直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用

直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用 崔佰華 在必修本和選修本中分別學(xué)習(xí)了直線的方程和圓錐曲線的內(nèi)容，它們都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，若將兩者結(jié)合起來(lái)，復(fù)雜的推理和大量的運(yùn)算更使學(xué)生望而生畏。如果通過(guò)直線方程的另一種形式——參數(shù)式，則可能使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單了，而且可以讓我們從一個(gè)嶄新的角度去認(rèn)識(shí)這些問(wèn)題。 一、求直線上點(diǎn)的坐標(biāo) 例1．一個(gè)小蟲(chóng)從P（1，2）出發(fā)，已知它在 x軸方向的分速度是?3，在y軸方向的分速度是4，問(wèn)小蟲(chóng)3s后的位置Q。 分析：考慮t的實(shí)際意義，可用直線的參數(shù)方程(t是參數(shù))。 解：由題意知?jiǎng)t直線PQ的方程是，其中時(shí)間t 是參數(shù)，將t=3s代入得Q（?8，12）。 例2．求點(diǎn)A（?1，?2）關(guān)于直線l：2x ?3y +1 =0的對(duì)稱點(diǎn)A' 的坐標(biāo)。 解：由條件，設(shè)直線AA' 的參數(shù)方程為 (t是參數(shù))， ∵A到直線l的距離d = ， ∴ t = AA' = ， 代入直線的參數(shù)方程得A' (? ，)。 點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的基本方法是先作垂線，求出交點(diǎn)，再用中點(diǎn)公式，而此處則是充分利用了參數(shù) t 的幾何意義。 二、求解中點(diǎn)問(wèn)題 例3．已知雙曲線 ，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。 分析：中點(diǎn)問(wèn)題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1 +t2=0。 解：設(shè)M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，則直線P1P2的方程是(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2θ ?sin2θ) t2 +2(2x0cosθ ?y0sinθ)t + (2x02 ?y02 ?2) = 0， 由題意t1 +t2=0，即2x0cosθ ?y0sinθ =0，得。 又直線P1P2的斜率 ，點(diǎn)P（2，1）在直線P1P2上， ∴，即2x2 ?y2 ?4x +y = 0為所求的軌跡的方程。 三、求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離 例4．直線l過(guò)點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為(t是參數(shù))，直線l與直線 2x +y ?2 =0 交于點(diǎn)Q，求PQ。 解：將直線l的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入 2x +y ?2 =0得 t' = ， ∴ PQ = | t'| = 。 點(diǎn)評(píng)：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯(cuò)，一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。 例5．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(?1，2)，傾斜角為 的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A，B兩點(diǎn)，求PA +PB和PA · PB的值。 解：直線l的方程可寫成，代入圓的方程整理得：t2 +t?4=0，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1 ，t2，則t1 +t2 = ?，t1 ·t2 = ?4，由t1 與t2的符號(hào)相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 ?t2| = = 3，PA · PB =| t1 · t2 | = 4。 點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù)，二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。 四、求直線與曲線相交弦的長(zhǎng) 例6．已知拋物線y2 = 2px，過(guò)焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：。 分析：弦長(zhǎng)AB = |t1 ?t2|。 解：由條件可設(shè)AB的方程為(t是參數(shù))，代入拋物線方程， 得 t2 sin2 θ ?2pt cos θ ?p2 = 0，由韋達(dá)定理：， ∴ AB = |t1 ?t2| = = = 。 例7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若FA =2FB，求則橢圓的離心率。 分析：FA =2FB轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中的 t1= ?2t2或|t1| =2|t2|。 解：設(shè)橢圓方程為 ，左焦點(diǎn)F1（c，0），直線AB的方程為，代入橢圓整理可得：(b2 +a2)t2 ? b2ct ?b4 = 0，由于t1= ?2t2，則 ，①2×2+②得：，將b2 =a2 ?c2代入， 8 c2 = 3 a2 + a2 ?c2，得 ，故e = 。 在研究線段的長(zhǎng)度或線段與線段之間的關(guān)系時(shí)，往往要正確寫出直線的參數(shù)方程，利用 t 的幾何意義，結(jié)合一些定理和公式來(lái)解決問(wèn)題，這是直線參數(shù)的主要用途；通過(guò)直線參數(shù)方程將直線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用同一參變量 t 來(lái)表示，可以將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題來(lái)求解，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 3