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1、§3.3 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題
§3.3.1 二元一次不等式(組)與平面區(qū)域
對(duì)點(diǎn)講練
一、二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
例1 畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域.
(1)2x-y-6≥0; (2)
解 (1)如圖1,先畫出直線2x-y-6=0,取原點(diǎn)O(0,0)代入2x-y-6中,因?yàn)?×0-1×0-6=-6<0,所以在直線2x-y-6=0左上方的所有點(diǎn)(x,y)都滿足2x-y-6<0,故直線2x-y-6=0右下方的區(qū)域就是2x-y-6>0,因此2x-y-6≥0表示直線右下方的區(qū)域(包含邊界);
圖1 圖2
(2)先畫出直線
2、x-y+5=0(畫成實(shí)線),如圖2取原點(diǎn)O(0,0),代入x-y+5,因?yàn)?-0+5=5>0,所以原點(diǎn)在x-y+5>0表示的平面區(qū)域內(nèi),即x-y+5≥0表示直線x-y+5=0上及其右下方的點(diǎn)的集合,同理可得,x+y≥0表示直線x+y=0上及其右上方的點(diǎn)的集合,x≤3表示直線x=3上及其左方的點(diǎn)的集合.
總結(jié) 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分,但要注意是否包含邊界.
?變式訓(xùn)練1 畫出不等式組表示的區(qū)域.
解
不等式x<3表示直線x=3左側(cè)點(diǎn)的集合;不等式2y≥x即x-2y≤0表示直線x-2y=0上及左上方點(diǎn)的集合
3、;不等式3x+2y≥6,
即3x+2y-6≥0表示直線3x+2y-6=0上及右上方點(diǎn)的集合;不等式3y0表示直線x-3y+9=0右下方點(diǎn)的集合.綜上可得,不等式組表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分.
二、平面區(qū)域的面積問(wèn)題
例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為( )
A.2 B.1 C. D.
解析 記 則
即
作出可行域可知
4、面積為1.
答案 B
?變式訓(xùn)練2 若A為不等式組表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為 .
答案
解析
如圖所示,區(qū)域A表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱋BC內(nèi)部及其邊界組成的圖形,當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí)掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樗倪呅蜲DEC所圍成的區(qū)域.
又D(0,1),B(0,2),E,C(2,0).
S四邊形ODEC=S△OBCS△BDE=.
三、平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題
例3 利用平面區(qū)域求不等式組的整數(shù)解.
分析 先畫出平面區(qū)域,再用代入法逐個(gè)驗(yàn)證.
解 把x=3代入6x+7y≤50,得
y≤4,又∵y≥2
5、,∴整點(diǎn)有:(3,2)(3,3)(3,4);
把x=4代入6x+7y≤50,得y≤,
∴整點(diǎn)有:(4,2)(4,3).
把x=5代入6x+7y≤50,得y≤,
∴整點(diǎn)有:(5,2);
把x=6代入6x+7y≤50,得y≤2,整點(diǎn)有(6,2);
把x=7代入6x+7y≤50,得y≤,與y≥2不符.
∴整數(shù)解共有7個(gè)為(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2).
總結(jié) 求某個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn),一般采用代入驗(yàn)證法來(lái)求,要做到不漏掉任何一個(gè)整點(diǎn).
?變式訓(xùn)練3 畫出2x-3
6、y≤3?
平面區(qū)域如圖所示:
而其中的正整數(shù)解為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3),共5組.
課堂小結(jié):
1.二元一次不等式(組)的解集對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)平面的一個(gè)區(qū)域,該區(qū)域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足不等式(組).常用特殊點(diǎn)法確定二元一次不等式表示的是直線哪一側(cè)的部分.
2.畫平面區(qū)域時(shí),注意邊界線的虛實(shí)問(wèn)題.
3.求平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),要有一個(gè)明確的思路不可馬虎大意,常先確定x的范圍,再逐一代入不等式組,求出y的范圍最后確定整數(shù)解的個(gè)數(shù).
課時(shí)作業(yè)
一、選擇題
1.已知點(diǎn)(-1,2)和(3,-3)在直線3x+y-a=0的兩側(cè),則a的取值范圍是( )
7、
A.a(chǎn)∈(-1,6) B.a(chǎn)∈(-6,1)
C.a(chǎn)∈(-∞,-1)∪(6,+∞) D.a(chǎn)∈(-∞,-6)∪(1,+∞)
答案 A
2.如圖所示,表示滿足不等式(x-y)(x+2y-2)>0的點(diǎn)(x,y)所在的區(qū)域?yàn)? )
答案 B
解析 不等式(x-y)(x+2y-2)>0等價(jià)于不等式組
(Ⅰ)或不等式組(Ⅱ)分別畫出不等式組(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面區(qū)域,再求并集,可得正確答案為B.
3.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.2個(gè) B.4個(gè)
8、 C.6個(gè) D.8個(gè)
答案 C
解析 畫出可行域后,可按x=0,x=1,x=2,x=3分類代入檢驗(yàn),符合要求的點(diǎn)有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共6個(gè).
4.若平面區(qū)域D的點(diǎn)(x,y)滿足不等式組,則平面區(qū)域D的面積是( )
A.+ B.1+ C.+ D.1+
答案 B
解析 畫出平面區(qū)域,如圖,陰影部分面積S=1+.
5.(2009·天津?yàn)I海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組(a為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9,那么實(shí)數(shù)a的值為( )
A.3+2
9、 B.-3+2 C.-5 D.1
答案 D
解析 區(qū)域如圖,易求得A(2,2),B(a,a+4),C(a,a).
S△ABC=1/2|BC|·|a+2|=(a+2)2=9,得a=1.
二、填空題
6.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),則△ABC的內(nèi)部及邊界所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式組是________________.
答案
解析
如圖直線AB的方程為x+2y1=0(可用兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式寫出)
直線AC的方程為2x+y5=0
直線BC的方程為xy+2=0
把(0,0)代入2x+y5=5<0
∴A
10、C左下方的區(qū)域?yàn)?x+y-5<0.
∴同理可得△ABC區(qū)域(含邊界)為.
7.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于________.
答案
解析
平面區(qū)域如圖.
解 得
易得
8.已知點(diǎn)A(5,5),過(guò)點(diǎn)A的直線l:x=my+n (n>0),若可行域的外接圓的直徑為20,則實(shí)數(shù)n=________.
答案 10
解析
可行域如圖所示,設(shè)直線l:x=my+n的傾斜角為α,
則
又點(diǎn) 在直線 上
時(shí),
又n>0, 不合題意,舍去,
當(dāng)時(shí),
三、解答題
9.畫出不等式組所表示的平面區(qū)域并求其面積.
解
如圖所示,其中的陰影部分便是欲表示的平面區(qū)域.
由 得,
同理得
而點(diǎn)B 到直線距離為
10.畫出不等式組表示的平面區(qū)域,并求其中的整數(shù)解(x,y).
解 作出平面區(qū)域,如圖所示.
可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)
故的范圍是<,<,
其中整數(shù)是
結(jié)合圖形并經(jīng)檢驗(yàn)可得整數(shù)解有
(0,0),(0, 1),(1,0),(1, 1),(2, 2).