高等數(shù)學(xué)：第五章 第4節(jié)定積分的換元法和分部積分法

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1、1和分部積分法和分部積分法定積分的換元法定積分的換元法第四節(jié)第四節(jié)一、換元公式二、分部積分公式三、小結(jié)2定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、換元公式3證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt 令令dtdxdxdFt )()()(txf ),()

2、(ttf )(t 是是)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).),()()(aFF 則則)()()(bFF 4)()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba即即.)()(dtttf ),()()()( dtttf:注意注意;,換元公式仍成立換元公式仍成立時時、當(dāng)、當(dāng) 1、換元要換限。、換元要換限。5例例1. 1. 計算計算).(0022axdxaa解解: 令,sintax 則,costdtaxd且當(dāng)時時0 xax 2 t 原式 =2atdta)cos(202212 )sin(tta221220242a ,0t20 tdt2cos6例例2. 2. 計算計算.xdxx401

3、22解解: 令,12xt則tdtxdtx,212且當(dāng)時時0 x4x3t 原式 =tdttt312122tdt)(312321)(tt33121313322, 1t7例例 計算計算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 、不換元就不換限。、不換元就不換限。3205 xdxxsincos如如205 xxd coscos20661 xcos6184例例dxx40122401212xxd)(40121121211)( x4132)(5例例2221xxdx222211)(xxd

4、x222111)()(xxd221xarcsin1246 9例例 計算計算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 10例例 計算計算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6

5、11例例 計算計算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 12例例 9 9 當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù)，且且有有 )(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 aadxxf0)(. 證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,13

6、0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 14dxxxxx55224232)(sin如如010例例dxxxx)sin(cos1111422 dxx20112 cosdxx2022212 cos)(cos2212202xdx 2022 xtan2042)tan(tan 15奇函數(shù)奇函數(shù)例例11 11 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 11

7、22112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積16例例 1212 若若)(xf在在1 , 0上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; 證證（1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf17設(shè)設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(si

8、n)(0 dttft 0022dxxfdxxxf)(sin)(sin)( 021dxxxxcossin由此計算由此計算:證明證明18 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 1913例例證明證明為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以設(shè)設(shè),)(lxf.)(無關(guān)無關(guān)的值與的值與adxxflaa:證明證明llalalaadxxfdxxfdxxfdxxf00)

9、()()()(ltxlaldxxf令令而而)(dtltfa0)(dttfa0)(dxxfa0)(dxxfa0)(llaadxxfdxxf0)()(.無關(guān)無關(guān)與與a2014例例:,)(,)(證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)020aaxfdxxafxfdxxfaa2002)()()(:證明證明dxxfdxxfdxxfaaaa2002)()()(dxxafdxxfaaa022)()(只要證明只要證明xat 2令令dttfdxxafaaa20)()2(aadxxf2)(dxxafxfdxxfaa2002)()()(2115例例,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)babaxf試證試證及及且且,

10、)(,)(0afMxfbadxxfbaM)()(22:證明證明,)(0af而而,)()()(dttfafxfxadttfxfxa)()( baxabadxdttfdxxf)()(dxdttfbaxa )(dxaxMba)(22)(abMbadxxfbaM)()(22:問題問題?能否用中值定理證明能否用中值定理證明22 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo),vuvuuv,)(bababadxvudxvudxuv . bababavduuvudv二、分部積分公式,

11、bababaudvduvuv即即231例例dxxex1010 xxdedxeexxx101010 xee12例例.arcsin210 xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 24例例3 3解解.cos4021 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40218 xcosln.42ln8 25例例4 4 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xd

12、x102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 26例例5 5 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因為因為ttsin沒有初等形式的原函數(shù)，沒有初等形式的原函數(shù)，無法直接求出無法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx27 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dx

13、xxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf28例例6 6 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證, tx2 令令dtdx02022 dttxdxnn)(sinsin20 tdtncos20 xdxncos29201 xxncossinx2sin1 0dxxndxxnnn2200211 sin)(sin)(nnInIn)1()

14、1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止20 xdxInnsin201 xxdncossindxxxnn20221 cossin)(30,2200 dxI, 1sin201 xdxI于是于是 nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)21 nnInnIdxx208sin如221436587 dxx205 cos1325431dxxx 010sindtttx2210222 )(sindtt22102 cosdtt2010 cos22143

15、6587109 dxx 0102sin327例例有有證明對證明對且且上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)Nnxfxf,)(,)(020 )()(sin)(02220ffnnxdxxf :證明證明 20nxdxxfsin)( 201nxdxfncos)( 20201nxdxxfxnxfncos)(cos)()()()(dxxfffn 20021)()(022ffn 338例例dxxfdtttxfx 00)(,sin)(計算計算設(shè)設(shè)解解dxxf 0)(dxxfxxxf 00)()(dxxxxf 0sin)(xdxxxfsin)()( 0 xdxxfsin)()( 01dxxxf 02sin)()()( ff223

16、4幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(三、小結(jié)定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）練習(xí)題練習(xí)題1、設(shè), 1 ,0)(連續(xù)在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部積分分部積分)36362、計算10arcsinarccosxxdx 解：解：令ar

17、csin xt0012xtxt20() sin2tt dt 20()sin(2 )sin2220tttttdt20(2 ) cos2t dt(2 )cos2tt20202costdtarccos2xt22 sinxt37372dsin)(xxxxxf是以 為周期的函數(shù).2dsin)(xxuuxf2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf是以 為周期的周期函數(shù).3、證明證：tu令2d)sin(xxtt)(xf3838右端試證 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21分部積分積分)(d)2(21xfbaxba再次分部積分xxfbad)(abxfbax)()2(21= 左端4、,)(上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)在設(shè)baxf0)(af且,0)(bf證：