2020高中數(shù)學北師大版選修22教案：第1章 數(shù)學歸納法 第二課時參考教案

北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 數(shù)學歸納法 一、教學目標： 1、使學生了解歸納法, 理解數(shù)學歸納的原理與實質(zhì)。 2、掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關的命題。 3、培養(yǎng)學生觀察, 分析, 論證的能力, 進一步發(fā)展學生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學思想。 4、努力創(chuàng)設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率。 5、通過對例題的探究，體會研究數(shù)學問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學生的學習熱情，使學生初步形成做數(shù)學的意識和科學精神。 二、教學重點：能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。 教學難點：明確數(shù)學歸納法的兩個步驟的必要性并正確使用。 三、教學方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 (一)、復習： 1、數(shù)學歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n0時命題成立；然后假設當n=k(kÎN*，k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學歸納法 2、數(shù)學歸納法的基本思想：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當n=n0時，命題成立，再假設當n=k(k≥n0，k∈N*)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設，如能推出當n=k+1時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立. 3、用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟： (1)證明：當n取第一個值n0結(jié)論正確； (2)假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當n=k+1時結(jié)論也正確. 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確 （二）、探究新課 例1、求證：能被9整除，。 證明：（1）當n=1時，，36能被9整除，命題成立； （2）假設n＝k(k≥1)時，命題成立，即能被9整除。 當n＝k+1時， 由假設可知，上式的兩部分都能被9整除。 故n＝k+1時，命題也成立。 根據(jù)（1）和（2）可知對任意的，該命題成立。 證明整除性問題的關鍵是“湊項”，可采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊出n＝k時的情形，從而利用歸納假設使問題獲證。 例2、證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)。 證明：（1）當n=4時，，四邊形有兩條對角線，命題成立。 （2）假設n＝k(k≥4)時，命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù). 當n＝k+1時，凸k+1邊形是在k邊形的基礎上增加了一邊，增加了一個頂點，增加的對角線條數(shù)是頂點與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊，共增加的對角線條數(shù)為：（k+1-3）+1=k-1 ∴。 故n＝k+1時，命題也成立。 根據(jù)（1）和（2）可知對n≥4，公式都成立。 用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k+1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何命題的一大技巧。 例3、已知數(shù)列滿足，，試猜想的通項公式并用數(shù)學歸納法證明。 解：由和，得 ，， ，， …… 歸納上述結(jié)果，可得猜想。 下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想。 （1）當n＝1時，左邊，右邊，等式成立。 （2）假設當n＝k(k≥1)時，等式成立，即成立。 那么，當n＝k+1時， 。 這就是說，當n＝k+1時等式成立。 根據(jù)（1）和（2），可知猜想對任意正整數(shù)n都成立。 探索性命題的求解一般分三步進行：①驗證p⑴，p⑵，p⑶，p⑷，…；②提出猜想；③用數(shù)學歸納法證明。 （三）、小結(jié)：使用數(shù)學歸納法時需要注意：（1）用數(shù)學歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關的命題；（2）在用數(shù)學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可。 （四）、練習：課本練習. （五）、作業(yè)：課本習題1-4：2. 五、教后反思：