概率論第三章答案
習題三
1. 箱子里裝有12只開關,其中只有2 只次品,從箱中隨機地取兩次,每次取一只,且設隨機變量X,Y為
試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情況,寫出X與Y的聯(lián)合分布律.
解:先考慮放回抽樣的情況:
則此種情況下,X與Y的聯(lián)合分布律為
X
Y
0 1
0
1
再考慮不放回抽樣的情況
X
Y
0 1
0
1
2. 將一硬幣連擲三次,以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值,試寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.
解:由已知可得:X的取值可能為0,1,2,3;Y的取值可能為1,3;則由硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率各為,可知
X
Y
0 1 2 3
0
3
0
0 0
1
3. 把三個球隨機地投入三個盒子中去,每個球投入各個盒子的可能性是相同的,設隨機變量X與Y分別表示投入第一個及第二個盒子中的球的個數(shù),求二維隨機變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布.
解:由已知可得:X的取值可能為0,1,2,3;Y的取值可能為0,1,2,3;則
,
,
,
,
則二維隨機變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布為
X
Y
0 1 2 3
0
1
2
3
0
0 0
0 0 0
1
4. 設(X,Y)的概率密度為
求:
(1) P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x<1,y<3﹜;
(2) P﹛(x,y)∈D﹜, 其中D=﹛(x,y)|x+y<3﹜.
解:(1) ∵D={(x,y)|x<1,y<3}
∴
(2) ∵D={(x,y)|x+y<3}
∴
5. 設(X,Y)的概率密度為
求:
(1) 系數(shù)c;
(2) (X,Y)落在圓內(nèi)的概率.
解:(1) 由,得
,可求得
(2) 設,則
6. 已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為
求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).
解:∵隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為
∴當x<0,或y<0時,F(xiàn)(x,y)=0;
當時,
當時,
當時,
當時,
綜上可得,X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為
7. 設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為
(1) 求常數(shù)k;
(2) 求 P﹛0<x<2,1<y≤3﹜;
(3) 求X,Y的邊緣概率密度;
(4) 判斷X與Y是否相互獨立.
解:(1) 由概率密度的性質(zhì)有
即 ,有
(2)
(3) X的邊緣概率密度為
∴當0≤x<6時,
當x<0或x≥6時,顯然有
Y的邊緣概率密度為
∴當0<y<6時,
當y≤0或x≥6時,顯然有
(4)
X與Y不相互獨立.
8.已知隨機變量X1和X2的概率分布為
X1
-1 0 1
P
X2
0 1
而且P{X1X2=0}=1.
(1) 求X1和X2的聯(lián)合分布;
(2) 問X1和X2是否獨立?為什么?
解:由,可知必然成立.
由得
同理可得:,
而綜上可得,和的聯(lián)合分布為
X1
X2
-1 0 1
0
1
0
0
1
(2)
可知和不獨立.
9. 設隨機變量X與Y相互獨立,且都服從 上的均勻分布,求方程 有實根的概率.
解:方程有實根的充要條件是,
由于隨機變量X與Y相互獨立,所以隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為
下面分兩種情況討論:
(1)當時,如圖
記陰影部分為D
(2) 當時,如圖
記陰影部分為D, 記空白部分為D1
綜上可得:方程 有實根的概率為
另解:方程有實根的充要條件是
令
則當x<0時則當0≤x≤b2時
由于X與Y都服從上的均勻分布,即其密度函數(shù)各為
當0≤x≤b2時,
當x>b2時顯然有
∴Z1的概率密度函數(shù)為
而當
當-4b<x<4b時,
當x≤-4b時,
∴Z2的概率密度函數(shù)為
又由于隨機變量X與Y相互獨立,∴Z1 和Z2也相互獨立.
又設Z= Z1 +Z2
而
∵b>0,而當z≤-4b,時,此時
即
綜上可得:方程 有實根的概率為
10. 設(X,Y)的概率密度為
求邊緣概率密度和
解:X的邊緣概率密度為
,當x≤0時,
當x>0時,
Y的邊緣概率密度為
當x≤0時,,當y>0時,
而
11. 設X,Y相互獨立,其概率密度為
求Z=X+Y的概率密度.
解:由已知得
當z<0時,
當0≤z≤1時,
當z>1時,
∴Z=X+Y的概率密度為
12. 設隨機變量(X,Y)的概率密度為
求Z=X—Y的概率密度.
解:∵Z=X—Y的分布函數(shù)為
∴Z=X—Y的概率密度為
,
∴Z=X—Y的概率密度為
13. 設隨機變量(X,Y)的概率密度為
求的概率密度.
解:設的分布函數(shù)為
當時,
當時,
∴的概率密度
14. 設二維隨機變量(X,Y)在矩形上服從均勻分布,試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度f(s).
解:由已知可得隨機變量(X,Y)的概率密度為
設邊長為X和Y的矩形面積S的分布函數(shù)為F(s),則
∴
∴矩形面積S的概率密度
15.設X和Y為兩個隨機變量,且
求
解:
同理可求
16. 設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為
求:
(1)
(2)邊緣概率密度;
(3)
解:(1)由已知,得
同理可知
而
又
(2)X的邊緣概率密度為
由于f(x,y)關于x,y地位的對稱性,得
17. 設X,Y是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,已知X的分布律為又設試寫出變量的分布律及邊緣分布律并求
解:由已知得:
則變量的分布律及邊緣分布律為:
1 2 3
1
2
3
0 0
0
1
而
18. 設X關于Y的條件概率密度為
而Y的概率密度為
求
解:由已知得:
19. 設(X,Y)的概率密度為
求:
(1)的概率密度;
(2)的概率密度.
解:(1) 設的分布函數(shù)為,概率密度為,則當時,
當時,
當z>1時,
的概率密度為
(2) 設的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,概率密度為,
則當時,
則當時,
則當時,
的概率密度為
20. 假設一電路裝有三個同種電器元件,其工作狀態(tài)相互獨立,且無故障工作時間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布,當三個元件都無故障時,電路正常工作,否則整個電路不能正常工作.試求電路正常工作的時間T的概率分布.
解:用表示第i個電氣元件無故障工作的時間,則相互獨立且同分布,其分布函數(shù)為
設G(t)是T的分布函數(shù).
當t ≤0時,G(t)=0;當t>0時,有
電器正常工作的時間T的概率分布服從參數(shù)為的指數(shù)分布.
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