高等數(shù)學(xué)：第四章 第一節(jié) 不定積分的定義和性質(zhì)

第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的定義和性質(zhì)不定積分的定義和性質(zhì) 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 二、基本積分表二、基本積分表 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì) 四、小結(jié)四、小結(jié)例例定義：定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念如果在區(qū)間如果在區(qū)間內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù))(xF的的 導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)為)(xf， 即即Ix ， 都有都有)()(xfxF= = 是是cosxsin x的原函數(shù)。的原函數(shù)。(sin )cosxx=1(ln )(0)xxx=是是1(0)xxln x的原函數(shù)。的原函數(shù)。或或dxxfxdF)()(= =， 那么函數(shù)那么函數(shù))(xF就稱(chēng)為就稱(chēng)為)(xf 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)原函數(shù)原函數(shù). . 原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題問(wèn)題2： 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 問(wèn)題問(wèn)題3：原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？問(wèn)題問(wèn)題1：f (x) 具備什么條件時(shí)，原函數(shù)一定存在？具備什么條件時(shí)，原函數(shù)一定存在？答案：答案：不唯一？不唯一？如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)， 那么在區(qū)間那么在區(qū)間I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù))(xF，使使Ix ，都有都有)()(xfxF= = . . ( () )xCxcossin= = + +( () )xxcossin= = 關(guān)于原函數(shù)的兩點(diǎn)說(shuō)明：關(guān)于原函數(shù)的兩點(diǎn)說(shuō)明：（1）若）若 ，則對(duì)于任意常數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù) ，( )( )F xf x=C（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，( )F x( )G x( )f x則則0( )( )F xG xC=（ 為某個(gè)常數(shù)）為某個(gè)常數(shù)）0C證證( )( )( )( )F xG xF xG x=( )( )0f xf x=0( )( )F xG xC=結(jié)論：結(jié)論：若若 F (x) 是是 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)，則 f (x) 的任意的任意一個(gè)原函數(shù)可表示為：一個(gè)原函數(shù)可表示為： ( )|F xCC+ +( ),F xC+其中其中C 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。 f (x) 的全體原函數(shù)為：的全體原函數(shù)為：CxF+ +)(都是都是)(xf的原函數(shù)的原函數(shù). 任意常數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：CxFdxxf+ += = )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量如果如果 F (x) 是是 f (x) 在在 I 上的其中一個(gè)原函數(shù)，則上的其中一個(gè)原函數(shù)，則簡(jiǎn)單地說(shuō)：不定積分表達(dá)的是函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)。簡(jiǎn)單地說(shuō)：不定積分表達(dá)的是函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)。不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，函數(shù)函數(shù))(xf的帶有任意的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的例例1 1 求求5.x dx解解65,6xx=65.6xx dxC=+解解例例2 2 求求21.1dxx+()21arctan,1xx=+21arctan.1dxxCx=+例例3 3 求求1.dxx解解(, 0)(0,)= +xIU()1ln |,xx=1ln |dxxCx=+注意：注意：1lndxxCx=+由于當(dāng)由于當(dāng)時(shí)，時(shí)，例例4 4 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為( ),yf x=根據(jù)題意知根據(jù)題意知( )2 ,fxx=22,xdxxC=+2( ),f xxC=+由曲線通過(guò)點(diǎn)（由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）1,C=所求曲線方程為所求曲線方程為21.yx=+xy02yx=21yx=+21yx=112即即)(xf是是x2的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) . 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 每個(gè)原函數(shù)每個(gè)原函數(shù) y = F (x) 在幾何上都對(duì)應(yīng)一條確在幾何上都對(duì)應(yīng)一條確 定的曲線，稱(chēng)為定的曲線，稱(chēng)為 f (x) 的積分曲線的積分曲線 由于由于 F (x) = f (x)，因此，積分曲線，因此，積分曲線 y = F (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處的切線斜率正是處的切線斜率正是 f (x)。 不定積分不定積分 y = F (x) + 在幾何上代表一簇積分在幾何上代表一簇積分 曲線，它們可通過(guò)曲線曲線，它們可通過(guò)曲線 y = F (x) 沿沿 y 軸方向軸方向 上或下移動(dòng)上或下移動(dòng) 個(gè)單位而得到。個(gè)單位而得到。xy012-1-2( )yF x=( ) 1yF x=+( ) 2yF x=+( ) 1yF x=( ) 2yF x=x 在同一點(diǎn)在同一點(diǎn) x 對(duì)應(yīng)的積分曲線簇上，切線平行對(duì)應(yīng)的積分曲線簇上，切線平行 若給定平面上一個(gè)點(diǎn)若給定平面上一個(gè)點(diǎn)00(,)M xy00(,)M xy( )yF xc=+00()cyF x=其中則能唯一確定一條通過(guò)該點(diǎn)的積分曲線。則能唯一確定一條通過(guò)該點(diǎn)的積分曲線。二、 不定積分的性質(zhì)（一）求不定積分與求導(dǎo)數(shù)或微分互為逆運(yùn)算（一）求不定積分與求導(dǎo)數(shù)或微分互為逆運(yùn)算（1） ( )( )df x dxf x dx=或（2）()( )f x d x( )f x= ( )( )F x dxF xc=+ ( )( )d F xF xc=+或 ( )( )( )( )f xg xd xf x d xg x d x=（三）（三）（二）不為（二）不為 0 的常數(shù)因子，可以移到積分號(hào)前的常數(shù)因子，可以移到積分號(hào)前,( )a f x d x( )af x d x=(0 )a 實(shí)例實(shí)例11xx+=+1.1xx dxC+=+注記注記:由于積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此由于積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式導(dǎo)出相應(yīng)的積分公式可以根據(jù)求導(dǎo)公式導(dǎo)出相應(yīng)的積分公式.(1) 三、三、 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表(1)(kdxkxCk=+是常數(shù)是常數(shù));1(2)(1);1xx dxC+=+ +(3)ln |;dxxCx=+21(4)1dxx=+arctan;xC+21(5)1dxx=arcsin;xC+(6)cosxdx =sin;xC+(7)sin xdx =cos;xC+2(8)cosdxx=2sec xdx =tan;xC+2(9)sindxx=2csc xdx =cot;xC+(10)sec tanxxdx =sec;xC+(11)csc cotxxdx =csc;xC+(12)xe dx =;xeC+(13)xa dx =;lnxaCa+(14)sh=xdxch;+xC(15)ch=xdxsh;+xC舉例舉例例例5 5 求積分求積分2.xxdx解解2xxdx52x dx=512512xC+=+722.7xC=+Cxdxx+ + += =+ + 11 例例6 6 求積分求積分解解2232().11dxxx+2232()11dxxx+22113211dxdxxx=+3arctanx=2arcsin xC+Cxdxx+ += =+ + arctan112Cxdxx+ += = arcsin112例例7 7 求積分求積分解：先變形，再用基本積分表解：先變形，再用基本積分表221.(1)xxdxxx+221(1)xxdxxx+22(1)(1)xxdxxx+=+2111dxxx=+2111dxdxxx=+arctanln|.xxC=+例例8 8 求積分求積分解解22212.(1)xdxxx+22212(1)xdxxx+22221(1)xxdxxx+=+22111dxdxxx=+1arctan.xCx= +例例9 9 求積分求積分解解1.1cos2dxx+11cos2dxx+2112cos1dxx=+2112cosdxx=1tan.2xC=+說(shuō)明：說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.21sec2xdx=Cxxdx+ += = tansec2解解2secsin ,dyxxdx=+()2secsinyxx dx=+tancos,xxC=+(0)5,y=6,C=所求曲線方程為所求曲線方程為tancos6.yxx=+例例 1010 已知一曲線已知一曲線)(xfy = =在點(diǎn)在點(diǎn))(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2+ +，且此曲線與，且此曲線與y 軸的交軸的交點(diǎn)為點(diǎn)為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：( )( )F xf x=不定積分的概念：不定積分的概念：( )( )f x dxF xC=+求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、四、 小結(jié)小結(jié)（2）有理分式和三角函數(shù)的恒等變形；）有理分式和三角函數(shù)的恒等變形；（1）熟記基本積分公式；）熟記基本積分公式；計(jì)算不定積分時(shí)有兩點(diǎn)要加強(qiáng)：計(jì)算不定積分時(shí)有兩點(diǎn)要加強(qiáng)：基本積分表中沒(méi)有的積分類(lèi)型，有時(shí)可以先將基本積分表中沒(méi)有的積分類(lèi)型，有時(shí)可以先將被積函數(shù)變形，化簡(jiǎn)為表中所列類(lèi)型后，再逐被積函數(shù)變形，化簡(jiǎn)為表中所列類(lèi)型后，再逐項(xiàng)積分。項(xiàng)積分。思考題思考題符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)1,0( )sgn0,01,0 xf xxxx=在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？?jī)?nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？(,) +思考題解答思考題解答不存在不存在.假設(shè)有原函數(shù)假設(shè)有原函數(shù)( )F x,0( ),0,0 xCxF xCxxC x+= +故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤所以所以 在在 內(nèi)不存在原函數(shù)內(nèi)不存在原函數(shù).(,) +( )f x結(jié)論結(jié)論每一個(gè)含有每一個(gè)含有第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)都的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù)沒(méi)有原函數(shù).但但)(xF在在0= =x處不可微，處不可微， 作業(yè)：作業(yè)：習(xí)題習(xí)題4 1:1(2, 3, 5, 8, 15, 16, 18) , 4