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《函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)》教案
【教學目標】
1．使學生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導函數(shù)在閉區(qū)間上所有點（包括端點）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件；
2．使學生掌握用導數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟．
【教學重點】利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法．
【教學難點】函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系．
【教學過程】
一、復習回顧：
1．極值的概念：
極大值： 一般地，設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)
2、的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點．
極小值：一般地，設函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0)．就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點．
2． 判斷函數(shù)的極值的方法：
解方程.當時：
（1）如果在附近的左側，右側，那么是極大值；
（2）如果在附近的左側，右側，那么是極小值.
3． 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟：
（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x)；
（2）求方程f′(x)=0的根；
（3）用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格．檢
3、查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值．
二、新知探究：
1．函數(shù)的最大值和最小值
觀察右圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象，你能找出它的極大值點，極小值點嗎？
圖中極大值點是：，
極小值點是：．
函數(shù)在上的最大值是，最小值是．
一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．
說明：⑴在開區(qū)間內連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內連續(xù)，但沒有最大值與最小值；
⑵函數(shù)的最值是比較整個定義域內的函數(shù)值得出的；函
4、數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．
⑶函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．
(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個．
⒉利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:
由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．
設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：
⑴求在內的極值；
⑵將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值．
三、講解范例：
例1、求函數(shù)在[0, 3]上的最大值，最小值.
x
0
(0,2)
5、
2
(2,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
12
-4
3
變式練習：求函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最值.
（最大值:2，最小值:-12）
例2、已知函數(shù);
(1)求f(x)的單調遞減區(qū)間；（答案：）
(2)若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.（答案：-7）
四、課堂小結 ：
⑴函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導數(shù)等于零的點，導數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；
⑵函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；
⑶閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定
6、有最值；開區(qū)間內的可導函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值．
五、當堂檢測：
1．下列說法正確的是( )
A．函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B．函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值
C．函數(shù)的最值一定是極值 D．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值
2．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( )
A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能
3．函數(shù)y=，在［-1,1］上的最小值為( )
A．0 B．－2 C．－1 D．
4．設y=|x|3,那么y在區(qū)間［-3,-1］上的最小值是( )
A．27 B．－3 C．－1 D．1
5．設f(x)=ax3－6ax2+b在區(qū)間［-1，2］上的最大值為3，最小值為－29，且a>0,則( )
A．a=2,b=29 B．a=2,b=3 C．a=3,b=2 D．a=－2,b=－3
答案：1．D 2．A 3．A 4．D 5．B
六、課后作業(yè)：習題1.3A組第6題
專心---專注---專業(yè)
《函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)》教案(共4頁)
