事故樹的定性分析.ppt

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1 3 3事故樹的定性分析 2 教學目的與要求 1 掌握事故樹分析的數學基礎 事故樹的結構函數 單調關聯系統2 熟悉事故樹的化簡3 掌握最小割集 最小徑集的幾種求法 3 一 布爾代數的基本知識 1 邏輯運算邏輯運算的對象是命題邏輯運算的基本運算有三種 即邏輯加 邏輯乘 邏輯非 4 a 邏輯加 給定兩個命題A B 對它們進行邏輯運算后構成的新命題為S 若A B兩者有一個成立或同時成立 S就成立 否則S不成立 則這種A B間的邏輯運算叫做邏輯加 也叫 或 運算 構成的新命題S 叫做A B的邏輯和 記作A B S或記作A B S 均讀作 A B 邏輯加相當于集合運算中的 并集 根據邏輯加的定義可知 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 5 給定兩個命題A B 對它們進行邏輯運算后構成新的命題P 若A B同時成立 P就成立 否則P不成立 則這種A B間的邏輯運算 叫做邏輯乘 也叫 與 運算 構成的新命題P叫做A B的邏輯積 記作A B P 或記作A B P 也可記作AB P 均讀作A乘B 邏輯乘相當于集合運算中的 交集 根據邏輯乘的定義可知 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 b 邏輯乘 6 給定一個命題A 對它進行邏輯運算后 構成新的命題為F 若A成立 F就不成立 若A不成立 F就成立 這種對A所進行的邏輯運算 叫做命題A的邏輯非 構成的新命題F叫做命題A的邏輯非 A的邏輯非記作 讀作 A非 邏輯非相當于集合運算的求 補集 根據邏輯非的定義 可以知道 0 1 1 0 c 邏輯非 7 2 邏輯運算的常用法則 定理1 A 對合律 定理2 A B B A AB BA 交換律 定理3 A B C A B CA BC AB C 結合律 定理4 A BC A B A C A B C AB AC 分配律 定理5 A A A A A A 等冪律 推論 A A A A A A A A 8 定理6 A 1 A 0定理7 A 0 A A 1 A定理8 A 1 1 A 0 0定理9 A AB AA A B A 吸收律 在事故樹分析中 A AB A A A A 和 A A A 幾個法則用得較多 9 二 概率論的基本知識 1 相互獨立事件一個事件發(fā)生與否不受其他事件的發(fā)生與否的影響 假定有A1 A2 A3 An個事件 其中每一個事件發(fā)生與否都不受其他事件發(fā)生與否的影響 則稱A1 A2 A3 An為獨立事件 10 不能同時發(fā)生的事件 一個事件發(fā)生 其他事件必然不發(fā)生 它們之間互相排斥 互不相容 假定有A1 A2 A3 An個事件 A1發(fā)生時 A2 A3 An必然不發(fā)生 A2發(fā)生時 A1 A3 An事件必須不發(fā)生 則A1 A2 A3 An事件稱為互斥事件 2 相互排斥事件 11 一個事件發(fā)生與否受其他事件的約束 即在其他事件發(fā)生的條件下才發(fā)生的事件 設A B兩事件 B事件只有在A事件發(fā)生的情況下才發(fā)生 反之亦然 則A B事件稱為相容事件 在事故樹分析中 遇到的基本事件大多數是獨立事件 3 相容事件 12 4 n個獨立事件的概率和其計算公式是 P A1 A2 A3 An 1 1 P A1 1 P A2 1 P A3 1 P An 式中 P為獨立事件的概率 13 5 n個獨立事件的概率積其計算公式是 P A1 A2 A3 An P A1 P A2 P A3 P An 14 三 事故樹分析的數學基礎1 事故樹的結構函數結構函數是描述系統狀態(tài)的函數 它完全取決于元 部件的狀態(tài) 通常假定任何時間 元 部件和系統只能取正?；蚬收蟽煞N狀態(tài) 并且任何時刻系統的狀態(tài)由元 部件狀態(tài)唯一決定 假設系統由n個單元 即元 部件 組成 且下列二值變量xi對應于各單元的狀態(tài)為 結構函數 描述系統狀態(tài)的函數 15 y X 或y x1 x2 xn X 系統的結構函數 16 與門結構 與門的結構函數 只有所有基本事件發(fā)生時 頂上事件才發(fā)生 根據布爾代數運算法則 它是邏輯 與 邏輯乘 的關系 其邏輯式為 這就是與門結構函數 用代數算式表示為 式中 中取最小值 即只要有一個最小的 0 正常 則整個系統為 0 正常 17 或門的結構函數 或門結構 只要有一個或一個以上基本事件發(fā)生時 頂上事件就發(fā)生 根據布爾代數運算法則 它是邏輯 或 邏輯加 的關系 其邏輯式為 當僅取0 1二值時 結構函數可寫成 式中 從 中取最大值 即只要其中有一個最大的 1 故障 整個系統就為 1 故障 這就是或門結構函數 用代數算式表示為 18 復雜系統的結構函數由與門和或門組成的事故樹 根據邏輯乘與邏輯加的關系 可以寫出其結構函數 則其結構函數為 19 2 單調關聯系統單調關聯系統是指系統中任一組成單元的狀態(tài)由正常 故障 變?yōu)楣收?正常 而不會使系統的狀態(tài)由故障 正常 變?yōu)檎?故障 的系統 也就是說 系統每個元 部件對系統的功能 可靠性 發(fā)生影響 如果系統中所有元 部件發(fā)生故障 則系統一定呈故障狀態(tài) 反之 所有元 部件正常 系統一定正常 20 而且 當故障的元 部件經過修復轉為正常時系統不會由正常轉為故障 反之 正常部件故障不會使系統由故障轉為正常 根據以上特點 單調關聯系統的結構函數具有下述性質 不含有多余元 部件 第i個元 部件正常與否 與系統正常與否無關 這樣 第i個元 部件就是邏輯多余元 部件 含有邏輯多余元 部件的系統不是單調關聯系統 組成系統的所有元 部件都正常 系統一定正常 反之 所有元 部件發(fā)生故障 系統一定發(fā)生故障 21 系統中正常元 部件發(fā)生故障時 系統不可能出現由故障狀態(tài)轉為正常狀態(tài) 這就體現了結構函數的單調性 或門結構 串聯系統 是單調關聯系統不可靠性的上限 而與門結構 并聯系統 則是單調關聯系統的下限 由與門和或門結構組成的事故樹都是單調關聯系統 22 練習1 寫出如下事故樹的結構函數 23 練習2 寫出如下事故樹的結構函數 24 四 事故樹的化簡 1 事故樹化簡的必要性在同一事故中包含有2個或2個以上的相同基本事件時 若不進行化簡 則可能產生結果的錯誤 為說明這一問題 試看例題 25 且q1 q2 q3 0 1 x1 x2 x3相互獨立 例 26 解 不化簡時 所求出的T發(fā)生的概率為 T A1 A2 x1 x2 x1 x3 P x1 x2 P x1 P x2 q1 q2n又 P A1 A2 An 1 1 P Ai i 1 P x1 x3 1 1 q1 1 q3 則P T q1 q2 1 1 q1 1 q3 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0019 27 化簡后 求出的T發(fā)生的概率為 T A1 A2 x1 x2 x1 x3 x1 x2 x1 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 P T P x1 x2 P x1 P x2 0 1 0 1 0 01 28 由上面計算 兩種算法得到的結果不同 哪一個結果是正確的 這又是為什么呢 這是因為在事故樹結構中 存在著多余的事件x3 所謂多余事件 指的是它的發(fā)生與頂上事件的發(fā)生無關 由于x3是多余的 所以若在計算時 無事先進行簡化 則發(fā)生錯誤 所以P T 0 01 故說明化簡的必要性 29 化簡后的事故樹也可用其 等效圖 來表示 T x1 x2 它表明 只要x1和x2同時發(fā)生 T就發(fā)生 所以 計算頂上概率時 應按其等效圖計算 30 2 事故樹化簡舉例 例 將下列事故樹化簡 31 解 T x1 A x1 x1 x2 x1 所以 其等效圖為 32 例2化簡事故樹 33 等效事故樹 34 練習1 化簡該事故樹 并做出等效圖 35 等效事故樹 36 練習2 化簡該事故樹 并做出等效圖 37 等效事故樹 38 五 最小割集與最小徑集在事故樹分析中 最小割集與最小徑集的概念起著非常重要的作用 事故樹定性分析的主要任務是求出導致系統故障 事故 的全部故障模式 通過對最小割集或最小徑集的分析 可以找出系統的薄弱環(huán)節(jié) 提高系統的安全性和可靠性 39 1 割集和最小割集割集是圖論中的一個重要的概念 事故樹分析中的割集指的是導致頂上事件發(fā)生的基本事件組合 也稱作截集或截止集 系統的割集也就是系統的故障模式 40 如果在某個割集中任意除去一個基本事件就不再是割集了 這樣的割集就稱為最小割集 換句話說 也就是導致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件組合 因此 研究最小割集 實際上是研究系統發(fā)生事故的規(guī)律和表現形式 發(fā)現系統最薄弱環(huán)節(jié) 由此可見 最小割集表示了系統的危險性 41 2 最小割集的求法最小割集的求法有多種 常用的方法有布爾代數化簡法 行列法 結構法 質數代入法和矩陣法等 這是僅就常用的布爾代數化簡法和行列法做一簡介 a 布爾代數化簡法事故樹經過布爾代數化簡 得到若干交集的并集 每個交集實際就是一個最小割集 下面以圖示的事故樹為例 利用布爾代數化簡法求其最小割集 42 圖1某事故樹示意圖 46 58 43 結果得7個交集的并集 這7個交集就是7個最小割集 即 44 圖2圖1事故樹的等效圖 45 b 行列法行列法又稱下行法 這種方法是1972年由 富塞爾 Fussel 提出 所以又稱為富塞爾法 該算法的基本原理是從頂上事件開始 由上往下進行 與門僅增加割集的容量 即割集內包含的基本事件的個數 而不增加割集的數量 或門則增加割集的數量 而不增加割集的容量 46 每一步按上述的原則 由上而下排列 把與門連接的輸入事件橫向排列 把或門連接的輸入事件縱向排列 這樣逐層向下 直到全部邏輯門都置換成基本事件為止 得到的全部事件積之和 即是布爾割集 BICS 再經布爾代數化簡 就可得到若干最小割集 下面仍以圖1所示的事故樹為例 求最小割集 47 頂上事件與下一層的中間事件是用或門連接的 故T被代替時 縱向排列 與下一層事件之間也是或門連接的 故被代替時 仍然是縱向排列 48 與下一層事件之間是與門連接的 故被代替時 要橫向排列 而與下層事件是或門連接的 故被代替時 要縱向排列 49 50 51 這與第一種算法的結果是一致的 上述兩種算法相比 布爾代數化簡法較為簡單 但行列法便于用計算機輔助計算最小割集 故國際上仍普遍使用行列法 52 六 徑集和最小徑集徑集是割集的對偶 當事故樹中某些基本事件的集合都不發(fā)生時 頂上事件就不發(fā)生 這種基本事件的集合稱為徑集 也叫路集或通集 所以系統的徑集也就代表了系統的正常模式 即系統成功的一種可能性 最小徑集 如果在某個徑集中任意除去一個基本事件就不再是徑集了 或者說 使事故樹頂上事件不發(fā)生的最低限度的基本事件組合 這樣的徑集就稱為最小徑集 53 研究最小徑集 實際上是研究保證正常運行需要哪些基本環(huán)節(jié)正常發(fā)揮作用的問題 它表示系統不發(fā)生事故的幾種可能方案 即表示系統的可靠性 a 對偶 對偶系統及對偶樹設系統S有一個結構函數 現定義一個新的結構函數使式中 稱為為的對偶結構函數 以為結構函數的系統稱為系統S的對偶系統 54 由于有 所以的對偶系統是S 對偶是相互的 故稱為相互對偶系統 相互對偶系統有如下基本性質 S的割集是的徑集 反之亦然 S的最小割集是的最小徑集 反之亦然 55 利用相互對偶系統的定義 可根據某系統的事故樹建造其對偶樹 具體做法是 只要把原事故樹中的與門改為或門 或門改為與門 其他的如基本事件 頂上事件不變 即可建造對偶樹 根據相互對偶系統的基本性質 則事故樹的最小割集就是對偶樹的最小徑集 因此 求事故樹最小割集的方法 同樣可用于對偶樹 56 b 成功樹在對偶樹的基礎上 再把其基本事件及頂上事件T改成它們的補事件 即各事件發(fā)生改為不發(fā)生 就可得到成功樹 如圖3所示 57 圖3事故樹 成功樹的變換示例 例1 以圖1為例 畫出其成功樹 求原樹的最小徑集 解 首先畫成功樹 見圖4 58 圖4圖1事故樹的成功樹 59 用布爾代數化簡法求成功樹的最小割集如下 由此得到成功樹的兩個最小割集 根據相互對偶關系 也就是原事故樹的兩個最小徑集 即 60 例2 圖5是某系統的事故樹 求其最小割集 畫出成功樹 求最小徑集 解 用布爾代數化簡法求最小割集 圖5某系統的事故樹的示意圖 61 得到9個最小割集 分別為 62 畫出的成功樹見圖圖6 最后用布爾代數化簡法求最小徑集 圖6圖5事故樹的成功樹 63 得到成功樹的三個最小割集 根據相互對偶的關系 也就是事故樹的三個最小徑集 分別為 如果將成功樹最后經布爾代數化簡的結果再換為事故樹 則 64 這樣 就形成了三個并集的交集 根據最小徑 割 集的定義 可做出其等效圖如圖7所示 a 用最小割集表示 圖7圖5事故樹的等效圖 65 b 用最小徑集表示 66 七 判別割 徑 集數目的方法從上例可看出 同一事故樹中最小割集和最小徑集數目是不相等的 如果在事故樹中與門多 或門少 則最小割集的數目較少 反之 若或門多與門少 則最小徑集數目較少 在求最小割 徑 集時 為了減少計算工作量 應從割 徑 集數目較少的入手 67 遇到很復雜的系統 往往很難根據邏輯門的數目來判定割 徑 集的數目 在求最小割集的行列法中曾指出 與門僅增加割集的容量 即基本事件的個數 而不增加割集的數量 或門則增加割集的數量 而不增加割集的容量 根據這一原理 下面介紹一種用 加乘法 求割 徑 集數目的方法 該法給每個基本事件賦值為1 直接利用 加乘法 求割 徑 集數目 但要注意 求割集數目和徑集數目 要分別在事故樹和成功樹上進行 68 如圖8所示 首先根據事故樹畫出成功樹 再給各基本事件賦與 1 然后根據輸入事件與輸出事件之間的邏輯門確定 加 或 乘 若遇到或門就用 加 遇到與門則用 乘 割集數目徑集數目 69 a 事故樹 b 成功樹圖8用 加乘法 求割 徑集數目 70 從上例可看出 割集數目比徑集數目多 此時用徑集分析要比用割集分析簡單 如果估算出某事故樹的割 徑集數目相差不多 一般從分析割集入手較好 這是因為最小割集的意義是導致事故發(fā)生的各種途徑 得出的結果簡明 直觀 另外 在做定量分析時 用最小割集分析 還可采用較多的近似公式 而最小徑集則不能 必須注意 用上述方法得到的割 徑集數目 不是最小割 徑集的數目 而是最小割 徑集的上限 只有當事故樹中沒有重復事件時 得到的割 徑集的數目才是最小割 徑集數 71 八 最小割集與最小徑集在事故樹分析中的意義1 最小割集表示系統的危險性 求解出最小割集可以掌握事故發(fā)生的各種可能 了解系統危險性的大小 為事故調查和事故預防提供依據 2 最小徑集表示系統的安全性 求出最小徑集 可知道要使事故不發(fā)生 需控制住哪幾個基本事件能使頂上事件不發(fā)生 并可知道有幾種可能的預防方案 72 3 從最小割集能直觀地 概略地看出哪種事故發(fā)生后 對系統危險性影響最大 哪種稍次 哪種可以忽略 以及如何采取措施使事故發(fā)生概率迅速下降 4 利用最小割集和最小徑集可以直接排出結構重要度的順序 5 根據最小徑集 選擇控制事故的最佳方案 6 利用最小割集和最小徑集計算頂上事件的發(fā)生概率和定量分析