2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時(shí) 排列與排列數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第1課時(shí)　排列與排列數(shù)公式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 知識(shí)點(diǎn)一　排列的定義 從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)． 思考　讓你安排這項(xiàng)活動(dòng)需要分幾步？ 答案　分兩步．第1步確定上午的同學(xué)； 第2步確定下午的同學(xué)． 梳理　一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列． 知識(shí)點(diǎn)二　排列數(shù)及排列數(shù)公式 思考　從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)？ 答案　432＝24(個(gè))． 梳理 排列數(shù)定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù) 排列數(shù)表示法 A 排列數(shù)公式 乘積式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 階乘式 A＝ 性質(zhì) A＝n！，0?。? 備注 n，m∈N*，m≤n  1．a(chǎn)，b，c與b，a，c是同一個(gè)排列．(　　) 2．同一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)．(　√　) 3．在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生變化．(　　) 4．從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　　) 類型一　排列的概念 例1　判斷下列問題是否為排列問題： (1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)； (2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜； (3)選2個(gè)小組去種菜； (4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組； (5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員； (6)某班40名學(xué)生在假期相互通信． 考點(diǎn)　排列的概念 題點(diǎn)　排列的判斷 解　(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題． (2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． (3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題． (5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． (6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題． 所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題． 反思與感悟　判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路 跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列問題是否為排列問題． (1)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？ (2)從集合M＝{1,2，…，9}中，任取兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程＋＝1？可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程－＝1? (3)平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？ 考點(diǎn)　排列的概念 題點(diǎn)　排列的判斷 解　(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．“入座”問題同“排隊(duì)”問題，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題． (2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題． 若方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關(guān)系一定； 在雙曲線－＝1中，不管a>b還是a13可表示為(　　) A．A B．A C．A D．A 考點(diǎn)　排列數(shù)公式 題點(diǎn)　利用排列數(shù)公式計(jì)算 答案　B 解析　從(x－3)，(x－4)，…到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11(個(gè))數(shù)，所以根據(jù)排列數(shù)公式知(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)＝A. 4．從5本不同的書中選2本送給2名同學(xué)，每人1本，不同的送法種數(shù)為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 考點(diǎn)　排列的應(yīng)用 題點(diǎn)　無限制條件的排列問題 答案　D 5．解方程A＝140A. 考點(diǎn)　排列數(shù)公式 題點(diǎn)　解含有排列數(shù)的方程或不等式 解　根據(jù)題意，原方程等價(jià)于 即 整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)， 解得x＝3. 1．判斷一個(gè)問題是否是排列問題的思路 排列的根本特征是每一個(gè)排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且與元素的排列順序有關(guān)．這就說，在判斷一個(gè)問題是否是排列問題時(shí)，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個(gè)，若結(jié)果變化，則是排列問題，否則不是排列問題． 2．關(guān)于排列數(shù)的兩個(gè)公式 (1)排列數(shù)的第一個(gè)公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)適用m已知的排列數(shù)的計(jì)算以及排列數(shù)的方程和不等式．在運(yùn)用時(shí)要注意它的特點(diǎn)，從n起連續(xù)寫出m個(gè)數(shù)的乘積即可． (2)排列數(shù)的第二個(gè)公式A＝用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，應(yīng)注意先提取公因式再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“n，m∈N*，m≤n”的運(yùn)用． 一、選擇題 1．A＝9101112，則m等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 考點(diǎn)　排列數(shù)公式 題點(diǎn)　利用排列數(shù)公式計(jì)算 答案　B 2．已知下列問題：①從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組；②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng)；③從a，b，c，d中選出3個(gè)字母；④從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)．其中是排列問題的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 考點(diǎn)　排列的概念 題點(diǎn)　排列的判斷 答案　B 解析　由排列的定義知①④是排列問題． 3．與AA不相等的是(　　) A．A B．81A C．10A D．A 考點(diǎn)　排列數(shù)公式 題點(diǎn)　利用排列數(shù)公式證明 答案　B 解析　AA＝10987！＝A＝10A＝A，81A＝9A≠A，故選B. 4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 考點(diǎn)　排列的概念 題點(diǎn)　列舉所有排列 答案　B 解析　列樹狀圖如下： 丙甲乙乙甲　乙甲丙丙甲 故組成的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種． 5．從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的不同結(jié)果有(　　) A．6個(gè) B．10個(gè) C．12個(gè) D．16個(gè) 考點(diǎn)　排列的應(yīng)用 題點(diǎn)　無限制條件的排列問題 答案　C 解析　不同結(jié)果有A＝43＝12(個(gè))． 6．下列各式中與排列數(shù)A相等的是(　　) A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C. D．AA 考點(diǎn)　排列數(shù)公式 題點(diǎn)　利用排列數(shù)公式證明 答案　D 解析　A＝，而AA＝n＝， ∴AA＝A. 7．四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．6 B．9 C．12 D．24 考點(diǎn)　排列的概念 題點(diǎn)　列舉所有排列 答案　B 解析　這四位數(shù)列舉為如下： 1 012,1 021,1 102,1 120,1 201， 1 210,2 011,2 101,2 110，共9個(gè)． 二、填空題 8．從a，b，c，d，e五個(gè)元素中每次取出三個(gè)元素，可組成________個(gè)以b為首的不同的排列，它們分別是________________________________________． 考點(diǎn)　排列的概念 題點(diǎn)　列舉所有排列 答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析　畫出樹狀圖如下： 可知共12個(gè)，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 9．若集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，則集合P中共有________個(gè)元素． 考點(diǎn)　排列數(shù)公式 題點(diǎn)　利用排列數(shù)公式計(jì)算 答案　3 解析　由題意知，m＝1,2,3,4，由A＝A，故集合P中共有3個(gè)元素． 10．滿足不等式>12的n的最小值為________． 考點(diǎn)　排列數(shù)公式 題點(diǎn)　解含有排列數(shù)的方程或不等式 答案　10 解析　＝＝>12，得(n－5)(n－6)>12， 解得 n>9或n<2(舍去)．∴最小正整數(shù)n的值為10. 11．2017北京車展期間，某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為________． 考點(diǎn)　排列的應(yīng)用 題點(diǎn)　無限制條件的排列問題 答案　60 解析　由題意可知，問題為從5個(gè)元素中選3個(gè)元素的排列問題，所以安排方法有543＝60(種)． 12．由1,4,5，x四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，則x＝________. 考點(diǎn)　排列的應(yīng)用 題點(diǎn)　無限制條件的排列問題 答案　2 解析　當(dāng)x≠0時(shí)，有A＝24(個(gè))四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)的數(shù)字之和為1＋4＋5＋x， 故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2； 當(dāng)x＝0時(shí)，每個(gè)四位數(shù)的數(shù)字之和為1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合題意， 綜上可知，x＝2. 三、解答題 13．一條鐵路線原有n個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加了2個(gè)車站，客運(yùn)車票增加了58種，問原有多少個(gè)車站？現(xiàn)有多少車站？ 考點(diǎn)　排列的應(yīng)用 題點(diǎn)　無限制條件的排列問題 解　由題意可得A－A＝58， 即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58， 解得n＝14. 所以原有車站14個(gè)，現(xiàn)有車站16個(gè)． 四、探究與拓展 14．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，則S的個(gè)位數(shù)字是(　　) A．8 B．5 C．3 D．0 考點(diǎn)　排列數(shù)公式 題點(diǎn)　利用排列數(shù)公式計(jì)算 答案　C 解析　1?。?,2！＝2,3?。?,4?。?4,5?。?20，而6?。?5！，7?。?65！，…，100?。?0099…65！，所以從5！開始到100！，個(gè)位數(shù)字均為0，所以S的個(gè)位數(shù)字為3. 15．京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長(zhǎng)1 318公里，途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個(gè)省市，設(shè)立包括北京南、天津西、濟(jì)南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個(gè)車站，計(jì)算鐵路部門要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備多少種不同的火車票？ 考點(diǎn)　排列的應(yīng)用 題點(diǎn)　無限制條件的排列問題 解　對(duì)于兩個(gè)火車站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因?yàn)槊繌埰睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站．因此，結(jié)果應(yīng)為從21個(gè)不同元素中，每次取出2個(gè)不同元素的排列數(shù)A＝2120＝420(種)．所以一共需要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備420種不同的火車票．