2019屆高考數(shù)學總復習 模塊五 解析幾何 第14講 直線與圓學案 理.docx

第14講　直線與圓 1.(1)[2015全國卷Ⅰ]一個圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準方程為　　　　　　　　　　. (2)[2015全國卷Ⅱ]過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.26 B.8 C.46 D.10 [試做] 命題角度　圓的方程 (1)解決圓的方程問題,關鍵一:通過研究圓的性質(zhì)求出圓的基本量. 關鍵二:設出圓的一般方程,用待定系數(shù)法求解. (2)圓的常用性質(zhì):圓心在過切點且垂直切線的直線上;圓心在任一弦的垂直平分線上;兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心共線. 2.(1)[2018全國卷Ⅲ]直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是 (　　) A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32] (2)[2016全國卷Ⅲ]已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=23,則|CD|=　　　　. [試做] 命題角度　直線與圓的問題 關鍵一:求直線被圓所截得的弦長時,一般考慮由弦心距、弦長的一半、半徑所構(gòu)成的直角三角形,利用勾股定理求解. 關鍵二:弦心距可利用點到直線的距離公式求解. 小題1直線的方程及應用 1 (1)已知直線ax+by+1=0與直線4x+3y+5=0平行,且直線ax+by+1=0在y軸上的截距為13,則a+b的值為 (　　) A.-7 B.-1 C.1 D.7 (2)過定點M的直線ax+y-1=0與過定點N的直線x-ay+2a-1=0交于點P(異于M,N),則|PM||PN|的最大值為 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 [聽課筆記] 【考場點撥】 (1)求直線方程主要有直接法和待定系數(shù)法.直接法是選擇適當?shù)男问?直接求出直線方程.待定系數(shù)法是由條件建立含參數(shù)的方程,再據(jù)條件代入求參數(shù)得方程.(2)平行與垂直位置關系問題主要依據(jù):已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0)與直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0),若l1∥l2,則A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0;若l1⊥l2,則A1A2+B1B2=0. 【自我檢測】 1.命題“m=-2”是命題“直線2x+my-2m+4=0與直線mx+2y-m+2=0平行”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2.已知直線l的斜率為3,在y軸上的截距為直線x-2y-4=0的斜率的倒數(shù),則直線l的方程為 (　　) A.y=3x+2 B.y=3x-2 C.y=3x+12 D.y=-3x+2 3.已知直線l經(jīng)過直線l1:x+y=2與l2:2x-y=1的交點,且直線l的斜率為-23,則直線l的方程是 (　　) A.-3x+2y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x+3y-5=0 D.2x-3y+1=0 4.設兩條直線的方程分別為x+y+a=0和x+y+b=0,已知a,b是關于x的方程x2+x+c=0的兩個實根,0≤c≤18,則這兩條直線間的距離的最大值為 (　　) A.24 B.22 C.12 D.2 小題2圓的方程及應用 2 (1)已知一圓的圓心為A(2,-3),圓的某一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上,則此圓的方程是(　　) A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 (2)已知A(-3,0),B(0,4),點C在圓(x-m)2+y2=1上運動,若△ABC的面積的最小值為52,則實數(shù)m的值為(　　) A.12或112 B.-112或12 C.-12或112 D.-112或-12 [聽課筆記] 【考場點撥】 (1)由圓心和半徑可直接得圓的標準方程;(2)過不在同一條直線上的三點可確定一個圓;(3)弦的垂直平分線一定過圓心;(4)與圓上的點有關的問題常轉(zhuǎn)化為圓心的有關問題去處理. 【自我檢測】 1.以(a,1)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0和2x-y-6=0同時相切的圓的標準方程為 (　　) A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5 C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5 2.若直線ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為(　　) A.5 B.5 C.25 D.10 3.已知兩點A(-m,0)和B(2+m,0)(m>0),若在直線l:x+3y-9=0上存在點P,使得PA⊥PB,則實數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.(0,3) B.(0,4) C.[3,+∞) D.[4,+∞) 4.若方程x2+y2-8x+2my+m2+m+10=0 表示圓,則m的取值范圍是　　　　. 小題3直線與圓的位置關系 3 (1)已知圓C:x2+y2=1,點P為直線x+2y-4=0上一動點,過點P向圓C引兩條切線分別為PA,PB,A,B為切點,則直線AB經(jīng)過定點 (　　) A.12,14 B.14,12 C.34,0 D.0,34 (2)已知直線3x-4y+m=0與圓O:x2+y2=4交于A,B兩點,C為圓外一點,若四邊形OACB是平行四邊形,則實數(shù)m的取值范圍為　　　　　　. [聽課筆記] 【考場點撥】 直線與圓的問題:(1)解決直線與圓的位置關系問題主要是利用幾何法,即利用圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷;(2)弦長問題,主要依據(jù)弦長的一半、弦心距、半徑恰構(gòu)成一直角三角形的三邊進行求解;(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點,垂直于過這點的半徑的弦最短. 【自我檢測】 1.已知△ABC的三邊長為a,b,c,直線ax+by+2c=0與圓x2+y2=4相離,則△ABC是 (　　) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上情況都有可能 2.已知直線4x-3y+a=0與圓C:x2+y2+4x=0相交于A,B兩點,且∠AOB=120(O為坐標原點),則實數(shù)a的值為 (　　) A.3 B.10 C.11或21 D.3或13 3.已知圓O:x2+y2=r2(r>0)及圓上的點A(-r,0),過點A的直線l交y軸于點B(0,1),交圓于另一點C,若|AB|=2|BC|,則直線l的斜率為　　　　. 4.點P(x,y)是直線l:kx+y+3=0上一動點,PA,PB是圓C:x2+y2-4y=0的兩條切線,A,B是切點,若四邊形PACB的面積的最小值為2,則k的值為　　　　.  模塊五　解析幾何 第14講　直線與圓 典型真題研析 1.(1)x-322+y2=254　(2)C　[解析] (1)設圓心為(t,0)(t>0),則半徑為4-t,所以4+t2=(4-t)2,解得t=32,所以圓的標準方程為x-322+y2=254. (2)方法一:設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐標代入得方程組D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20,所以圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0,即(x-1)2+(y+2)2=25,所以MN=225-1=46. 方法二:因為kAB=-13,kBC=3,所以kABkBC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC為直角三角形,所以△ABC的外接圓圓心為AC的中點(1,-2),半徑r=12AC=5,所以MN=225-1=46. 方法三:由ABBC=0得AB⊥BC,下同方法二. 2.(1)A　(2)4　[解析] (1)由題意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|=22.圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為|2+0+2|2=22.設點P到直線AB的距離為d,圓(x-2)2+y2=2的半徑為r,則d∈[22-r,22+r],即d∈[2,32],又△ABP的面積S△ABP=12|AB|d=2d,所以△ABP面積的取值范圍是[2,6]. (2)直線l:m(x+3)+y-3=0過定點(-3,3),又|AB|=23,∴|3m-3|1+m22+(3)2=12,解得m=-33.直線方程中,當x=0時,y=23.又(-3,3),(0,23)兩點都在圓上,∴直線l與圓的兩交點為A(-3,3),B(0,23). 設過點A(-3,3)且與直線l垂直的直線為3x+y+c1=0,將(-3,3)代入直線方程3x+y+c1=0,得c1=23.令y=0,得xC=-2,同理得過點B且與l垂直的直線與x軸交點的橫坐標為xD=2,∴|CD|=4. 考點考法探究 小題1 例1　(1)A　(2)D　[解析] (1)因為直線ax+by+1=0與直線4x+3y+5=0平行, 所以3a=4b,又因為直線ax+by+1=0在y軸上的截距為13,所以13b+1=0,解得b=-3,所以a=-4, 所以a+b=-7,故選A. (2)由題意可知,M(0,1). x-ay+2a-1=0,即x-1+a(2-y)=0,則N(1,2). ∵過定點M的直線ax+y-1=0與過定點N的直線x-ay+2a-1=0始終垂直,P又是兩條直線的交點, ∴PM⊥PN, ∴|PM|2+|PN|2=|MN|2=2. 故|PM||PN|≤|PM|2+|PN|22=1,當且僅當|PM|=|PN|=1時取等號. 【自我檢測】 1.C　[解析] 當兩直線平行時,m2=4,m=2,若m=2,則兩直線均為x+y=0;若m=-2,則兩直線分別為x-y+4=0,x-y-2=0.所以“m=-2”是“直線2x+my-2m+4=0與直線mx+2y-m+2=0平行”的充要條件,故選C. 2.A　[解析] ∵直線x-2y-4=0的斜率為12,∴直線l在y軸上的截距為2,∴直線l的方程為y=3x+2,故選A. 3.C　[解析] 解方程組x+y=2,2x-y=1,得x=1,y=1,所以兩直線的交點為(1,1).因為直線l的斜率為-23,所以直線l的方程為y-1=-23(x-1),即2x+3y-5=0.故選C. 4.B　[解析] 因為a,b是方程x2+x+c=0的兩個實根, 所以a+b=-1,ab=c.兩條直線間的距離d=|a-b|2, 所以d2=(a+b)2-4ab2=1-4c2. 因為0≤c≤18, 所以12≤1-4c≤1, 即d2∈14,12,所以兩條直線間的距離的最大值為22,故選B. 小題2 例2(1)A　(2)D　[解析] (1)設該直徑的兩個端點分別為P(a,0),Q(0,b), 則A(2,-3)是線段PQ的中點, 所以P(4,0),Q(0,-6),圓的半徑r=|PA|=(4-2)2+32=13. 故圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13.故選A. (2)直線AB:x-3+y4=1,即4x-3y+12=0, 若△ABC的面積最小,則點C到直線AB的距離d最小, 易知dmin=|4m+12|5-1, 又∵△ABC的面積的最小值為52, ∴125|4m+12|5-1=52, 即|4m+12|=10, 解得m=-112或-12.故選D. 【自我檢測】 1.A　[解析] 由題易知,圓心在直線2x-y-1=0上, 將點(a,1)代入上式可得a=1,即圓心為(1,1),半徑r=|2-1+4|5=5, ∴圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=5. 2.B　[解析] 由直線ax+by+1=0始終平分圓M,知直線ax+by+1=0必過圓M的圓心, 由圓的方程可得圓心為M(-2,-1), 代入ax+by+1=0中,可得2a+b-1=0. (a-2)2+(b-2)2表示點(2,2)與點(a,b)之間的距離的平方. 點(2,2)到直線2a+b-1=0的距離d=|22+21-1|5=5, 所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為5,故選B. 3.C　[解析] 以AB為直徑的圓的方程為(x-1)2+y2=(1+m)2. 若在直線l:x+3y-9=0上存在點P,使得PA⊥PB,則直線l與圓有公共點, 所以|1-9|2≤1+m,解得m≥3.故選C. 4.(-∞,6)　[解析] 方程x2+y2-8x+2my+m2+m+10=0, 即(x-4)2+(y+m)2=6-m, 由方程表示圓,可得6-m>0, 解得m<6, 故m的取值范圍為(-∞,6). 小題3 例3　(1)B　(2)(-10,-5)∪(5,10)　[解析] (1)設P(4-2m,m).∵PA,PB是圓C的切線,A,B為切點,∴CA⊥PA,CB⊥PB,∴AB是圓C與以PC為直徑的圓的公共弦.易知以PC為直徑的圓的方程為[x-(2-m)]2+y-m22=(2-m)2+m24①, 圓C的方程為x2+y2=1②, ①-②得直線AB的方程為2(2-m)x+my=1,即4x-14+m(y-2x)=0,∴直線AB恒過定點14,12,故選B. (2)如圖所示,∵四邊形OACB是平行四邊形,且OA=OB, ∴平行四邊形OACB是菱形,∴OC⊥AB. 設OC,AB相交于點E, 則|AE|=|BE|,|OE|=|CE|. 圓心O到直線3x-4y+m=0的距離為|OE|=|m|32+(-4)2=|m|5, ∴|OC|=2|m|5. ∵點C在圓外,點E在圓內(nèi),∴1<|m|5<2, 解得5<m<10或-10<m<-5, ∴實數(shù)m的取值范圍是(-10,-5)∪(5,10). 【自我檢測】 1.C　[解析] ∵直線ax+by+2c=0與圓x2+y2=4相離, ∴圓心到直線ax+by+2c=0的距離|2c|a2+b2>2,即c2>a2+b2, 故△ABC是鈍角三角形. 2.D　[解析] 圓C的標準方程為(x+2)2+y2=4, 作CD⊥AB于點D,由圓的性質(zhì)可知△ABC為等腰三角形,其中|CA|=|CB|.由∠AOB=120, 易得|CD|=1,即圓心(-2,0)到直線4x-3y+a=0的距離d=1, 即|-8+0+a|42+(-3)2=1,即|a-8|=5,解得a=3或13. 3.33或3　[解析] 由題知,直線l的方程為y-1x=1r,即x-ry+r=0, 聯(lián)立直線與圓的方程x2+y2=r2,x-ry+r=0,得Cr3-rr2+1,2r2r2+1, ∵|AB|=2|BC|, ∴r2+1=2r3-rr2+12+2r2r2+1-12, 解得r=3或r=33, ∴直線l的斜率k=1r=13=33或k=1r=133=3. 4.2　[解析] 根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示, 圓C的標準方程為x2+(y-2)2=4, 由題易得S四邊形PACB=2S△PCB=212|PB||BC|=2|PB|=2|PC|2-|BC|2=2|PC|2-4, ∴當|PC|取得最小值時,四邊形PACB的面積取得最小值. 而|PC|的最小值即為點C到直線l:kx+y+3=0的距離d, d=|k0+12+3|k2+1=5k2+1. ∵2d2-4=2, ∴d=5, 則5k2+1=5, 解得k2=4, 即k=2. [備選理由] 例1在直線與圓的位置關系的基礎上,考查圓的面積的計算,需要從特殊的等邊三角形入手分析;例2考查直線與圓的綜合問題,涉及圓的方程的確定,點到直線及兩點間的距離問題等;例3在直線與圓的位置關系的基礎上,考查最值問題,理解不難,但運算量大,對培養(yǎng)學生的計算與求解能力有所幫助. 例1　[配例3使用]已知直線y=ax與圓C:x2+y2-2ax-2y+2=0交于A,B兩點,且△CAB為等邊三角形,則圓C的面積為　　　　. [答案] 6π [解析] 圓C的標準方程為(x-a)2+(y-1)2=a2-1, 則圓心C(a,1),半徑R=a2-1. ∵直線y=ax和圓C交于A,B兩點,且△CAB為等邊三角形, ∴圓心C到直線ax-y=0的距離為Rsin 60=32a2-1,又∵圓心C到直線ax-y=0的距離d=|a2-1|a2+1, ∴|a2-1|a2+1=32a2-1, 解得a2=7, ∴圓C的面積為πR2=π(7-1)=6π. 例2　[配例3使用]已知圓C經(jīng)過原點O且圓心在x軸正半軸上,經(jīng)過點N(-2,0)且傾斜角為30的直線l與圓C相切于點Q,點Q在x軸上的射影為點P,設點M為圓C上的任意一點,則|MN||MP|=(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 [解析] C　如圖所示,由題可知直線l:y=33(x+2),即x-3y+2=0. 設圓心C(a,0)(a>0),則|a+2|12+(3)2=a,得a=2, 所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4. 由圖易知,|PC|=1,則|OP|=1,則P(1,0). 設M(x,y),則|MN|2|MP|2=(x+2)2+y2(x-1)2+y2=x2+y2+4x+4x2+y2-2x+1, 將圓C的方程x2+y2=4x代入得|MN|2|MP|2=8x+42x+1=4, 所以|MN||MP|=2,故選C. 例3　[配例3使用] 直線ax+ay-1=0與圓a2x2+a2y2-2a+1=0有公共點(x0,y0),則x0y0的最大值為 (　　) A.-14 B.49 C.43 D.2 [解析] B　因為直線ax+ay-1=0與圓a2x2+a2y2-2a+1=0有公共點(x0,y0), 所以圓心到直線的距離d不大于圓的半徑,易知d=|-1|2a2,則0≤12a2≤2a-1a2,解得a≥34. 由ax0+ay0=1,a2x02+a2y02-2a+1=0,即a2x02+a2y02+2a2x0y0=1,a2x02+a2y02-2a+1=0, 得2a2x0y0+2a-1=1,所以x0y0=1-aa2=1a2-1a. 設1a=t,則0<t≤43,則x0y0=t2-t=t-122-14,0<t≤43, 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當t=43時,x0y0取得最大值49,故選B.