高考文科數(shù)學 題型秘籍【22】正弦定理和余弦定理解析版

專題二十二 正弦定理和余弦定理 【高頻考點解讀】 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． 【熱點題型】 題型一 利用正、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝(　　) A.　　　　　　 B. C. D. (2)如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________． 【提分秘籍】 利用正、余弦定理解三角形的關鍵是合理地選擇正弦或余弦定理進行邊角互化，解題過程中注意隱含條件的挖掘以確定解的個數(shù)． 【舉一反三】 在△ABC中，已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足asin＝c. (1)求角A的大??； (2)若△ABC為銳角三角形，求sin Bsin C的取值范圍． 【熱點題型】 題型二 三角形形狀的判斷 例2、設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形　　　　　　 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 【提分秘籍】 依據(jù)已知條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法 (1)利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀； (2)利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論． 注意：在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解． 【舉一反三】 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc. (1)求角A的大??； (2)若sin Bsin C＝sin2A，試判斷△ABC的形狀． 【熱點題型】 題型三 三角形的面積問題 例3、在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大??； (2)若△ABC的面積S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值． 【提分秘籍】 三角形的面積求法最常用的是利用公式S＝absin C＝acsinB＝bcsin A去求．計算時注意整體運算及正、余弦定理的應用． 【舉一反三】 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2＋ccos2＝b. (1)求證：a，b，c成等差數(shù)列； (2)若∠B＝60，b＝4，求△ABC的面積． 【熱點題型】 題型四 解三角形 例4、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－. (1)求cos A的值； (2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影． 【提分秘籍】 正弦定理、余弦定理及其在現(xiàn)實生活中的應用是高考的熱點，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題以及幾何計算的實際問題，常與三角變換、三角函數(shù)的性質交匯命題、多以解答題形式出現(xiàn)． 【高考風向標】 1．(20xx浙江卷) 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知4sin2＋4sin Asin B＝2＋. (1)求角C的大?。? (2)已知b＝4，△ABC的面積為6，求邊長c的值． 2．(20xx安徽卷) 設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面積為.求cos A與a的值． 3．(20xx北京卷) 在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，則c＝________；sin A＝________． 4．(20xx福建卷) 在△ABC中，A＝60，AC＝2，BC＝，則AB等于________． 5．(20xx廣東卷) 在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，則“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　) A．充分必要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件 6．(20xx湖北卷) 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，則B＝________． 7．(20xx湖南卷) 如圖14所示，在平面四邊形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，∠BEC＝. (1)求sin∠CED的值； (2)求BE的長． 圖14 8．(20xx江蘇卷) 若△ABC的內角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是______． 9．(20xx江西卷) 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若3a＝2b，則的值為(　　) A．－ B. C．1 D. 10．(20xx遼寧卷) 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＞c.已知＝2，cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 11．(20xx全國卷) △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B. 12．(20xx新課標全國卷Ⅱ] 四邊形ABCD的內角A與C互補， AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四邊形ABCD的面積． 13．(20xx山東卷) △ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋. (1)求b的值； (2)求△ABC的面積． 14．(20xx陜西卷) △ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. (1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比數(shù)列，且c＝2a，求cos B的值． 15．(20xx重慶卷) 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋b＋c＝8. (1)若a＝2，b＝，求cos C的值； (2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C， 且△ABC的面積S＝sin C，求a和b的值． 16．(20xx安徽卷) 設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a， b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，則角C＝(　　) A. B. C. D. 17．(20xx北京卷) 在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，則sin B＝(　　) A. B. C. D．1 18．(20xx全國卷) 設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (1)求B； (2)若sin Asin C＝，求C. 19．(20xx福建卷) 如圖1－6，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90，OP＝2 ，點M在線段PQ上． (1)若OM＝，求PM的長； (2)若點N在線段MQ上，且∠MON＝30，問：當∠POM取何值時，△OMN的面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值． 圖1－6 20．(20xx湖北卷) 在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大??； (2)若△ABC的面積S＝5 ，b＝5，求sinB sin C的值． 21．(20xx湖南卷) 在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B＝b，則角A等于(　　) A. B. C. D. 22．(20xx江西卷) 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求證：a，b，c成等差數(shù)列； (2)若C＝，求的值． 23．(20xx遼寧卷) 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，則∠B＝(　　) A. B. C. D. 24．(20xx新課標全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　) A．2 ＋2 B.＋1 C．2 －2 D.－1 25．(20xx山東卷) △ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，則c＝(　　) A．2 B．2 C. D．1 26．(20xx陜西卷) 設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 27． (20xx天津卷) 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝. (1)求b的值； (2)求sin2B－的值． 28． (20xx四川卷) 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影． 【隨堂鞏固】 1．在△ABC中，A，B，C為內角，且sin Acos A＝sin Bcos B，則△ABC是(　　) A．等腰三角形　　　　　　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案：D 2．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan Btan C＝1－，則角A的值為(　　) A. B. C. D. 3．在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B＝b，則角A等于(　　) A. B. C. D. 4．在△ABC中，A，B， C的對邊分別為a，b，c且acos C，bcos B，ccos A成等差數(shù)列，則B的值為(　　) A. B. C. D. 5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，則△ABC的面積等于(　　) A. B. C．1 D. 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列，且c＝2a，則cos B的值為(　　) A. B. C. D. 7．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a2－c2＝2b，且sin B＝6cos Asin C，則b的值為________． 8．在銳角△ABC中，a， b，c是角A，B，C的對邊，且a＝2csin A. (1)求角C的度數(shù)； (2)若c＝，且△ABC的面積為，求a＋b的值． 9．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)在銳角△ABC中，若f(A)＝1，＝，求△ABC的面積． 10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大??； (2)若a＋c＝1，求b的取值范圍． 11．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2bcos C＝2a－c， (1)求B； (2)若△ABC的面積為，求b的取值范圍． 12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a， b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m∥n. (1)求角A的大?。? (2)若a＝4，求△ABC面積的最大值．