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概率論第三章答案

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概率論第三章答案

習題三 1. 箱子里裝有12只開關,其中只有2 只次品,從箱中隨機地取兩次,每次取一只,且設隨機變量X,Y為 試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情況,寫出X與Y的聯(lián)合分布律. 解:先考慮放回抽樣的情況: 則此種情況下,X與Y的聯(lián)合分布律為 X Y 0 1 0 1 再考慮不放回抽樣的情況 X Y 0 1 0 1 2. 將一硬幣連擲三次,以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值,試寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律. 解:由已知可得:X的取值可能為0,1,2,3;Y的取值可能為1,3;則由硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率各為,可知 X Y 0 1 2 3 0 3 0 0 0 1 3. 把三個球隨機地投入三個盒子中去,每個球投入各個盒子的可能性是相同的,設隨機變量X與Y分別表示投入第一個及第二個盒子中的球的個數(shù),求二維隨機變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布. 解:由已知可得:X的取值可能為0,1,2,3;Y的取值可能為0,1,2,3;則 , , , , 則二維隨機變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布為 X Y 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 4. 設(X,Y)的概率密度為 求: (1) P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x<1,y<3﹜; (2) P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x+y<3﹜. 解:(1) ∵D={(x,y)|x<1,y<3} ∴ (2) ∵D={(x,y)|x+y<3} ∴ 5. 設(X,Y)的概率密度為 求: (1) 系數(shù)c; (2) (X,Y)落在圓內(nèi)的概率. 解:(1) 由,得 ,可求得 (2) 設,則 6. 已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù). 解:∵隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 ∴當x<0,或y<0時,F(xiàn)(x,y)=0; 當時, 當時, 當時, 當時, 綜上可得,X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 7. 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 (1) 求常數(shù)k; (2) 求 P﹛0<x<2,1<y≤3﹜; (3) 求X,Y的邊緣概率密度; (4) 判斷X與Y是否相互獨立. 解:(1) 由概率密度的性質(zhì)有 即 ,有 (2) (3) X的邊緣概率密度為 ∴當0≤x<6時, 當x<0或x≥6時,顯然有 Y的邊緣概率密度為 ∴當0<y<6時, 當y≤0或x≥6時,顯然有 (4) X與Y不相互獨立. 8.已知隨機變量X1和X2的概率分布為 X1 -1 0 1 P X2 0 1 而且P{X1X2=0}=1. (1) 求X1和X2的聯(lián)合分布; (2) 問X1和X2是否獨立?為什么? 解:由,可知必然成立. 由得 同理可得:, 而綜上可得,和的聯(lián)合分布為 X1 X2 -1 0 1 0 1 0 0 1 (2) 可知和不獨立. 9. 設隨機變量X與Y相互獨立,且都服從 上的均勻分布,求方程 有實根的概率. 解:方程有實根的充要條件是, 由于隨機變量X與Y相互獨立,所以隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 下面分兩種情況討論: (1)當時,如圖 記陰影部分為D (2) 當時,如圖 記陰影部分為D, 記空白部分為D1 綜上可得:方程 有實根的概率為 另解:方程有實根的充要條件是 令 則當x<0時則當0≤x≤b2時 由于X與Y都服從上的均勻分布,即其密度函數(shù)各為 當0≤x≤b2時, 當x>b2時顯然有 ∴Z1的概率密度函數(shù)為 而當 當-4b<x<4b時, 當x≤-4b時, ∴Z2的概率密度函數(shù)為 又由于隨機變量X與Y相互獨立,∴Z1 和Z2也相互獨立. 又設Z= Z1 +Z2 而 ∵b>0,而當z≤-4b,時,此時 即 綜上可得:方程 有實根的概率為 10. 設(X,Y)的概率密度為 求邊緣概率密度和 解:X的邊緣概率密度為 ,當x≤0時, 當x>0時, Y的邊緣概率密度為 當x≤0時,,當y>0時, 而 11. 設X,Y相互獨立,其概率密度為 求Z=X+Y的概率密度. 解:由已知得 當z<0時, 當0≤z≤1時, 當z>1時, ∴Z=X+Y的概率密度為 12. 設隨機變量(X,Y)的概率密度為 求Z=X—Y的概率密度. 解:∵Z=X—Y的分布函數(shù)為 ∴Z=X—Y的概率密度為 , ∴Z=X—Y的概率密度為 13. 設隨機變量(X,Y)的概率密度為 求的概率密度. 解:設的分布函數(shù)為 當時, 當時, ∴的概率密度 14. 設二維隨機變量(X,Y)在矩形上服從均勻分布,試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度f(s). 解:由已知可得隨機變量(X,Y)的概率密度為 設邊長為X和Y的矩形面積S的分布函數(shù)為F(s),則 ∴ ∴矩形面積S的概率密度 15.設X和Y為兩個隨機變量,且 求 解: 同理可求 16. 設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 求: (1) (2)邊緣概率密度; (3) 解:(1)由已知,得 同理可知 而 又 (2)X的邊緣概率密度為 由于f(x,y)關于x,y地位的對稱性,得 17. 設X,Y是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,已知X的分布律為又設試寫出變量的分布律及邊緣分布律并求 解:由已知得: 則變量的分布律及邊緣分布律為: 1 2 3 1 2 3 0 0 0 1 而 18. 設X關于Y的條件概率密度為 而Y的概率密度為 求 解:由已知得: 19. 設(X,Y)的概率密度為 求: (1)的概率密度; (2)的概率密度. 解:(1) 設的分布函數(shù)為,概率密度為,則當時, 當時, 當z>1時, 的概率密度為 (2) 設的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,概率密度為, 則當時, 則當時, 則當時, 的概率密度為 20. 假設一電路裝有三個同種電器元件,其工作狀態(tài)相互獨立,且無故障工作時間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布,當三個元件都無故障時,電路正常工作,否則整個電路不能正常工作.試求電路正常工作的時間T的概率分布. 解:用表示第i個電氣元件無故障工作的時間,則相互獨立且同分布,其分布函數(shù)為 設G(t)是T的分布函數(shù). 當t ≤0時,G(t)=0;當t>0時,有 電器正常工作的時間T的概率分布服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 友情提示:部分文檔來自網(wǎng)絡整理,供您參考!文檔可復制、編制,期待您的好評與關注! 20 / 20

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