高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第七章?？碱}型強(qiáng)化練

精品資料 ?？碱}型強(qiáng)化練——不等式、推理與證明 A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、填空題 1.“|x|<2”是“x2－x－6<0”的________條件. 答案　充分而不必要 解析　不等式|x|<2的解集是(－2,2)，而不等式x2－x－6<0的解集是(－2,3)，于是當(dāng)x∈(－2,2)時(shí)，可得x∈(－2，3)，反之則不成立. 2.某種生產(chǎn)設(shè)備購(gòu)買時(shí)費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)各年為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年遞增，則這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用______年報(bào)廢最合算(即使用多少年的年平均費(fèi)用最少). 答案　10 解析　設(shè)使用x年的年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元. 由已知，得y＝， 即y＝1＋＋(x∈N*). 由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝10時(shí)取等號(hào).因此使用10年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用為3萬(wàn)元. 3.(2013四川改編)若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，則a－b的值是________. 答案　24 解析　畫出可行域如圖陰影部分(包括邊界)易解得A(4,4)，B(8,0)， C(0,2).對(duì)目標(biāo)函數(shù)令z＝0作出直線l0，上下平移易知過點(diǎn)A(4,4)， z最大＝16，過點(diǎn)B(8,0)，z最?。剑?，即a＝16，b＝－8， ∴a－b＝24. 4.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(α，β)(α>0)，則不等式cx2 ＋bx＋a>0的解集為________. 答案　 解析　∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(α，β)，則a<0，α＋β＝－，αβ＝，而不等式cx2＋bx＋a>0可化為x2＋x＋1<0，即αβx2－(α＋β)x＋1<0，可得(αx－1)(βx－1)<0，即<0，所以其解集是. 5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若存在正整數(shù)m，n(m<n)，使得Sm＝Sn，則Sm＋n＝0.類比上述結(jié)論，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn.若存在正整數(shù)m，n(m<n)，使Tm＝Tn，則Tm＋n＝________. 答案　1 解析　因?yàn)門m＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1， 從而bm＋1bn＝1，Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1bn＋m＝(b1bn＋m)(b2bn＋m－1)…(bmbn＋1)(bm＋1bn)＝1. 6.已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________. 答案　(－4,2) 解析　∵x>0，y>0，且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋ ≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即4y2＝x2，x＝2y時(shí)取等號(hào)，又＋＝1，此時(shí)x＝4，y＝2， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－4<m<2. 7.已知點(diǎn)P(x，y)在曲線y＝上運(yùn)動(dòng)，作PM垂直于x軸于M，則△OPM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的周長(zhǎng)的最小值為_____________________________________________. 答案　2＋ 解析　三角形OPM的周長(zhǎng)為 |x|＋＋≥ 2＋ ＝2＋ (當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝時(shí)，即|x|＝1時(shí)取等號(hào)). 8.已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)α，我們有正弦恒等式sin αsin(－α)sin(＋α)＝sin 3α，也有余弦恒等式cos αcos(－α)cos(＋α)＝cos 3α，類比以上結(jié)論對(duì)于使正切有意義的α，可以推理得正切恒等式為________________. 答案　tan αtan(－α)tan(＋α)＝tan 3α 二、解答題 9.在一條直線型的工藝流水線上有3個(gè)工作臺(tái)，將工藝流水線用如下圖所示的數(shù)軸表示，各工作臺(tái)的坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，每個(gè)工作臺(tái)上有若干名工人.現(xiàn)要在x1與x3之間修建一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短. (1)若每個(gè)工作臺(tái)上只有一名工人，試確定供應(yīng)站的位置； (2)設(shè)工作臺(tái)從左到右的人數(shù)依次為2,1,3，試確定供應(yīng)站的位置，并求所有工人到供應(yīng)站的距離之和的最小值. 解　設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為x，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d(x). (1)由題設(shè)，知x1≤x≤x3， 所以d(x)＝x－x1＋|x－x2|＋x3－x＝|x－x2|－x1＋x3， 故當(dāng)x＝x2時(shí)，d(x)取最小值，此時(shí)供應(yīng)站的位置為x＝x2. (2)由題設(shè)，知x1≤x≤x3， 所以d(x)＝2(x－x1)＋|x－x2|＋3(x3－x) ＝ 因此，函數(shù)d(x)在區(qū)間[x1，x2]上是減函數(shù)， 在區(qū)間[x2，x3]上是常數(shù). 故供應(yīng)站位置位于區(qū)間[x2，x3]上任意一點(diǎn)時(shí)，均能使函數(shù)d(x)取得最小值，且最小值為3x3－x2－2x1. 10.某市政府為了打造宜居城市，計(jì)劃在公園內(nèi)新建一個(gè)如下圖所示的矩形ABCD的休閑區(qū)，內(nèi)部是矩形景觀區(qū)A1B1C1D1，景觀區(qū)四周是人行道，已知景觀區(qū)的面積為8 000平方米，人行道的寬為5米(如下圖所示). (1)設(shè)景觀區(qū)的寬B1C1的長(zhǎng)度為x(米)，求休閑區(qū)ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)； (2)規(guī)劃要求景觀區(qū)的寬B1C1的長(zhǎng)度不能超過50米，如何設(shè)計(jì)景觀區(qū)的長(zhǎng)和寬，才能使休閑區(qū)ABCD所占面積最?。? 解　(1)因?yàn)锳B＝10＋，BC＝10＋x， 所以S＝(10＋x) ＝8 100＋＋10x(x>0). 所以休閑區(qū)ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)是 S＝8 100＋＋10x(x>0). (2)S＝8 100＋＋10x(0<x≤50)， 令S′＝10－＝0，得x＝40或x＝－40(舍去). 所以當(dāng)0<x≤50時(shí)，S′<0， 故S＝8 100＋＋10x在(0,50]上單調(diào)遞減. 所以函數(shù)S＝8 100＋＋10x(0<x≤50)在x＝50取得最小值，此時(shí)A1B1＝＝160(米). 所以當(dāng)景觀區(qū)的長(zhǎng)為160米，寬為50米時(shí)，休閑區(qū)ABCD所占面積S最小. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1.某商場(chǎng)中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0<t≤30)的關(guān)系大致滿足f(t)＝t2＋10t＋16，則該商場(chǎng)前t天平均售出(如前10天的平均售出為)的月餅最小值為________. 答案　18 解析　平均銷售量y＝＝ ＝t＋＋10≥18. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝4∈(0,30]時(shí)等號(hào)成立， 即平均銷售量的最小值為18. 2.某蔬菜收購(gòu)點(diǎn)租用車輛，將100噸新鮮黃瓜運(yùn)往某市銷售，可供租用的卡車和農(nóng)用車分別為10輛和20輛.若每輛卡車載重8噸，運(yùn)費(fèi)960元，每輛農(nóng)用車載重2.5噸，運(yùn)費(fèi)360元，則蔬菜收購(gòu)點(diǎn)運(yùn)完全部黃瓜支出的最低運(yùn)費(fèi)為________元. 答案　12 480 解析　設(shè)租用的卡車和農(nóng)用車分別為x輛和y輛， 運(yùn)完全部黃瓜支出的運(yùn)費(fèi)為z元，則， 目標(biāo)函數(shù)z＝960x＋360y，此不等式組表示的可行域是△ABC(其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20))內(nèi)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn). 當(dāng)直線l：z＝960x＋360y經(jīng)過點(diǎn)A(10,8)時(shí)，運(yùn)費(fèi)最低， 且其最低運(yùn)費(fèi)zmin＝96010＋3608＝12 480(元). 3.如圖所示，要挖一個(gè)面積為800平方米的矩形魚池，并在魚池的 四周留出左右寬2米，上下寬1米的小路，則占地總面積的最小 值是________平方米. 答案　968 解析　設(shè)魚池的長(zhǎng)EH＝x，則EF＝， 占地總面積是(x＋4)＝808＋2 ≥808＋22＝968. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝40時(shí)，取等號(hào). 4.我們把在平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)A(－3,4)，且其法向量為n＝(1，－2)的直線方程為1(x＋3)＋(－2)(y－4)＝0，化簡(jiǎn)得x－2y＋11＝0.類比上述方法，在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，經(jīng)過點(diǎn)A(1,2,3)，且其法向量為n＝(－1，－2,1)的平面方程為________. 答案　x＋2y－z－2＝0 解析　設(shè)P(x，y，z)為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，則類比上述結(jié)論可得n＝(x－1，y－2，z－3)(－1，－2,1)＝0，整理得x＋2y－z－2＝0. 5.某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件，產(chǎn)品的正品率P與日產(chǎn)量x(x∈N*)件之間的關(guān)系為P＝，每生產(chǎn)一件正品盈利4 000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2 000元.(注：正品率＝產(chǎn)品中的正品件數(shù)產(chǎn)品總件數(shù)100%) (1)將日利潤(rùn)y(元)表示成日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)； (2)該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？并求出日利潤(rùn)的最大值. 解　(1)∵y＝4 000x－2 000x＝3 600x－x3， ∴所求的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40). (2)由(1)知y′＝3 600－4x2. 令y′＝0，解得x＝30. ∴當(dāng)1≤x<30時(shí)，y′>0； 當(dāng)30<x≤40時(shí)，y′<0. ∴函數(shù)y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)在(1,30)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在(30,40)上是單調(diào)遞減函數(shù). ∴當(dāng)x＝30時(shí)， 函數(shù)y＝－x3＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值， 最大值為－303＋3 60030＝72 000(元). ∴該廠的日產(chǎn)量為30件時(shí)，日利潤(rùn)最大， 最大值為72 000元.