全等三角形歷年中考難題[共17頁(yè)]

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1、 紅城教育培訓(xùn)學(xué)校數(shù)學(xué)教研組制作 制作人：汪皞 監(jiān)制：汪校長(zhǎng) 黃校長(zhǎng) 童老師 （第6題） 全等三角形專題（一） 姓名： 1.如圖，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 2.如圖所示，兩塊完全相同的含30°角的直角三角形疊放在一起，且∠DAB=30°。有以下四個(gè)結(jié)論：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O為BC的中點(diǎn)； ④A

2、G：DE=：4，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .（錯(cuò)填得0分，少填酌情給分） 3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC． 試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想． A B C D E 4．八（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖）.設(shè)計(jì)了如下方案： （Ⅰ）∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間

3、，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線. （Ⅱ）∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說明理由. （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請(qǐng)說明理由. 5．（2010湖南婁底）如圖10，在四邊形ABCD

4、中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 求證：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD 6．（2010江蘇揚(yáng)州）電子跳蚤游戲盤是如圖所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤開始時(shí)在BC邊的P0處，BP0=2．跳蚤第一步從P0跳到AC邊的P1（第一次落點(diǎn))處，且CP1=CP0；第二步從P1跳到AB邊的P2（第一次落點(diǎn))處，且AP2=AP1；第三步從P2跳到BC邊的P3（第三次落點(diǎn))處，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述規(guī)則一致跳下去，第n次落點(diǎn)為Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2007與P2010之間的距離為（

5、 ） A．1 B．2 C．3 D．4 A B C P0 P3 P2 P1 第8題 7．（2010安徽蚌埠）在中，分別是上的點(diǎn)，， 交于點(diǎn)，若，則四邊形的面積為________。 8．（2010安徽蚌埠）三角形紙片內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共103個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共線?，F(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，則這樣的三角形的個(gè)數(shù)為__________。 9.觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有 個(gè) ．

6、 10、（2009臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF． 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以． 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究： （1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線

7、上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由． A D F C G E B 圖1 A D F C G E B 圖2 A D F C G E B 圖3 11、（2009年牡丹江）已知中，為邊的中點(diǎn)， 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、 當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證 當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，

8、不需證明． A E C F B D 圖1 圖3 A D F E C B A D B C E 圖2 F 12．（2008山東泰安）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)． 圖1 圖2 D C E A B （第22題） （1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）； （2）證明：． 13、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,,BD=DC

9、. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系． 圖1 圖2 圖3 （I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M

10、、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)， 若AN=，則Q= （用、L表示）． 14、已知四邊形中，，，，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于． 當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證． 當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明． （圖1） （圖2）

11、 （圖3） 15 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù). 16、如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題： （1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、

12、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系； (第23題圖) O P A M N E B C D F A C E F B D 圖① 圖② 圖③ （2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。 17、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD 18、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB

13、于E，DF⊥AC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng). 1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC 全等三角形難題 1.在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝20°，D、E 分別是AB、AC 上的點(diǎn)，∠DCB＝50°，∠EBC ＝60°，求∠DEB 的度數(shù)。 2.在三角形ABC 中，AB=

14、AC,AD 平分角ABC 交AC 于D，AD+BD=BC，求角A 的度數(shù)。 3.在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E 是直線AC 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=EC， AM⊥BD，垂足為M，AM 的延長(zhǎng)線交BC 于N，直線BD 直線NE 相交于點(diǎn)F，試判斷三角形DEF 的形狀，并加以證明。 4.如圖，在△ABC 中，∠C = 2∠B ，D 是BC 上的一點(diǎn)，且AD ⊥ AB ，點(diǎn)E 是BD的中 點(diǎn)，連結(jié)AE ． （1）求證：∠AEC = ∠C （2）求證：BD = 2AC （3）若AE = 6.5，AD = 5，那么△AB

15、E 的周長(zhǎng)是多少？ 全等三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問題 汪老師：動(dòng)態(tài)幾何題，是指以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題；而通過對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化，使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過程，是中考數(shù)學(xué)試題中，考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的重要題型；解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)．本文以中考試題中的全等三角形動(dòng)態(tài)幾何題為例，談?wù)勥@類問題的解題思路，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考． 例1．（揚(yáng)州）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）當(dāng)直線MN繞

16、點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； （2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD－BE； A B C D E M N 圖2 （3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明． A C B E D N M 圖3 C B A E D 圖1 N M 證明： 評(píng)注：本題以直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中與△ABC的不同的位置關(guān)系為背景設(shè)置的三個(gè)小題，第（1）小題的兩個(gè)小題中，①是②的臺(tái)

17、階，只要證明了①，不難得到②；第（1）小題思路又作為解決第（2）小題的借鑒；第（3）小題為探索性問題，探索的結(jié)論及證明過程可借鑒第（1）、（2）兩小題，整個(gè)試題考查了同學(xué)們從具體、特殊的情形出發(fā)去探究運(yùn)動(dòng)變化過程中的規(guī)律的能力． 例2　（錦州）如圖A，△ABC和△CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，連接AF和BE． （1）線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論； （2）將圖A中的△CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖B，（1）中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說明理由； （3）若將圖A中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請(qǐng)你畫山一個(gè)變換后的圖形C（草圖即可），（1）中

18、的結(jié)論還成立嗎?作出判斷不必說明理由； （4）根據(jù)以上證明、說理、畫圖，歸納你的發(fā)現(xiàn)． 答： 全等三角形提高練習(xí) 1.如圖所示，△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線過點(diǎn)E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°， ∠B=50°，求∠DEF的度數(shù) 。 A B C F D E 2.如圖，△AOB中，∠B=30°，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)52°得到△A′OB′邊A′B′與邊OB交于點(diǎn)C（A′不在OB上），則

19、∠A′CO的度數(shù)為 。 B A A′ B′ O C 3．如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，D,E分別是AC,BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC,則∠C的度數(shù)是 。 D E C B A 4.如圖所示，把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C,A′B′交AC于點(diǎn)D，若∠A′DC=90°，則∠A= 。 B＇ D A＇ C B A 5．已知，如圖所示，AB=AC,AD⊥BC于D,且

20、AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,則AD= . A B D C 6．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分別過點(diǎn)B，C,作過點(diǎn)A的直線的垂線BD,CE,垂足為D,E，若BD=3，CE=2,則DE= . D A E C B 7．如圖，AD是△ABC 的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F，連接EF,交AD于G,AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論。 B D C F A E G 8.如圖所示，在△ABC中，AD為∠BAC的角平

21、分線，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC的面積是 28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的長(zhǎng)。 A E F B D C 9.已知，如圖，AB=AE, ∠B=∠E, ∠BAC=∠EAD, ∠CAF=∠DAF. 求證：AF⊥CD A B E D F C 10.如圖，AD=BD,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD于BE相交于點(diǎn)H，則BH與AC相等嗎？為什么？ A B D C E F 11.如圖所示，已知，AD為△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD

22、. 求證：BE⊥AC B A E H D C 12．△DAC, △EBC均是等邊三角形，AE,BD分別與CD,CE交于點(diǎn)M,N, 求證：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN為等邊三角形（4）MN∥BC EE D A C B N M 13．已知：如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F． (1)求證：AN=BM； (2)求證：△CEF為等邊三角形； (3)將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 O，其他條件不變，

23、在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）． 14. 如圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形。下列結(jié)論：① AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD； ④∠AHC=600,⑤△BFG是等邊三角形；⑥ FG∥AD。其中正確的有（ ） A 3個(gè) B 4個(gè) C 5個(gè) D 6個(gè) 15.已知：BD，CE是△ABC的高，點(diǎn)F在BD上，BF=AC,點(diǎn)G在CE的延長(zhǎng)線上，CG=AB. 求證:AG⊥AF

24、 B C D A G E F 16.如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。 求證：（1）AD=AG， （2）AD與AG的位置關(guān)系如何。 17.如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD 的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且∠DAE=∠FAE. 求證：AF=AD+CF A B F C E D 18.如圖所示，已知△A

25、BC中，AB=AC,D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ADB=60°，E是AD上一點(diǎn)，且DE=DB,求證：AC=BE+BC A D E B C 19.如圖所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足為F,DB=DC. 求證：BE=CF. A B F C D E 20.已知：如圖3-50，AB=DE，直線AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，AF∥DE，交BD于F． 求證：CF=CD． 21.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于D， PE

26、⊥OB于E，F(xiàn)是OC上一點(diǎn)，連接DF和EF，求證：DF=EF。 B A D C CC E F 22.已知：如圖，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，且BD=CD 求證：⑴△BDE≌△CDF ⑵點(diǎn)D在∠A的平分線上 23如圖，已知AB∥CD，O是∠ACD與∠BAC的平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，且OE＝2，則AB 與CD之間的距離為　　　

27、A B D C O E 24.如圖，過線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線AM、BN，使AM∥BN,按下列要求畫圖并回答： 畫∠MAB、∠NBA的平分線交于E。 （1）∠AEB是什么角？ （2）過點(diǎn)E作一直線交AM于D，交BN于C，觀察線段DE、CE，你有何發(fā)現(xiàn)？ （3）無論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng)，只要DC經(jīng)過點(diǎn)E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD誰成立？并說明理由。 26. 如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條 角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO︰S△BCO︰S△CA

28、O等于（ ） A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5 27．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4, 則S△BEF為＿＿＿. 29．如圖，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延長(zhǎng)線于E，求證：BC垂直且平分DE. 30.在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. ⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖⑴的位置時(shí),求證: DE＝AD＋BE ⑵當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖⑵的位置時(shí),求證: DE＝AD－BE; ⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖⑶的位置時(shí),試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系.