新版高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 反證法的應(yīng)用例題解析

新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 反證法的應(yīng)用例題解析 反證法是一種間接證明的方法，其基本思路是從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立。運(yùn)用反證法的關(guān)鍵是“尋找矛盾”，可以與已知的公理、定義、定理矛盾；與題目的已知條件矛盾；與臨時(shí)假設(shè)矛盾或推出兩個(gè)互相矛盾的命題。下面結(jié)合解題實(shí)際,談一談什么時(shí)侯宜用反證法。 一、證明否定型命題時(shí)常用反證法 例1如果是不全相等的實(shí)數(shù)，若成等差數(shù)列，求證：不成等差數(shù)列。 證明：假設(shè)成等差數(shù)列，則 由于成等差數(shù)列，得① 那么，即② 由①、②得與是不全相等的實(shí)數(shù)矛盾。 故不成等差數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：本題是否定型命題，對(duì)于否定型命題的常規(guī)論證方法也是用反證法，從否定結(jié)論開(kāi)始，在成等差數(shù)列的條件下進(jìn)行推理，得到又成等比數(shù)列，因此，與已知矛盾，從而結(jié)論成立。 二、正面證明困難時(shí)宜用反證法 例2求證：方程的解是惟一的. 證明：確定方程的解：由對(duì)數(shù)的定義易得是這個(gè)方程的一個(gè)解. 證明惟一性：假設(shè)這個(gè)方程的不是惟一的，它還有另解，則， 又，則，即…….①， 由假設(shè)，得， 從而，當(dāng)時(shí)，……②；當(dāng)時(shí)，…….③ 顯然，②、③都與①矛盾，這說(shuō)明假設(shè)不成立，∴方程的解是惟一的. 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)原命題從證明下手證明較困難時(shí)，可不時(shí)時(shí)機(jī)地選擇從它的反面證明，有時(shí)會(huì)起到事半功倍的效果. 三、當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)“至多”“至少”時(shí)： 例3已知都是正數(shù)，試證：關(guān)于的三個(gè)方程，，至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。 證明：假設(shè)三個(gè)方程均無(wú)不相等的實(shí)根，則 與都是正數(shù)矛盾 故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 點(diǎn)評(píng)：“至少”、“至多”型問(wèn)題的常規(guī)證法是反證法；本題首先否定結(jié)論，利用方程的根與判別式之間的關(guān)系進(jìn)行推理，最終推出與已知矛盾的結(jié)果，從而肯定命題的正確性。借助反證法，整個(gè)推理過(guò)程順理成章，試想一下如果不用反證會(huì)將如何？ 四、解決存在型問(wèn)題時(shí)有時(shí)可用反證法 例4 已知數(shù)列中，，a為正實(shí)數(shù)， （1）若，試求a的取值范圍。 （2）是否存在正實(shí)數(shù)a，使對(duì)任意恒成立。 解（1） ∴ ∵，∴ （2）不存在正實(shí)數(shù)a，使對(duì)任意恒成立。下面用反證法加以證明。 假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，對(duì)任意，使恒成立，則，恒成立。 ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 即 故取，即，有，則與矛盾，因此，不存在正實(shí)數(shù)a，使，對(duì)，恒成立。 點(diǎn)評(píng)：“存在”就是有，證明有或者可以找出一個(gè)也行。“不存在”就是沒(méi)有，找不到。這類(lèi)問(wèn)題常用反證法加以認(rèn)證?！笆欠翊嬖凇钡膯?wèn)題，結(jié)論有兩種：如果存在，找出一個(gè)來(lái)；如果不存在，需說(shuō)明理由，這時(shí)，通常用反證法。