陜西省漢中市陜飛二中高三數(shù)學二輪復習 專題三第三講 推理與證明課件

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1、第三講第三講 推理與證明推理與證明1合情推理合情推理(1)歸納推理歸納推理歸納推理是由某類事物的歸納推理是由某類事物的 具有某些特征，推出該具有某些特征，推出該類事物的類事物的 都具有這些特征的推理，或者由個別事實都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出概括出 的推理的推理歸納推理的思維過程如下：歸納推理的思維過程如下：部分對象全部對象一般結論(2)類比推理類比推理類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理類比推理的思維過程如下：類比推

2、理的思維過程如下：2演繹推理演繹推理“三段論三段論”是演繹推理的一般模式，包括：是演繹推理的一般模式，包括：(1)大前提大前提已知的一般原理已知的一般原理(2)小前提小前提所研究的特殊情況所研究的特殊情況(3)結論結論根據一般原理，對特殊情況做出的判斷根據一般原理，對特殊情況做出的判斷3直接直接證明證明(1)綜合法綜合法用用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所表示所要要證明證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：的結論，則綜合法可用框圖表示為：(2)分析法分析法用用Q表示要表示要證明證明的結論，則分析法可用框圖表示為：的結論，則分析法可用框圖表

3、示為：4間接證明間接證明用反證法證明命題用反證法證明命題“若若p則則q”的過程可以用如圖所示的框圖的過程可以用如圖所示的框圖表示表示5數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關命題的步驟為：有關命題的步驟為：(1)證明當證明當n取第一個值取第一個值n0時命題成立；時命題成立；(2)假設假設nk(kn0，kN)時命題成立，時命題成立，證明證明當當nk1時命時命題也成立；題也成立；(3)得出結論得出結論1(2011江西江西)觀察下列各式：觀察下列各式：7249,73343,742 401，則，則72 011的末兩位數(shù)字為的末兩位數(shù)字為A01B43C07 D49解析解

4、析因為因為717,7249,73343,742 401,7516 807，76117 649，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期期T4.又因為又因為2 01145023，所以，所以72 011的末兩位數(shù)字與的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同，故選的末兩位數(shù)字相同，故選B.答案答案B答案答案C3(2011陜西陜西)觀察下列等式觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第照此規(guī)律，第n個等式為個等式為_解析解析112,234932,345672552，第第n個等式為個等式為n(n1)(3n2)(2n1)2.答案答案n(n1

5、)(3n2)(2n1)24(2011福建福建)設設V是全體平面向量構成的集合若映射是全體平面向量構成的集合若映射f：VR滿足：對任意向量滿足：對任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以，以及任意及任意R，均有，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，則稱映，則稱映射射f具有性質具有性質P，現(xiàn)給出如下映射：現(xiàn)給出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V.其中，具有性質其中，具有性質P的映射的序號為的映射的序號為_(寫出所有具有寫出所有具有性質性質P的映射的序號的映射的序號)解析解

6、析a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)對于對于，f1(m)xy，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2)而而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性質具有性質P.對于對于，f2(m)x2y，設，設a(0,0)，b(1,2)，a(1)b(1，2(1)，f(a(1)b)(1)22(1)243，而而f(a)(1)f(b)(020)(1)(122)3(1)，又又是任意實數(shù)，是任意實數(shù)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，故，故不具有性質不具有性質P.對于對于，f3

7、(m)xy1，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21(x1y1)(1)(x2y2)1，又又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1)(x2y21)(x1y1)(1)(x2y2)(1)(x1y1)(1)(x2y2)1，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性質具有性質P.綜上，具有性質綜上，具有性質P的映射的序號為的映射的序號為.答案答案推理與證明是數(shù)學的基本思維過程，它有機地滲透到高中課推理與證明是數(shù)學的基本思維過程，它有機地滲透到高中課程的各個章節(jié)，是高考考查的重點對象，特別是合情推理能程的各個章節(jié)，是高考考查的重點對象，特別是合情推理能力，高考對本部分的內容，主要考查歸納和類比

8、推理以及綜力，高考對本部分的內容，主要考查歸納和類比推理以及綜合法、分析法、反證法和數(shù)學歸納法等證明方法，考查考生合法、分析法、反證法和數(shù)學歸納法等證明方法，考查考生的推理論證能力，所以在復習時要把合情推理作為復習的重的推理論證能力，所以在復習時要把合情推理作為復習的重點，并且要把各種證明方法的理論搞清楚，明白各種推理論點，并且要把各種證明方法的理論搞清楚，明白各種推理論證方法的基本原理和適用環(huán)境，在具體應用中把推理論證方證方法的基本原理和適用環(huán)境，在具體應用中把推理論證方法的理論和實踐結合起來法的理論和實踐結合起來隨著科學技術的不斷發(fā)展，人類通過計算機已找到了隨著科學技術的不斷發(fā)展，人類通過

9、計算機已找到了630萬 位 的 最 大 質 數(shù) 某 同 學 在 學 習 中 發(fā) 現(xiàn) 由萬 位 的 最 大 質 數(shù) 某 同 學 在 學 習 中 發(fā) 現(xiàn) 由41,43,47,53,61,71,83,97組成的數(shù)列中每一個數(shù)都是質數(shù)，他組成的數(shù)列中每一個數(shù)都是質數(shù)，他根據這列數(shù)的一個通項公式，得出了數(shù)列的后幾項，發(fā)現(xiàn)它根據這列數(shù)的一個通項公式，得出了數(shù)列的后幾項，發(fā)現(xiàn)它們也是質數(shù)于是他斷言：根據這個通項公式寫出的數(shù)均為們也是質數(shù)于是他斷言：根據這個通項公式寫出的數(shù)均為質數(shù)則這個通項公式為質數(shù)則這個通項公式為_，該同學斷言是，該同學斷言是_的的(填填“正確正確”或者或者“錯誤錯誤”)合情推理合情推理【

10、解析】【解析】根據題意知，通項公式根據題意知，通項公式an412462(n1)n(n1)41.取取n41，得，得an41411 681，顯，顯然不是質數(shù)，從而該同學斷言是錯誤的故填然不是質數(shù)，從而該同學斷言是錯誤的故填ann(n1)41，nN，錯誤，錯誤【答案答案】ann(n1)41(nN)；錯誤；錯誤歸納推理與類比推理之區(qū)別歸納推理與類比推理之區(qū)別1歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進行歸納時，要先根據已知的部分個體，把它們適當變形，找行歸納時，要先根據已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結論出它們之間

11、的聯(lián)系，從而歸納出一般結論2類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質，則另一個對象也具間的推理，其中一個對象具有某個性質，則另一個對象也具有類似的性質在進行類比時，要充分考慮已知對象性質的有類似的性質在進行類比時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然后類比推導類比對象的性質推理過程，然后類比推導類比對象的性質1(1)對大于或等于對大于或等于2的自然數(shù)的自然數(shù)m和和n，m的的n次方冪有如下分次方冪有如下分解方式：解方式：22133213542135723353379114313151719根據上述分解規(guī)律，

12、則根據上述分解規(guī)律，則5213579，若，若m3(mN)的的分解中最小的數(shù)是分解中最小的數(shù)是73，則，則m的值為的值為_解析解析m3的分解中，最小的數(shù)為的分解中，最小的數(shù)為m2m1，由由m2m173，得，得m9.答案答案9(2011陜西陜西)敘述并證明余弦定理敘述并證明余弦定理【解析】【解析】余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍或：在或：在ABC中，中，a，b，c分別為分別為A，B，C的對邊有的對邊有a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，

13、c2a2b22abcos C.演繹推理演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學的證明過程主要是通演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學的證明過程主要是通過演繹推理進行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提過演繹推理進行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結論一定是正確的但是，在解決和推理形式是正確的，其結論一定是正確的但是，在解決類似的問題時，一定要注意推理過程的正確性與完備性類似的問題時，一定要注意推理過程的正確性與完備性2(2011福建福建)在整數(shù)集在整數(shù)集Z中，被中，被5除所得余數(shù)為除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組的所有整數(shù)組成一個成一個“類類”，記為，記為k，即，即k5

14、nk|nZ，k0,1,2,3,4，給出如下四個結論：給出如下四個結論：2 0111；33；Z01234；“整數(shù)整數(shù)a，b屬于同一屬于同一類類”的充要條件是的充要條件是“ab0”其中，正確結論的個數(shù)是其中，正確結論的個數(shù)是A1B2C3 D4解析解析由于由于k5nk|nZ，對于，對于，2 0115等于等于402余余1，2 0111對于對于，352，被，被5除應余除應余2，錯對于錯對于，任意一整數(shù)，任意一整數(shù)x，被，被5除余數(shù)為除余數(shù)為0,1,2,3,4，x01234，正確對于正確對于，先證充，先證充分性，分性，a，b是同一類，可設是同一類，可設a5n1k，b5n2k，則，則ab5(n1n2)能被能

15、被5整除余整除余0.下面下面證明證明必要性，若必要性，若ab0，則可設則可設ab5n，nZ，即，即a5nb，nZ.不妨令不妨令b5mk，mZ，則，則a5n5mk5(nm)k，nZ，mZ.a，b屬于同一類，故屬于同一類，故正確，則正確的有正確，則正確的有.答案答案C直接證明與間接證明直接證明與間接證明【解題切點】(1)構造新數(shù)列求an與bn.(2)利用反證法證明1反證法是一種間接證明方法，如果正面證明有困難或者反證法是一種間接證明方法，如果正面證明有困難或者直接證明需要分多種情況而反面證明只有一種情況時，可以直接證明需要分多種情況而反面證明只有一種情況時，可以考慮用反證法證明對于題目中出現(xiàn)考慮用

16、反證法證明對于題目中出現(xiàn)“至多至多”、“至少至少”、“均是均是”、“不都是不都是”等字眼時，從正面難以找到突破口，等字眼時，從正面難以找到突破口，可轉換視角，用反證法往往立竿見影可轉換視角，用反證法往往立竿見影2綜合法與分析法是直接證明常用的兩種方法，常用分析綜合法與分析法是直接證明常用的兩種方法，常用分析法尋求解決問題的突破口，然后用綜合法寫出證明過程法尋求解決問題的突破口，然后用綜合法寫出證明過程3大小不等的三個圓兩兩外切，半徑成等差數(shù)列，試證明大小不等的三個圓兩兩外切，半徑成等差數(shù)列，試證明以各圓圓心為頂點的三角形的三內角不可能成等差數(shù)列以各圓圓心為頂點的三角形的三內角不可能成等差數(shù)列(

17、2011開封模擬開封模擬)把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第排成如圖所示的數(shù)表，其中第i行共有行共有2i1個正整數(shù)設個正整數(shù)設aij(i，jN)表示位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第表示位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第行，從左往右數(shù)第j個數(shù)個數(shù)(1)若若aij2 010，求，求i和和j的值；的值；(2)記記Ana11a22a33ann(nN)，試比較，試比較An與與n2n的大小，并說明理由的大小，并說明理由123456789101112131415數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法【解題切點】【解題切點】(1)首先根據各行數(shù)字的個數(shù)推斷

18、首先根據各行數(shù)字的個數(shù)推斷2 010所在所在的行，然后推斷的行，然后推斷2 010是這行中的第幾個數(shù)；是這行中的第幾個數(shù)；(2)ann2n1n1，求和后歸納，求和后歸納An與與n2n的大小的大小【解析】【解析】(1)因為數(shù)表中前因為數(shù)表中前i1行共有行共有12222i22i11個數(shù)，則第個數(shù)，則第i行的第一個數(shù)是行的第一個數(shù)是2i1，所以，所以aij2i1j1.因為因為2102 010211，aij2 010，則，則i110，即，即i11.令令210j12 010，則，則j2 0102101987.1數(shù)學歸納法可證明一些與自然數(shù)數(shù)學歸納法可證明一些與自然數(shù)n有關的命題在證明時，有關的命題在證明

19、時，要注意對命題的等價轉化，一般是利用公式，把所要證明的要注意對命題的等價轉化，一般是利用公式，把所要證明的問題轉化到已知或歸納假設上來，必要時轉化要證明的結問題轉化到已知或歸納假設上來，必要時轉化要證明的結論論2在用數(shù)學歸納法證明的第在用數(shù)學歸納法證明的第2個步驟中，突出了兩個湊字，個步驟中，突出了兩個湊字，一一“湊湊”假設，二假設，二“湊湊”結論，關鍵是明確結論，關鍵是明確nk1時證明時證明的目標，充分考慮由的目標，充分考慮由nk到到nk1時，命題形式之間的區(qū)時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系別和聯(lián)系4試比較試比較nn1與與(n1)n(nN)的大小當?shù)拇笮‘攏1時，有時，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；當；當n2時，有時，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；當；當n3時，有時，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；當；當n4時，有時，有nn1_(n1)n(填，或填，或)猜想一個一般性結論，并猜想一個一般性結論，并加以證明加以證明解析解析當當n1時，時，nn1121，(n1)n212，nn1(n1)n；當當n2時，時，nn1238，(n1)n329，nn1(n1)n；