新教材高中數(shù)學北師大版選修23教學案：第一章 3 第一課時 組合與組合數(shù)公式 Word版含解析

（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 第一課時　組合與組合數(shù)公式 組合的有關(guān)概念 [例1]　給出下列問題： (1)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生完成一件工作，有多少種不同的安排方法？ (2)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的安排方法？ (3)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？ (4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？ 在上述問題中，哪些是組合問題，哪些是排列問題？ [思路點撥]　要分清是組合還是排列問題，只要確定取出的這些元素是否與順序有關(guān)． [精解詳析]　(1)兩名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題； (2)兩名學生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題； (3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題； (4)冠亞軍是有順序的，是排列問題． [一點通]　區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看它有無“順序”，有順序就是排列問題，無順序就是組合問題．要判定它是否有順序的方法是先將元素取出來，看交換元素的順序?qū)Y(jié)果有無影響，有影響就是“有序”，也就是排列問題；沒有影響就是“無序”，也就是組合問題． 1．判斷下列問題是組合問題，還是排列問題． (1)設(shè)集合A＝{a，b，c，d}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個？ (2)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？ (3)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？ (4)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排3個客人入座，又有多少種方法？ (5)把4本相同的數(shù)學書分給5個學生，每人至多得一本，有多少種分配方法？ (6)4個人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？ 解：(1)組合問題，因為集合中取出元素具有“無序性”． (2)組合問題，由于加法運算滿足交換律，所以選出的兩個元素做加法時，與兩個元素的位置無關(guān)． (3)排列問題，兩個元素做除法時，誰作除數(shù)，誰作被除數(shù)不一樣，此時與位置有關(guān)． (4)第一問是組合問題，第二問是排列問題，“入座”問題同“排隊”，與順序有關(guān)． (5)組合問題，由于4本數(shù)學書是相同的，不同的分配方法取決于從5個學生中選擇哪4個人，這和順序無關(guān)． (6)排列問題，因為5種工作是不同的，一種分工方法就是從5種不同的工作中選出4種，按一定的順序分配給4個人，它與順序有關(guān)． 有關(guān)組合數(shù)的計算與證明 [例2]　求值：(1)C－CA；(2)C＋C； (3)C＋C. [思路點撥]　用組合數(shù)公式和組合數(shù)的性質(zhì)解決． [精解詳析]　(1)原式＝C－A ＝－765＝210－210＝0. (2)C＋C＝C＋C＝＋200 ＝4 950＋200＝5 150. (3)∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N＋，∴n＝10. ∴C＋C＝C＋C＝C＋C ＝＋31＝466. [一點通]　(1)對于組合數(shù)的有關(guān)運算，除了利用組合數(shù)公式外，還要注意利用組合數(shù)的兩個性質(zhì)，對式子進行適當?shù)淖冃?，選擇最恰當?shù)墓接嬎悖? (2)有關(guān)組合數(shù)的證明問題，一般先依據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)化簡，再用組合數(shù)的階乘形式證明． 2．若C＝28，則n的值為(　　) A．9　　　　　　　　　 B．8 C．7 D．6 解析：∵C＝＝＝28， ∴n(n－1)＝56，即n＝8. 答案：B 3．若C，C，C成等差數(shù)列，則C的值為________． 解析：由已知，得2C＝C＋C， 所以2＝＋， 整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14. 要求C的值，故n≥12，所以n＝14， 于是C＝C＝＝91. 答案：91 4．證明：C＝C. 證明：∵C＝ ＝ ＝＝C， ∴C＝C成立. 簡單的組合應用題 [例3]　(12分)一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球． (1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？ (2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？ (3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？ [思路點撥]　先判斷是不是組合問題，再用組合數(shù)公式寫出結(jié)果，最后求值． [精解詳析]　(1)從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是C＝＝56.(4分) (2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是CC＝＝21. (8分) (3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是C＝＝35. (12分) [一點通]　解簡單的組合應用題，要首先判斷它是不是組合問題，即取出的元素是“合成一組”還是“排成一列”，其次要看這件事是分類完成還是分步完成． 5．某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工隊，不同的選法有(　　) A．C種　　　　　　　　　 B．A種 C．AA種 D．CC種 解析：每個被選的人員無角色差異，是組合問題．分兩步完成： 第一步，選女工，有C種選法； 第二步，選男工，有C種選法． 故有CC種不同選法． 答案：D 6．10個人分成甲、乙兩組，甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數(shù)為________．(用數(shù)字作答) 解析：從10個人中選4人作為甲組，剩下的6人為乙組，共有C＝210種分組方法． 答案：210 7．現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名． (1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？ (2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？ 解：(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法有C＝45種． (2)從6名男教師中選2名有C種選法，從4名女教師中選2名有C種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有選法CC＝90種． 1．“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念，組合是m個元素形成的一個整體，不是數(shù)，組合數(shù)是形成的不同組合的個數(shù)，是數(shù)量． 2．對于有關(guān)組合數(shù)的計算、證明、解方程或不等式時，一是要注意組合數(shù)本身的有意義的未知數(shù)的取值范圍．二是掌握組合數(shù)性質(zhì)，在計算C時，若m＞，通常使用C＝C轉(zhuǎn)化；求多個組合數(shù)的和時，要注意觀察上、下標的特征，靈活運用C＝C＋C. 1．給出下面幾個問題： ①10人相互通一次電話，共通多少次電話？ ②從10個人中選出3個作為代表去開會，有多少種選法？ ③從10個人中選出3個不同學科的課代表，有多少種選法？ ④由1,2,3組成無重復數(shù)字的兩位數(shù)． 其中是組合問題的有(　　) A．①③　　　　　　　　　 B．②④ C．①② D．①②④ 解析：①是組合問題，因為甲與乙通了一次電話，也就是乙與甲通了一次電話，沒有順序的區(qū)別；②是組合問題，因為三個代表之間沒有順序的區(qū)別；③是排列問題，因為三個人擔任哪一科的課代表是有順序區(qū)別的；而④中選出的元素還需排列，有順序問題是排列．所以①②是組合問題． 答案：C 2．若A＝12C，則n等于(　　) A．8 B．5或6 C．3或4 D．4 解析：∵A＝12C，∴n(n－1)(n－2)＝12.解得n＝8. 答案：A 3．下列四個式子中正確的個數(shù)是(　　) (1)C＝；(2)A＝nA； (3)CC＝；(4)C＝C. A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：因為C＝＝＝，故(1)正確； 因為nA＝n＝＝A，故(2)正確； 因為CC＝＝＝， 故(3)正確． 因為C＝，C＝＝，所以C＝C，故(4)正確． 答案：D 4．若C－C＝C，則n等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 解析：C－C＝C，即C＝C＋C＝C， 所以n＋1＝7＋8，即n＝14. 答案：C 5．從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m個不同的積，任取兩個不同的數(shù)相除，有n個不同的商，則m∶n＝________. 解析：∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝. 答案： 6．方程C＝C的解為________． 解析：當x＝3x－8，解得x＝4；當28－x＝3x－8，解得x＝9. 答案：4或9 7．計算：(1)C＋CC； (2)C＋C＋C＋C＋C＋C. 解：(1)原式＝C＋C1＝＋ ＝56＋4 950＝5 006. (2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C) ＝2＝32. 8．在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人去參加市級培訓，在下列條件下，有多少種不同的選法？ (1)任意選5人； (2)甲、乙、丙三人必須參加； (3)甲、乙、丙三人不能參加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加． 解：(1)C＝792種不同的選法． (2)甲、乙、丙三人必須參加，只需從另外的9人中選2人，共有C＝36種不同的選法． (3)甲、乙、丙三人不能參加，只需從另外的9人中選5人，共有C＝126種不同的選法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，分兩步：第一步從甲、乙、丙中選1人，有C＝3種選法；第二步從另外的9人中選4人有C種選法．共有CC＝378種不同的選法．