消參法得出普通方程．一般地，消參數(shù)經(jīng)常采用的是代入法和三角公式法．但將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，不只是把其中的參數(shù)消去，還要注意x，y的取值范圍在消參前后應(yīng)該是一致的，也就是說，要使得參數(shù)方程與普通方程等價，即它們二者要表示同一曲線． [例1]　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(θ為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為________． [解析]　由得y＝，又由 得x2＋y2＝2. 由得 即曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為(1,1)． [答案]　(1,1) [例2]　已知曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，t>0)，求曲線C的普通方程． [解]　因為x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0. [例3]　已知參數(shù)方程(t≠0)． (1)若t為常數(shù)，θ為參數(shù)，方程所表示的曲線是什么？ (2)若θ為常數(shù)，t為參數(shù)，方程所表示的曲線是什么？ [解]　(1)當(dāng)t≠1時，由①得sin θ＝， 由②得cos θ＝. ∴＋＝1. 它表示中心在原點，長軸長為2|t＋|， 短軸長為2，焦點在x軸上的橢圓． 當(dāng)t＝1時，y＝0，x＝2sin θ，x∈[－2,2]， 它表示在x軸上[－2,2]的一段線段． (2)當(dāng)θ≠(k∈Z)時，由①得＝t＋. 由②得＝t－. 平方相減得－＝4，即－＝1， 它表示中心在原點，實軸長為4|sin θ|，虛軸長為4|cos θ|， 焦點在x軸上的雙曲線． 當(dāng)θ＝kπ(k∈Z)時，x＝0，它表示y軸； 當(dāng)θ＝kπ＋(k∈Z)時，y＝0，x＝(t＋)． ∵t＋≥2(t＞0時)或t＋≤－2(t＜0時)， ∴|x|≥2.∴方程為y＝0(|x|≥2)，它表示x軸上以(－2,0)和(2,0)為端點的向左、向右的兩條射線． [例4]　已知線段|BB′|＝4，直線l垂直平分BB′交BB′于點O，并且在l上O點的同側(cè)取兩點P，P′，使|OP||OP′|＝9，求直線B′P′與直線BP的交點M的軌跡． [解]　如圖，以O(shè)為原點，l為x軸，BB′為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy. 依題意，可知B(0,2)，B′(0，－2)，又可設(shè)P(a,0)，P′，其中a為參數(shù)，可取任意非零的實數(shù)． 直線BP的方程為＋＝1， 直線B′P′的方程為＋＝1. 兩直線方程化簡為 解得直線BP與B′P′的交點坐標(biāo)為 (a為參數(shù))， 消去參數(shù)a，得＋＝1(x≠0)． ∴所求點M的軌跡是長軸為6，短軸為4的橢圓(除去B，B′點). 直線參數(shù)方程的應(yīng)用 直線參數(shù)方程的應(yīng)用非常廣泛，因此是高考重點考查的一個考點，主要考查直線參數(shù)方程在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中的應(yīng)用，在解決這類問題時，應(yīng)用直線的參數(shù)方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，可以避免通過解方程組求交點等繁瑣運(yùn)算，使問題得到簡化，由于直線的參數(shù)方程有多種形式，只有標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)才具有明顯的幾何意義． [例5]　如圖，已知直線l過點P(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y2＝2x相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為M，求： (1)P，M兩點間的距離|PM|； (2)線段AB的長|AB|. [解]　(1)∵直線l過點P(2,0)，斜率為，設(shè)直線的傾斜角為α， tan α＝，sin α＝，cos α＝， ∴直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． ∵直線l和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝2x中，整理得 8t2－15t－50＝0， Δ＝(－15)2－48(－50)>0. 設(shè)這個二次方程的兩個根分別為t1，t2， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1＋t2＝，t1t2＝－， 由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，得 |PM|＝＝. (2)|AB|＝|t2－t1| ＝＝. [例6]　在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于A，B.若點P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|. [解]　(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5. (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得 2＋2＝5， 即t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根， 所以 又直線l過點P(，)， 故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. 圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 由于圓、橢圓、雙曲線的參數(shù)方程均以一個角為參數(shù)，這給我們解決與其上動點有關(guān)的距離的最值、定值、軌跡等問題帶來很大的方便，因此高考中主要考查圓錐曲線參數(shù)方程在這些方面的應(yīng)用，當(dāng)圓錐曲線由普通方程給出時，需先化為參數(shù)方程再應(yīng)用，最終轉(zhuǎn)化為三角的運(yùn)算問題，求解． [例7]　點P在圓x2＋(y－2)2＝上移動，點Q在橢圓x2＋4y2＝4上移動，求|PQ|的最大值及相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)． [解]　設(shè)圓的圓心為O′，在△PO′Q中， |PQ|≤|PO′|＋|O′Q|＝＋|O′Q|， 設(shè)Q點的坐標(biāo)為(2cos α，sin α)， 而O′(0,2)，則|O′Q|2＝4cos2α＋(sin α－2)2 ＝－32＋≤. ∴|O′Q|≤， 此時sin α＝－，cos α＝. ∴|PQ|的最大值為＋，相應(yīng)點Q的坐標(biāo)為 . [例8]　設(shè)P是橢圓4x2＋9y2＝36上的一個動點，求x＋2y的最大值和最小值． [解]　法一：令x＋2y＝t，且x，y滿足4x2＋9y2＝36， 故點(x，y)是方程組的公共解． 消去x得25y2－16ty＋4t2－36＝0， 由Δ＝(－16t)2－425(4t2－36)≥0， 即t2≤25， 解得－5≤t≤5， ∴x＋2y的最大值為5，最小值為－5. 法二：由橢圓方程4x2＋9y2＝36，得＋＝1， 設(shè)x＝3cos θ，y＝2sin θ，代入x＋2y得 x＋2y＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)， 由于－1≤sin(θ＋φ)≤1， 所以－5≤5sin(θ＋φ)≤5. ∴x＋2y的最大值為5，最小值為－5. 　　 一、選擇題 1．直線(t為參數(shù))上與點P(4,5)的距離等于的點的坐標(biāo)是(　　) A．(－4,5)　　　　　　　　　 B．(3,6) C．(3,6)或(5,4) D．(－4,5)或(0,1) 解析：選C　由題意，可得|t|＝?t＝，將t代入原方程，得或所以所求點的坐標(biāo)為(3,6)或(5,4)． 2．橢圓上的點到直線4x＋3y－20＝0的最小距離為(　　) A. B. C. D．2 解析：選A　點P(3cos θ，4sin θ)到直線4x＋3y－20＝0的距離d＝ ＝.當(dāng)sin＝1時， d取最小值為＝ 3．設(shè)r＞0，那么直線xcos θ＋ysin θ＝r與圓(φ是參數(shù))的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．視r的大小而定 解析：選B　易知圓的圓心在原點，半徑是r，則圓心(0,0)到直線的距離為 d＝＝r，恰好等于圓的半徑，所以，直線和圓相切． 4．直線y＝x＋與圓心為D的圓(θ∈[0,2π))交于A，B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由已知得圓D：(x－)2＋(y－1)2＝3， 則圓心D到直線y＝x＋的距離等于d＝＝， 故cos∠ADB＝＝， ∠ADB＝，∠ADB＝； 又AD＝BD，因此有∠DBA＝. 而直線y＝x＋的傾斜角是，因此結(jié)合圖形可知，在直線AD，BD中必有一條直線的傾斜角等于＋， 另一條直線的傾斜角等于＋＋， 因此直線AD，BD的傾斜角之和等于2＋＝. 二、填空題 5．設(shè)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的方程為y＝3x＋4，則l1與l2間的距離為________． 解析：將直線l1的參數(shù)方程化成普通方程為y＝3x－2，又l2：y＝3x＋4，故l1∥l2，在l1上取一點(0，－2)，其到l2：3x－y＋4＝0的距離就是l1與l2的距離， 即d＝＝. 答案： 6．(湖北高考)已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2.則C1與C2交點的直角坐標(biāo)為________． 解析：由題意，得 ?x2＝3y2(x≥0，y≥0)，曲線C2的普通方程為x2＋y2＝4，聯(lián)立，得即C1與C2的交點坐標(biāo)為(，1)． 答案：(，1) 7．直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點個數(shù)為________． 解析：直線的普通方程為x＋y－1＝0，圓的普通方程為x2＋y2＝32，圓心到直線的距離d＝＜3，故直線與圓的交點個數(shù)是2. 答案：2 8．已知圓C：(θ為參數(shù))，則它的普通方程為________．設(shè)O為坐標(biāo)原點，點M(x0，y0)在C上運(yùn)動，點P(x，y)是線段OM的中點，則點P的軌跡方程為________． 解析：由知 ∴(x－1)2＋y2＝sin2θ＋cos2θ＝1. 由中點坐標(biāo)公式得∴ 又點M(x0，y0)在圓C上運(yùn)動， ∴(x0－1)2＋y＝1.故(2x－1)2＋4y2＝1. 答案：(x－1)2＋y2＝1　(2x－1)2＋4y2＝1 三、解答題 9．已知橢圓C1：(φ為參數(shù))及拋物線C2：y2＝6.當(dāng)C1∩C2≠?時，求m的取值范圍． 解：將橢圓C1的參數(shù)方程代入C2：y2＝6， 得3sin2φ＝6， ∴1－cos2φ＝2m＋4cos φ－3， 即(cos φ＋2)2＝8－2m， ∵1≤(cos φ＋2)2≤9，∴1≤8－2m≤9. 解之，得－≤m≤. ∴當(dāng)C1∩C2≠?時，m∈. 10．經(jīng)過P(－2,3)作直線交拋物線y2＝－8x于A，B兩點． (1)若線段AB被P平分，求AB所在直線方程； (2)當(dāng)直線的傾斜角為時，求|AB|. 解：設(shè)AB的參數(shù)方程是(t為參數(shù))， 代入拋物線方程，整理得 t2sin2α＋(6sin α＋8cos α)t－7＝0， 于是t1＋t2＝－，t1t2＝－. (1)若P為AB的中點，則t1＋t2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0?tan α＝－. 故AB所在的直線方程為y－3＝－(x＋2)． 即4x＋3y－1＝0. (2)|AB|＝|t1－t2|＝ ＝ ＝. 又α＝， ∴|AB|＝ ＝8. [對應(yīng)學(xué)生用書P43] (時間：90分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中只有一個是正確的) 1．當(dāng)參數(shù)θ變化時，動點P(2cos θ，3sin θ)所確定的曲線必過(　　) A．點(2,3)　　　　　　　 B．點(2,0) C．點(1,3) D．點 解析：選B　令x＝2cos θ，y＝3sin θ，則動點(x，y)的軌跡是橢圓：＋＝1，∴曲線過點(2,0)． 2．以極坐標(biāo)系中的點(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是(　　) A．ρ＝2cos B．ρ＝2sin C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1) 解析：選C　由已知得圓心在相應(yīng)的直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(cos 1，sin 1)， 所以圓在直角坐標(biāo)下的方程為(x－cos 1)2＋(y－sin 1)2＝1，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，得ρ2－2ρcos(θ－1)＝0.所以ρ＝0或ρ＝2cos(θ－1)，而ρ＝0表示極點，適合方程ρ＝2cos(θ－1)，即圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos (θ－1)． 3．直線(t為參數(shù))與橢圓(θ為參數(shù))的交點坐標(biāo)是(　　) A．(0,2)或(2,0) B．(4,0)或(0,4) C．(0,2)或(4,0) D．(4,2) 解析：選C　法一：直線參數(shù)方程消去參數(shù)t，得 x＋2y－4＝0. 橢圓參數(shù)方程消去θ，得＋＝1. 由解得或 ∴直線與橢圓的交點坐標(biāo)為(4,0)或(0,2)． 法二：∵兩曲線相交 ∴即 兩式平方相加，消去θ，得 t2＋(1－t)2＝1. 整理，得2t(t－1)＝0. 解得t1＝0，t2＝1. 分別代入直線的參數(shù)方程，得交點坐標(biāo)為(0,2)或(4,0)． 4．直線ρcos θ＝2關(guān)于直線θ＝對稱的直線方程為(　　) A．ρcos θ＝－2 B．ρsin θ＝2 C．ρsin θ＝－2 D．ρ＝2sin θ 解析：選B　∵直線x＝2關(guān)于直線y＝x對稱的直線是y＝2， ∴直線方程為ρsin θ＝2. 5．參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的曲線是(　　) 解析：選D　將參數(shù)方程進(jìn)行消參，則有t＝， 把t＝代入y＝中， 當(dāng)x＞0時，x2＋y2＝1，此時y≥0； 當(dāng)x＜0時，x2＋y2＝1，此時y≤0. 6．過點(0,2)且與直線(t為參數(shù))的夾角為30的直線方程為(　　) A．y＝x＋或x＝0 B．y＝x＋2或y＝0 C．y＝x＋2或x＝0 D．y＝x＋或x＝0 解析：選C　直線的斜率k＝，傾斜角為60.故所求直線的傾斜角為30或90.所以所求直線方程為y＝x＋2或x＝0. 7．直線(t為參數(shù))與雙曲線x2－y2＝1沒有公共點，則m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　把x＝m＋t，y＝－1＋2t代入x2－y2＝1并整理得 －3t2＋2(m＋2)t＋m2－2＝0，由題意得 Δ＝4(m＋2)2＋12(m2－2)<0. 即2m2＋2m－1<0，得<m<. 8．若圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線與圓的位置關(guān)系是(　　) A．過圓心 B．相交而不過圓心 C．相切 D．相離 解析：選B　將圓、直線的參數(shù)方程化成普通方程，利用圓心到直線的距離與圓的半徑進(jìn)行比較，可知圓心到直線的距離小于半徑，并且圓心不在直線上． 9．已知點(4,2)是直線l被曲線所截的線段中點，則l的方程是(　　) A．x＋2y＝0 B．x＋2y－4＝0 C．2x＋3y＋4＝0 D．x＋2y－8＝0 解析：選D　法一：∵(4,2)在直線l上，∴點的坐標(biāo)滿足方程，把點(4,2)的坐標(biāo)代入四個選項中的直線方程，排除A，B，C. 法二：曲線化為普通方程是：＋＝1. 設(shè)曲線與l的交點坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)， 則 ①－②得：(x1－x2)(x1＋x2)＝－(y1－y2)(y1＋y2)． ∴＝－＝－＝－. ∴直線l的斜率為－，由點斜式方程可得l方程． 10．已知方程x2－ax＋b＝0的兩根是sin θ和cos θ(|θ|≤)，則點(a，b)的軌跡是(　　) A．橢圓弧 B．圓弧 C．雙曲線弧 D．拋物線弧 解析：選D　由題∴ a2－2b＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1.又|θ|≤. ∴表示拋物線?。? 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．若x2＋y2＝4，則x－y的最大值是________． 解析：x2＋y2＝4的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， ∴x－y＝2cos θ－2sin θ＝2cos. ∴最大值為2. 答案：2 12．(重慶高考)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，則直線l與曲線C的公共點的極徑ρ＝________. 解析：依題意，直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程分別是x－y＋1＝0，y2＝4x.由得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，則y＝2，因此直線l與曲線C的公共點的直角坐標(biāo)是(1,2)，該點與原點的距離為＝，即直線l與曲線C的公共點的極徑ρ＝. 答案： 13．(重慶高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 解析：ρcos θ＝4化為直角坐標(biāo)方程為x＝4①， 化為普通方程為y2＝x3②， ①②聯(lián)立得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16. 答案：16 14．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a＞0)有一個公共點在x軸上，則a＝________. 解析：曲線C1的普通方程為2x＋y＝3，曲線C2的普通方程為＋＝1，直線2x＋y＝3與x軸的交點坐標(biāo)為，故曲線＋＝1也經(jīng)過這個點，代入解得a＝. 答案： 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)已知直線l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程： ρ＝2sin(θ為參數(shù))． (1)將直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系． 解：(1)消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝2x＋1； ρ＝2sin即ρ＝2(sin θ＋cos θ)． 兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去參數(shù)θ，得圓C的直角坐標(biāo)方程為： (x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)圓心C到直線l的距離 d＝＝＜， 所以直線l和圓C相交． 16．(本小題滿分12分)(新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 17．(本小題滿分12分)(遼寧高考)將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程． 解：(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)镃上點(x，y)，依題意，得 由x＋y＝1得x2＋2＝1， 即曲線C的方程為x2＋＝1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)由解得或 不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標(biāo)為，所求直線斜率為k＝，于是所求直線方程為y－1＝， 化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝. 18．(本小題滿分14分)已知直角坐標(biāo)系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．定點A(0，－)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是圓錐曲線C的左，右焦點． (1)以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求經(jīng)過點F1且平行于直線AF2的直線l的極坐標(biāo)方程． (2)在(1)條件下，設(shè)直線l與圓錐曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求弦EF的長． 解：(1)由圓錐曲線C的參數(shù)方程知其普通方程為 ＋＝1. A(0，－)，F(xiàn)1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． ∴直線l的斜率k＝，l：y＝(x＋1)． ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝ρcos θ＋. 即2ρsin ＝. (2)聯(lián)立得5x2＋8x＝0. ∴EF＝ ＝. 即弦EF的長為.