高等數(shù)學：第四章 第一節(jié) 不定積分的定義和性質(zhì)

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1、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的定義和性質(zhì)不定積分的定義和性質(zhì) 一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 二、基本積分表二、基本積分表 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì) 四、小結四、小結例例定義：定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念如果在區(qū)間如果在區(qū)間內(nèi)內(nèi)可導函數(shù)可導函數(shù))(xF的的 導導函數(shù)為函數(shù)為)(xf， 即即Ix ， 都有都有)()(xfxF= = 是是cosxsin x的原函數(shù)。的原函數(shù)。(sin )cosxx=1(ln )(0)xxx=是是1(0)xxln x的原函數(shù)。的原函數(shù)?；蚧騞xxfxdF)()(= =， 那么函數(shù)那么函數(shù))(xF就稱為就稱為)

2、(xf 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)原函數(shù)原函數(shù). . 原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題問題2： 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 問題問題3：原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？問題問題1：f (x) 具備什么條件時，原函數(shù)一定存在？具備什么條件時，原函數(shù)一定存在？答案：答案：不唯一？不唯一？如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)， 那么在區(qū)間那么在區(qū)間I內(nèi)存在可導函數(shù)內(nèi)存在可導函數(shù))(xF，使使Ix ，都有都有)()(xfxF= = . . ( () )xCxcossin= = + +

3、( () )xxcossin= = 關于原函數(shù)的兩點說明：關于原函數(shù)的兩點說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，( )( )F xf x=C（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，( )F x( )G x( )f x則則0( )( )F xG xC=（ 為某個常數(shù)）為某個常數(shù)）0C證證( )( )( )( )F xG xF xG x=( )( )0f xf x=0( )( )F xG xC=結論：結論：若若 F (x) 是是 f (x) 的一個原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則 f (x) 的任意的任意一個原函數(shù)可表示為：一個原函數(shù)可表示為： ( )|F xCC+ +( )

4、,F xC+其中其中C 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。 f (x) 的全體原函數(shù)為：的全體原函數(shù)為：CxF+ +)(都是都是)(xf的原函數(shù)的原函數(shù). 任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：CxFdxxf+ += = )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量如果如果 F (x) 是是 f (x) 在在 I 上的其中一個原函數(shù)，則上的其中一個原函數(shù)，則簡單地說：不定積分表達的是函數(shù)的任意一個原函數(shù)。簡單地說：不定積分表達的是函數(shù)的任意一個原函數(shù)。不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，函數(shù)函數(shù))(xf的帶有任意的帶有任意常數(shù)項的

5、原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱為稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的例例1 1 求求5.x dx解解65,6xx=65.6xx dxC=+解解例例2 2 求求21.1dxx+()21arctan,1xx=+21arctan.1dxxCx=+例例3 3 求求1.dxx解解(, 0)(0,)= +xIU()1ln |,xx=1ln |dxxCx=+注意：注意：1lndxxCx=+由于當由于當時，時，例例4 4 設曲線通過點（設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設曲線方程為設曲線方程為( ),yf

6、 x=根據(jù)題意知根據(jù)題意知( )2 ,fxx=22,xdxxC=+2( ),f xxC=+由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）1,C=所求曲線方程為所求曲線方程為21.yx=+xy02yx=21yx=+21yx=112即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù) . 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 每個原函數(shù)每個原函數(shù) y = F (x) 在幾何上都對應一條確在幾何上都對應一條確 定的曲線，稱為定的曲線，稱為 f (x) 的積分曲線的積分曲線 由于由于 F (x) = f (x)，因此，積分曲線，因此，積分曲線 y = F (x) 在點在點 x 處的切線斜率正是處的切線斜率正是 f (x

7、)。 不定積分不定積分 y = F (x) + 在幾何上代表一簇積分在幾何上代表一簇積分 曲線，它們可通過曲線曲線，它們可通過曲線 y = F (x) 沿沿 y 軸方向軸方向 上或下移動上或下移動 個單位而得到。個單位而得到。xy012-1-2( )yF x=( ) 1yF x=+( ) 2yF x=+( ) 1yF x=( ) 2yF x=x 在同一點在同一點 x 對應的積分曲線簇上，切線平行對應的積分曲線簇上，切線平行 若給定平面上一個點若給定平面上一個點00(,)M xy00(,)M xy( )yF xc=+00()cyF x=其中則能唯一確定一條通過該點的積分曲線。則能唯一確定一條通過

8、該點的積分曲線。二、 不定積分的性質(zhì)（一）求不定積分與求導數(shù)或微分互為逆運算（一）求不定積分與求導數(shù)或微分互為逆運算（1） ( )( )df x dxf x dx=或（2）()( )f x d x( )f x= ( )( )F x dxF xc=+ ( )( )d F xF xc=+或 ( )( )( )( )f xg xd xf x d xg x d x=（三）（三）（二）不為（二）不為 0 的常數(shù)因子，可以移到積分號前的常數(shù)因子，可以移到積分號前,( )a f x d x( )af x d x=(0 )a 實例實例11xx+=+1.1xx dxC+=+注記注記:由于積分運算和微分運算是互逆

9、的，因此由于積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式導出相應的積分公式可以根據(jù)求導公式導出相應的積分公式.(1) 三、三、 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表(1)(kdxkxCk=+是常數(shù)是常數(shù));1(2)(1);1xx dxC+=+ +(3)ln |;dxxCx=+21(4)1dxx=+arctan;xC+21(5)1dxx=arcsin;xC+(6)cosxdx =sin;xC+(7)sin xdx =cos;xC+2(8)cosdxx=2sec xdx =tan;xC+2(9)sindxx=2csc xdx =cot;xC+(10)sec tanxxdx =sec;xC+

10、(11)csc cotxxdx =csc;xC+(12)xe dx =;xeC+(13)xa dx =;lnxaCa+(14)sh=xdxch;+xC(15)ch=xdxsh;+xC舉例舉例例例5 5 求積分求積分2.xxdx解解2xxdx52x dx=512512xC+=+722.7xC=+Cxdxx+ + += =+ + 11 例例6 6 求積分求積分解解2232().11dxxx+2232()11dxxx+22113211dxdxxx=+3arctanx=2arcsin xC+Cxdxx+ += =+ + arctan112Cxdxx+ += = arcsin112例例7 7 求積分求積

11、分解：先變形，再用基本積分表解：先變形，再用基本積分表221.(1)xxdxxx+221(1)xxdxxx+22(1)(1)xxdxxx+=+2111dxxx=+2111dxdxxx=+arctanln|.xxC=+例例8 8 求積分求積分解解22212.(1)xdxxx+22212(1)xdxxx+22221(1)xxdxxx+=+22111dxdxxx=+1arctan.xCx= +例例9 9 求積分求積分解解1.1cos2dxx+11cos2dxx+2112cos1dxx=+2112cosdxx=1tan.2xC=+說明：說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行

12、恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.21sec2xdx=Cxxdx+ += = tansec2解解2secsin ,dyxxdx=+()2secsinyxx dx=+tancos,xxC=+(0)5,y=6,C=所求曲線方程為所求曲線方程為tancos6.yxx=+例例 1010 已知一曲線已知一曲線)(xfy = =在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2+ +，且此曲線與，且此曲線與y 軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：(

13、 )( )F xf x=不定積分的概念：不定積分的概念：( )( )f x dxF xC=+求微分與求積分的互逆關系求微分與求積分的互逆關系四、四、 小結小結（2）有理分式和三角函數(shù)的恒等變形；）有理分式和三角函數(shù)的恒等變形；（1）熟記基本積分公式；）熟記基本積分公式；計算不定積分時有兩點要加強：計算不定積分時有兩點要加強：基本積分表中沒有的積分類型，有時可以先將基本積分表中沒有的積分類型，有時可以先將被積函數(shù)變形，化簡為表中所列類型后，再逐被積函數(shù)變形，化簡為表中所列類型后，再逐項積分。項積分。思考題思考題符號函數(shù)符號函數(shù)1,0( )sgn0,01,0 xf xxxx=在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？(,) +思考題解答思考題解答不存在不存在.假設有原函數(shù)假設有原函數(shù)( )F x,0( ),0,0 xCxF xCxxC x+= +故假設錯誤故假設錯誤所以所以 在在 內(nèi)不存在原函數(shù)內(nèi)不存在原函數(shù).(,) +( )f x結論結論每一個含有每一個含有第一類間斷點第一類間斷點的函數(shù)都的函數(shù)都沒有原函數(shù)沒有原函數(shù).但但)(xF在在0= =x處不可微，處不可微， 作業(yè)：作業(yè)：習題習題4 1:1(2, 3, 5, 8, 15, 16, 18) , 4