2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2.1 第一課時(shí) 排列與排列數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
第一課時(shí) 排列與排列數(shù)公式
[教材研讀]
預(yù)習(xí)教材P14~20,思考以下問題
1.排列的概念是什么?
2.排列數(shù)的定義是什么?什么是排列數(shù)公式?
3.排列數(shù)公式有哪些性質(zhì)?
[要點(diǎn)梳理]
1.排列的概念
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
2.相同排列的兩個(gè)條件
(1)元素相同.
(2)順序相同.
3.排列數(shù)及排列數(shù)公式
[自我診斷]
判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”)
1.1,2,3與3,2,1為同一排列.( )
2.在一個(gè)排列中,同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn).( )
3.從1,2,3,4中任選兩個(gè)元素,就組成一個(gè)排列.( )
4.從5個(gè)同學(xué)中任選2個(gè)同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽的所有不同的選法是一個(gè)排列問題.( )
[答案] 1. 2.√ 3. 4.√
思考:如何判斷一個(gè)問題是否為排列問題?
提示:判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題,就看取出元素后排列是有序的還是無序的,而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問題的性質(zhì)和條件來決定),看其結(jié)果是否有變化,有變化就是排列問題,無變化就不是排列問題.
下列問題是排列問題的為________(只填序號).
①選2個(gè)小組分別去植樹和種菜;
②選2個(gè)小組分別去種菜;
③某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信;
④由1,2,3三個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?
⑤從40人中選5人組成籃球隊(duì),有多少種不同的選法?
⑥從1,2,3,4中取兩個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)不同的集合?
[解析] ①是.植樹和種菜是不同的,存在順序問題,屬于排列問題.②不是.選2個(gè)小組分別去種菜,不存在順序問題,不是排列問題.③是.A給B發(fā)短信與B給A發(fā)短信是不同的,所以存在順序問題,是排列問題.④由1,2,3組成的三位數(shù)與順序有關(guān),是排列問題.⑤,⑥不存在順序問題,不是排列問題.
[答案]?、佗邰?
[變式] 將典例中③的“互發(fā)短信”改為“互通電話”,則此問題是排列問題嗎?
[解] 不是,互通電話與互發(fā)短信不同,與順序無關(guān),故不是排列問題.
判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路
[跟蹤訓(xùn)練]
判斷下列問題是否為排列問題:
(1)某班共有50名同學(xué),現(xiàn)要投票選舉正、副班長各一人,共有多少種可能的選舉結(jié)果?
(2)從2,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù),有多少個(gè)不同的對數(shù)值?
(3)有12個(gè)車站,共需準(zhǔn)備多少種車票?
(4)從集合M={x|1≤x≤9,x∈N}中任取相異的兩個(gè)元素作為a,b,可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1?
[解] (1)是.選出的2人,擔(dān)任正、副班長,職務(wù)不同,與順序有關(guān),所以是排列問題;
(2)是.對數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值的不同有關(guān)系,與順序有關(guān);
(3)是.起點(diǎn)站或終點(diǎn)站不同,則車票就不同,與順序有關(guān).
(4)不是.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,方程中的a,b必須a>b,a,b的大小一定,選出的兩數(shù)較大的只能作a,較小的只能作b,與順序無關(guān),所以不是排列問題.
題型二 排列數(shù)公式及應(yīng)用
思考:你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個(gè)概念嗎?它們有什么區(qū)別?
提示:“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念,排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).
(1)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55);
(2)計(jì)算2A+A;
(3)求證:A+mA=A.
[思路導(dǎo)引] (1)(2)應(yīng)是排列數(shù)公式的正、逆用;(3)中證明常采用排列數(shù)公式的階乘形式.
[解] (1)∵55-n,56-n,…,69-n中的最大數(shù)為69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15個(gè)元素,
∴(55-n)(56-n)…(69-n)=A.
(2)2A+A=2432+4321=48+24=72.
(3)證明:A+mA=+m===A.
(1)排列數(shù)的第一個(gè)公式A=n(n-1)…(n-m+1)適用于具體計(jì)算以及解當(dāng)m較小時(shí)的含有排列數(shù)的方程和不等式,在運(yùn)用該公式時(shí)要注意它的特點(diǎn);
(2)排列數(shù)的第二個(gè)公式A=適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等,在具體運(yùn)用時(shí),應(yīng)注意先提取公因式,再計(jì)算,同時(shí)還要注意隱含條件“m≤n且n∈N*,m∈N*”的運(yùn)用.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.計(jì)算.
[解]?。剑剑?
2.求3A=4A中的x.
[解] 原方程3A=4A可化為=,即=,化簡,得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13.
由題意知解得x≤8.
所以原方程的解為x=6.
(1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位不同的數(shù),一共可以組成多少個(gè)?
(2)寫出從4個(gè)元素a,b,c,d中任取3個(gè)元素的所有排列.
[思路導(dǎo)引] 可采用樹形圖的方法列舉,也可以直接利用排列數(shù)公式.
[解] (1)解法一:把1,2,3,4中任意一個(gè)數(shù)字排在第一個(gè)位置上,有4種排法;第一個(gè)位置排好后,第二個(gè)位置上的數(shù)字就有3種排法.
由題意作樹形圖,如下.
故組成的所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12個(gè).
解法二:從4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè),其排列個(gè)數(shù)為A=43=12.
(2)由題意作樹形圖,如下.
故所有的排列為abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
利用“樹形圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略
(1)適用范圍:“樹形圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問題時(shí),是一種比較有效的表示方式.
(2)策略:在操作中先將元素按一定順序排出,然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,再安排第二個(gè)元素,并按此元素分類,依次進(jìn)行,直到完成一個(gè)排列,這樣能做到不重不漏,然后再按樹形圖寫出排列.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.寫出A,B,C,D四名同學(xué)站成一排照相,A不站在兩端的所有可能站法.
[解] 如圖所示的樹形圖:
故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12種.
2.(1)有5個(gè)不同的科研小課題,從中選3個(gè)由高二(6)班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究,每組一個(gè)課題,共有多少種不同的安排方法?
(2)12名選手參加校園歌手大獎賽,比賽設(shè)一等獎、二等獎、三等獎各一名,每人最多獲得一種獎項(xiàng),共有多少種不同的獲獎情況?
[解] (1)從5個(gè)不同的科研小課題中選出3個(gè),由3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究,對應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列.
因此共有A=543=60種不同的安排方法.
(2)從12名選手中選出3名獲獎并安排獎次,共有A=121110=1320種不同的獲獎情況.
1.本節(jié)課的重點(diǎn)是排列的概念、排列數(shù)公式及其簡單應(yīng)用.難點(diǎn)是排列數(shù)公式的計(jì)算與證明問題.
2.本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法
(1)對排列概念的理解,見典例1;
(2)利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算或證明,見典例2;
(3)簡單排列問題的解決方法,見典例3.
3.本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用排列數(shù)公式A解決問題時(shí),易忽視條件m≤n,且m∈N*,n∈N*.