2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第四學(xué)月考試試題 理(重點(diǎn)班含解析).doc
2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第四學(xué)月考試試題 理(重點(diǎn)班,含解析)
一.選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1. 已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(?。?
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】由題意可得:,則,...............
復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第四象限.
本題選擇D選項(xiàng).
2. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為( )
A. B. 160 C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)檎归_式中的通項(xiàng)公式可得,令所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是,應(yīng)選答案A。
3. 3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排,則3位男生中有且只有2位男生相鄰的概率為( )
A. B. C. D. 310
【答案】C
【解析】三個(gè)男生都不相鄰的排列有:A33A43=144 種,
三個(gè)男生都相鄰的排列有:A334A33=144 種,
六個(gè)人所有肯能的排列有A66=720 種,
據(jù)此可知3位男生中有且只有2位男生相鄰的概率為1?144+144720=35 .
本題選擇C選項(xiàng).
4. 某校高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布N100,52,且P(ξ<110)=0.96,則P(90<ξ<100)的值為( )
A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0. 46
【答案】D
【解析】依據(jù)題設(shè)條件及正太分布的對(duì)稱性可知Pξ≥110=1-0.96=0.04,所以P(ξ≤90)=0.04,則2P90<ξ<100=1-20.04=0.92,所以P90<ξ<100=0.46,應(yīng)選答案D。
5. 下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”,執(zhí)行該程序框圖時(shí),若輸入,分別為18,27,則輸出的a=( )
A. 0 B. 9 C. 18 D. 54
【答案】B
【解析】因?yàn)閍=18,b=27,a<b,所以b=b?a=27?18=9,a=18,此時(shí)a=18,b=9,a>b,則a=a?b=18?9=9,b=9,此時(shí)a=b=9,運(yùn)算程序結(jié)束,輸出a=9,應(yīng)選答案B。
6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入的值為2,則輸出S的值為
A. 64 B. 84 C. 340 D. 1364
【答案】B
【解析】執(zhí)行該程序框圖,第一次循環(huán),x=2,S=4;第二次循環(huán),x=4,S=4+16=20;第三次循環(huán),x=8,S=20+64=84,84>64 結(jié)束循環(huán),輸出S=84 ,故選B.
【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的條件結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題. 解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn):(1) 不要混淆處理框和輸入框;(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3) 注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5) 要注意各個(gè)框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.
7. 將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次,設(shè)事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同},B={出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)},則P(B|A)=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同},包含的基本事件數(shù)是36?6=30,
事件B:出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn),有10種,
∴PB|A=1030=13,
本題選擇A選項(xiàng).
點(diǎn)睛:條件概率的計(jì)算方法:
(1)利用定義,求P(A)和P(AB),然后利用公式進(jìn)行計(jì)算;
(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB),然后求概率值.
8. 若實(shí)數(shù)a=2?2,則a10?2C101a9+22C102a2??+210等于( )
A. 32 B. -32 C. 1 024 D. 512
【答案】A
【解析】由題意可得:
a10?2C101a9+22C102a2??+210=a?210=2?2?210=32.
本題選擇A選項(xiàng).
9. 4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘,每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用,則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有( )
A. 24種 B. 36種 C. 48種 D. 60種
【答案】D
【解析】試題分析:每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有兩種:一種是一家企業(yè)錄用一名,C43A33=24種;一種是其中有一家企業(yè)錄用兩名大學(xué)生,C42A33=36種,∴一共有C43A33+C42A33=60種,故選D
考點(diǎn):排列組合問題.
10. 下列說法中正確的是( )
A. 相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系,回歸分析是對(duì)相關(guān)關(guān)系的分析,因此沒有實(shí)際意義
B. 獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)分類變量關(guān)系的研究沒有100%的把握,所以獨(dú)立性檢驗(yàn)研究的結(jié)果在實(shí)際中也沒有多大的實(shí)際意義
C. 相關(guān)關(guān)系可以對(duì)變量的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)報(bào),這種預(yù)報(bào)可能會(huì)是錯(cuò)誤的
D. 獨(dú)立性檢驗(yàn)如果得出的結(jié)論有99%的可信度,就意味著這個(gè)結(jié)論一定是正確的
【答案】C
【解析】相關(guān)關(guān)系雖然是一種不確定關(guān)系,但是回歸分析可以在某種程度上對(duì)變量的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)報(bào),這種預(yù)報(bào)在盡量減小誤差的條件下可以對(duì)生產(chǎn)與生活起到一定的指導(dǎo)作用;獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)分類變量的檢驗(yàn)也是不確定的,但是其結(jié)果也有一定的實(shí)際意義,故正確答案為C.
11. 如圖,5個(gè)(x,y)數(shù)據(jù),去掉D(3,10)后,下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 相關(guān)系數(shù)r變大 B. 殘差平方和變大
C. R2變大 D. 解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)
【答案】B
【解析】依據(jù)線性相關(guān)的有關(guān)知識(shí)可知:去掉數(shù)據(jù)D(3,10)后相關(guān)系數(shù)變大;相關(guān)指數(shù)R2也變大;同時(shí)解釋變量與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性也變強(qiáng),相應(yīng)的殘差平方和變小,故應(yīng)選答案C。
12. 一射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目 ξ的期望為( )
A. 2.44 B. 3.376 C. 2.376 D. 2.4
【答案】C
【解析】試題分析:由題意知ξ=0,1,2,3,
∵當(dāng)ξ=0時(shí),表示前三次都沒射中,第四次還要射擊,但結(jié)果不計(jì),
∴P(ξ=0)=0.43,
∵當(dāng)ξ=1時(shí),表示前兩次都沒射中,第三次射中
∴P(ξ=1)=0.60.42,
∵當(dāng)ξ=2時(shí),表示第一次沒射中,第二次射中
∴P(ξ=2)=0.60.4,
∵當(dāng)ξ=3時(shí),表示第一次射中,
∴P(ξ=3)=0.6,
∴Eξ=2.376.
故選C.
考點(diǎn):本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的計(jì)算.
點(diǎn)評(píng):本題在解題過程中當(dāng)隨機(jī)變量為0時(shí),題目容易出錯(cuò)同學(xué)們可以想一想,模擬一下當(dāng)時(shí)的情況,四顆子彈都用上說明前三次都沒有射中,而第四次無論是否射中,子彈都為0.
二.填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13. 設(shè) z ∈C , 滿足2<|z|<4.條件的點(diǎn) z 的集合是_________________;
【答案】圓環(huán)
【解析】由2<|z|<4,則22<x2+y2<42.
則點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,以2和4為半徑的圓所夾的圓環(huán),但是不包括環(huán)的邊界,如圖②所示.
14. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足條件z+z=2+i,則z=_______________;
【答案】34+i
【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R)由已知a+bi+a2+b2=2+i
由復(fù)數(shù)相等可得a+a2+b2=2b=1,解得:a=34b=1,
故z=34+i.
15. 平面上,點(diǎn)A、C為射線PM上的兩點(diǎn),點(diǎn)B、D為射線PN上的兩點(diǎn),則有SΔPABSΔPCD=PAPBPCPD(其中SΔPAB、SΔPCD分別為ΔPAB、ΔPCD的面積);空間中,點(diǎn)A、C為射線PM上的兩點(diǎn),點(diǎn)B、D為射線PN上的兩點(diǎn),點(diǎn)E、F為射線PL上的兩點(diǎn),則有VP?ABEVP?CDF=______(其中VP?ABE、VP?CDF分別為四面體P—ABE、P—CDF的體積).
【答案】PA?PB?PEPC?PD?PF
【解析】由題設(shè)可得VP-ABEVP-CDF=VE-PABVF-PCD= SΔPABPE?sinθSΔPCDPF?sinθ=PA?PBsin∠BPAA?PEPC?PDsin∠DPC?PF= PA?PB?PEPC?PD?PF(其中θ是射線PL與平面PAB所成角),應(yīng)填答案PA?PB?PEPC?PD?PF。
點(diǎn)睛:解答本題的思路也可以直接運(yùn)用類比推理的思維模式進(jìn)行推證,求解本題時(shí)充分借助題設(shè)條件中的三棱錐可以換底的幾何特征,先將三棱錐的體積進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,然后借助三角形的面積公式及三棱錐的體積公式進(jìn)行分析推證,從而使得問題巧妙獲解。
16. 袋中有4只紅球3只黑球,從袋中任取4只球,取到1只紅球得1分,取到1只黑球得3分,設(shè)得分為隨機(jī)變量X,則P(X≤6)=________.
【答案】1335
【解析】根據(jù)題意可知取出的4只球中紅球個(gè)數(shù)可能為4,3,2,1個(gè),黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為0,1,2,3個(gè),其分值X相應(yīng)為4,6,8,10.
∴P(X≤6)=PX=4+PX=6=C43C31C74+C44C30C74=1335.
三.解答題(本大題共4小題,共40分)
17. 1+ax1+x5的展開式中x2的系數(shù)是20,求實(shí)數(shù)a的值.
【答案】2.
【解析】(1+x)5展開式的通項(xiàng)公式:Tr+1=C5rxr,
結(jié)合多項(xiàng)式的特點(diǎn)可得x2項(xiàng)為:C52x2+aC51x2,
據(jù)此可得:C52+aC51=20,解得:a=2.
18. 某種藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一.周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘,由于下雨會(huì)影響藥材的收益,若基地收益如下表所示:已知下周一和下周二無雨的概率相同且為p,兩天是否下雨互不影響,若兩天都下雨的概率為0.04.
(1)求p及基地的預(yù)期收益;
(2)若該基地額外聘請(qǐng)工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù),若周一無雨時(shí)收益為11萬元,有雨時(shí)收益為6萬元,且額外聘請(qǐng)工人的成本為5000元,問該基地是否應(yīng)該額外聘請(qǐng)工人,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)p=0.8;基地的預(yù)期收益為9.16萬元;(2)該基地應(yīng)該外聘工人,理由見解析.
【解析】試題分析:
(1)由于兩天下雨是相互獨(dú)立的,因此兩天都下雨的概率是(1?p)2,由此可得p;該基地收益X的可能取值為10,8, 5(單位:萬元),分別計(jì)算要概率,然后列出概率分布列,計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.(2)該基地額外聘請(qǐng)工人的預(yù)期收益絕對(duì)值計(jì)算易得,現(xiàn)第(1)小題,比較兩個(gè)預(yù)期值可得.
試題解析:
(1) 兩天都下雨的概率為(1-p)2=0.04,解得p=0.8.
該基地收益X的可能取值為10,8, 5。(單位:萬元)則:
P(X=10)=0.64,P(X=8)=20.80.2=0.32,P(X=5)=0.04
所以該基地收益X的分布列為:
X
10
8
5
P
0.64
0.32
0.04
則該基地的預(yù)期收益EX=100.64+80.32+50.04=9.16(萬元)
所以,基地的預(yù)期收益為9.16萬元
⑵設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬元,則其預(yù)期收益:
EY=110.8+60.2-0.5=9.5(萬元)
此時(shí)EY>EX,所以該基地應(yīng)該外聘工人.
19. 2015年7月9日21時(shí)15分,臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸,給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢?cái)產(chǎn)損失,適逢暑假,小張調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成0,2000,2000,4000,4000,6000,6000,8000,8000,10000五組,并作出如下頻率分布直方圖(圖1):
(Ⅰ)臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如右下表格,在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率. 現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1戶居民,抽取3次,記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的人數(shù)為. 若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,期望E(ξ)和方差D(ξ).
附:臨界值表
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
隨機(jī)量變
K2=(a+b+c+d)(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
【答案】(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)答案見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意寫出列聯(lián)表,計(jì)算可得K2=4.762>3.841,所以有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān).
(2)題中所給的分布列為二項(xiàng)分布,據(jù)此求得分布列,然后計(jì)算可得E(ξ)=np=0.9,D(ξ)=np(1-p)=0.63.
試題解析:
(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元的有70人,經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的有30人,則表格數(shù)據(jù)如下
經(jīng)濟(jì)損失不超過
4000元
經(jīng)濟(jì)損失超過
4000元
合計(jì)
捐款超過
500元
60
20
80
捐款不超
過500元
10
10
20
合計(jì)
70
30
100
K2=100(6010-1020)280207030=4.762.
因?yàn)?.762>3.841,p(k≥3.841)=0.05.
所以有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān).
(Ⅱ)由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元居民的頻率為0.3,將頻率視為概率.
由題意知的取值可能有0,1,2,3,
ξ~B(3,310),
Pξ=0=C3031007103=3431000,
Pξ=1=C3131017102=4411000,
Pξ=2=C3231027101=1891000,
Pξ=3=C3331037100=271000,
從而的分布列為
0
1
2
3
p
3431000
4411000
1891000
271000
E(ξ)=np=3310=0.9,
D(ξ)=np(1-p)=3310710=0.63
點(diǎn)睛:求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法:(1)先求隨機(jī)變量的分布列,然后利用均值與方差的定義求解.(2)若隨機(jī)變量X~B(n,p),則可直接使用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.
20. 在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列{n∈N+}.
【答案】答案見解析.
【解析】主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用。
由條件得2bn=an+an+1,an2+1=bnbn+1,
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜測(cè)an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N*.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),由已知a1=2,b1=4可得結(jié)論成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N*)時(shí),結(jié)論成立,即
ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
bk+1===(k+2)2.
解:由條件得2bn=an+an+1,=bnbn+1,
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜測(cè)an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N*. 4分
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),由已知a1=2,b1=4可得結(jié)論成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N*)時(shí),結(jié)論成立,即
ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
bk+1===(k+2)2.
所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.
由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2對(duì)一切n∈N*都成立. 10分