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第三章 3.3
一、選擇題
1．sin75－sin15的值為( )
A． B．
C． D．－
[答案] B
[解析] sin75－sin15＝2cossin＝2＝.故選B．
2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，則cos2α－sin2β的值為( )
A．－ B．－
C． D．
[答案] C
[解析] 由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，
∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝，
即cos2α－sin2β＝.
3．化簡(jiǎn)的結(jié)果為( )
A．tanα B．tan
2、2α
C．cotα D．cot2α
[答案] B
[解析] 原式＝
＝
＝tan2α.
4．函數(shù)f(x)＝2sinsin(－)的最大值是( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] A
[解析] f(x)＝2sinsin(－)
＝－[cos(＋－)－cos(－＋)]
＝－cos＋cos(x－)
＝cos(x－)－.
f(x)max＝1－＝.
5．有下列關(guān)系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ.其中
3、正確等式的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析]?、佗冖邰芫徽_，故選A．
6．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( )
A．－m B．m
C．－ D．
[答案] A
[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
＝cos2β－cos2αcos2β－cos2α＋cos2αcos2β
＝cos2β－cos2α
4、＝－m.
二、填空題
7．求值：＝________.
[答案] 2－
[解析]?。剑?
＝＝
＝
＝＝2－.
8．cos40＋cos60＋cos80＋cos160＝________.
[答案]
[解析] 原式＝cos40＋cos80＋cos60－cos20
＝2cos60cos(－20)＋cos60－cos20
＝cos60＝.
三、解答題
9．求證：sin(α＋β)cosα－[sin(2α＋β)－sinβ]＝sinβ.
[解析] 解法一：左邊＝sin(α＋β)cosα－[sin〔(α＋β)＋α〕－sinβ]
＝sin(α＋β)cosα－[sin(α＋β)cos
5、α＋cos(α＋β)sinα]＋sinβ＝[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]＋sinβ
＝sin[(α＋β)－α]＋sinβ＝sinβ＝右邊．
解法二：左邊
＝sin(α＋β)cosα－
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ＝右邊．
一、選擇題
1．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β為第三象限角，則cosβ等于( )
A． B．－
C． D．－
[答案] B
[解析] sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(－β)＝－sinβ，
∴sin
6、β＝－m.又β為第三象限角，
∴cosβ＝－.
2．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，則α－β等于( )
A．－ B．－
C． D．
[答案] D
[解析] ∵α、β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.
∴cosβ－cosα>0，
∴cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是減函數(shù)．
∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：
2sincos＝，
∴tan＝∴＝∴α－β＝.
3．在△ABC中，若B＝30，則cosAsinC的取值范圍是( )
A．[－1,1] B．[－，]
C．[－，] D．[－，]
7、
[答案] C
[解析] cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]
＝－sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴cosAsinC∈.
4．tan70cos10(tan20－1)等于( )
A．1 B．－1
C． D．－
[答案] B
[解析] 原式＝cot20cos10(tan20－1)
＝cot20cos10
＝cot20cos10
＝－＝－1.
二、填空題
5．sin220＋cos280＋sin20cos80＝________.
[答案]
[解析] 原式＝＋＋sin100－sin60
＝－cos40－cos20＋sin
8、100
＝－2cos30cos10＋cos10
＝－cos10＋cos10＝.
6．計(jì)算－4cos10＝________.
[答案]
[解析]?。?cos10＝
＝
＝＝.
三、解答題
7．求函數(shù)y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在[0，π]上的遞增區(qū)間．
[解析] y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋sin2x
＝sin2x－cos2x＝2sin.
故該函數(shù)的最小正周期是π；最小值是－2.
遞增區(qū)間為，.
8．在△ABC中，求證：
(1)sin2
9、A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBcosC；
(2)sinA＋sinB－sinC＝4sinsincos.
[解析] (1)左邊＝sin2A＋－
＝sin2A＋(cos2C－cos2B)
＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)
＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]
＝sin(B＋C)2sinBcosC＝2sinAsinBcosC＝右邊，
∴等式成立．
(2)左邊＝sin(B＋C)＋2sincos
＝2sincos＋2sincos
＝2cos
＝4sinsincos＝右邊，∴原等式成立．
9．討論函數(shù)f(x)＝cos(2x－2
10、α)＋cos2α－2cos(x－α)cosxcosα的周期、最值、奇偶性及單調(diào)區(qū)間．
[解析] f(x)＝cos(2x－2α)＋－2cos(x－α)cosxcosα
＝＋[cos(2x－2α)＋cos2α]－[2cos(x－α)cosα]cosx
＝＋cosxcos(x－2α)－cosx[cosx＋cos(x－2α)]
＝－cos2x＝－＝－cos2x.
∴函數(shù)的最小正周期T＝＝π.
f(x)max＝，此時(shí)cos2x＝－1，
即2x＝2kπ＋π，k∈Z，x＝kπ＋，k∈Z；
f(x)min＝－，此時(shí)cos2x＝1，
即2x＝2kπ，k∈Z，x＝kπ，k∈Z.
f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．
由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，即kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[kπ，kπ＋](k∈Z)．
由2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.
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