北師大數(shù)學(xué)八年級上冊第二章《實數(shù)和二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 《實數(shù)和二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根. 2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根. 3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化. 4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍. 5.理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì). 6.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的四則運算. 7.了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用. 【知識網(wǎng)絡(luò)】 【要點梳理】 要點一、平方根和立方根 類型 項目 平方根 立方根 被開方數(shù) 非負(fù)數(shù) 任意實數(shù) 符號表示 性質(zhì) 一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)； 零的平方根為零； 負(fù)數(shù)沒有平方根； 一個正數(shù)有一個正的立方根； 一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根； 零的立方根是零； 重要結(jié)論 要點二、無理數(shù)與實數(shù) 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù). 1.實數(shù)的分類 實數(shù) 要點詮釋：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)． （2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等； ②有特殊意義的數(shù)，如π； ③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.… 　 （3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式. 2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應(yīng) 數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng). 3.實數(shù)的三個非負(fù)性及性質(zhì) 　　在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式： 　 （1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，即||≥0； 　?。?）任何一個實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即≥0； 　?。?）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即 (). 　　非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)： 　　（1）非負(fù)數(shù)有最小值零； 　?。?）有限個非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)； 　?。?）幾個非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個非負(fù)數(shù)都等于0. 4.實數(shù)的運算 數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0. 　　有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里. 5.實數(shù)的大小的比較 　　有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立. 　　法則1. 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大； 法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而??； 　法則3. 兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法. 要點三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì) 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 要點詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義. 2.二次根式的性質(zhì) （1）； （2）； （3）. 要點詮釋：（1） 一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即 （），如（）. （2） 中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義. （3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡. （4）與的異同 不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)； =，=（）. 相同點：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時，=. 3. 最簡二次根式 （1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式； （2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式. 滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式. 要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2. 4.同類二次根式 幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式. 要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式. 要點四、二次根式的運算 1. 乘除法 （1）乘除法法則： 類型 法則 逆用法則 二次根式的乘法 積的算術(shù)平方根化簡公式： 二次根式的除法 商的算術(shù)平方根化簡公式： 要點詮釋： （1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如. （2）被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）. 如. 2.加減法 將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式. 要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如. 【典型例題】 類型一、有關(guān)方根的問題 1、已知，求的值. 【思路點撥】由被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不為0得出的值，從而求出值，及的值. 【答案與解析】 解：由題意得 ，解得＝－3 ＝－2 ∴＝. 【總結(jié)升華】根據(jù)使式子有意義的條件列出方程，解方程，從而得到的值. 2、（2016春?南昌期末）已知實數(shù)x、y滿足，求2x﹣的立方根． 【答案與解析】 解：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知：2x﹣16=0，x﹣2y+4=0， 解得：x=8，y=6． ∴2x﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x﹣的立方根是2． 【總結(jié)升華】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、立方根的定義，求得x、y的值是解題的關(guān)鍵． 類型二、與實數(shù)有關(guān)的問題 3、已知是的整數(shù)部分，是它的小數(shù)部分，求的值． 【思路點撥】一個數(shù)是由整數(shù)部分＋小數(shù)部分構(gòu)成的.通過估算的整數(shù)部分是3，那么它的小數(shù)部分就是，再代入式子求值. 【答案與解析】 解：∵是的整數(shù)部分，是它的小數(shù)部分， ∴ ∴. 【總結(jié)升華】可用夾擠法來確定，即看介于哪兩個相鄰的完全平方數(shù)之間，然后開平方.這個數(shù)減去它的整數(shù)部分后就是它的小數(shù)部分. 舉一反三： 【變式】 已知5＋的小數(shù)部分為，5－的小數(shù)部分為，則＋的值是 ； －的值是_______. 【答案】； 提示：由題意可知，. 4、閱讀理解，回答問題. 在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，有時會遇到比較兩數(shù)大小的問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)命題的題設(shè)和結(jié)論特征，采用相應(yīng)辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問題的一種行之有效的方法：若－＞0，則＞；若－＝0，則＝；若－＜0，則＜. 例如：在比較與的大小時，小東同學(xué)的作法是： ∵ ∴ 請你參考小東同學(xué)的作法，比較與的大小. 【思路點撥】仿照例題，做差后經(jīng)過計算判斷差與0的關(guān)系，從而比較大小. 【答案與解析】 解：∵ ∴＜ 【總結(jié)升華】實數(shù)比較大小常用的有作差法和作商法，根據(jù)具體情況加以選擇. 舉一反三： 【變式】實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的大小關(guān)系是： ； 【答案】； 類型三、實數(shù)綜合應(yīng)用 5、閱讀材料： 學(xué)習(xí)了無理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動：估算的近似值. 小明的方法： ∵，設(shè)（）.∴. ∴.∴.解得 .∴. 問題：（1）請你依照小明的方法，估算的近似值； （2）請結(jié)合上述具體實例，概括出估算的公式：已知非負(fù)整數(shù)、、，若，且，則_________________(用含、的代數(shù)式表示)； （3）請用（2）中的結(jié)論估算的近似值. 【答案與解析】 解：（1）∵，設(shè)（）. ∴. ∴.∴. 解得 . ∴. （2）∵，設(shè)（）. ∴. ∴. ∴. 對比， ∴ （3） ∴， ∴6.083. 【總結(jié)升華】此題比較新穎，關(guān)鍵是通過閱讀材料快速掌握估值的方法.（2）問中要對比式子，找準(zhǔn)和，表示出. 類型四、二次根式概念及運算 6、（2015春?石林縣期末）計算：5+﹣×+÷． 【思路點撥】先二次根式化為最簡二次根和根據(jù)二次根式的乘除法得到原式=+﹣+3÷=2﹣1+3，然后合并即可． 【答案與解析】 解：原式=+﹣+3÷ =2﹣1+3 =2+2． 【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后進行二次根式的加減運算． 舉一反三： 【變式】. 【答案】. 7、已知為△ABC的三邊長，化簡 　　　　　 【答案與解析】 解：∵為△ABC的三邊長， 　　　 ∴原式 　　　 【總結(jié)升華】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊和進行化簡. 8、 若，化簡. 【答案與解析】 【總結(jié)升華】把分子分母分別分解因式，然后約分，可以簡化化簡步驟. 舉一反三： 【變式】當(dāng). 【答案】 解： ， 將代入，原式=3. 【鞏固練習(xí)】 一.選擇題 1．已知、是實數(shù)，下列命題結(jié)論正確的是（ ） A．若＞，則＞ B．若＞｜｜，則＞ C．若｜｜＞，則＞ D．若＞，則＞ 2. 下列說法正確的有（ ） ①無限小數(shù)不一定是無理數(shù)； ②無理數(shù)一定是無限小數(shù)； ③帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)； ④不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù). A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④ 3．已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個數(shù)是（ ）. A．4 B. 5 C. 6 D. 7 4．若＜0，則的結(jié)果是( ). 　　A．0　 　 B．-2 　 　C．0或-2　　 D．2 5. 若，則，，的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 6.（2015春?安順期末）下列計算正確的有（　　） ①； ②； ③； ④． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 7. 已知:＝（ ） A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600 8.（2016?泰安）如圖，四個實數(shù)m，n，p，q在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為M，N，P，Q，若n+q=0，則m，n，p，q四個實數(shù)中，絕對值最大的一個是（　?。? A．p B．q C．m D．n 二.填空題 9. 下列命題中正確的有 (填序號) (1)若那么; (2)兩數(shù)的和大于等于這兩數(shù)的差; (3)若那么; (4)若 則; (5) (6)一個數(shù)越大,這個數(shù)的倒數(shù)越小; (7)有理數(shù)加有理數(shù)一定是有理數(shù); (8)無理數(shù)加無理數(shù)一定是無理數(shù); (9)無理數(shù)乘無理數(shù)一定是無理數(shù); 10. 已知和互為相反數(shù)，且，＝_________． 11. 若，則＝ ，若，則＝ . 12. 已知 : . 13. （2016春?長興縣月考）已知a、b、c是△ABC三邊的長，則化簡﹣|a+b﹣c|的結(jié)果為　 ?。? 14.（2015?攀枝花模擬）已知，，則代數(shù)式x2﹣3xy+y2的值為　 ?。? 15. 方程 的解 ＝ _________ . 16. 若則的值等于_________. 三.解答題 17． 計算： 　(1) (2) 18.已知： 19.（2015春?桃園縣校級期末）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根． 20．細(xì)心觀察右圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題： ； ； ； ……，……； （1）請用含n(n為正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律； （2）觀察總結(jié)得出結(jié)論：三角形兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，用一句話概括為： ； （3）利用上面的結(jié)論及規(guī)律，請作出等于的長度； （4）你能計算出的值嗎？ 【答案與解析】 一.選擇題 1. 【答案】B； 【解析】B答案表明，故＞. 2. 【答案】A； 3．【答案】C； 【解析】由原式得： 所以，因為，, 所以. 4.【答案】D； 5. 【答案】C； 【解析】可以取特殊值驗證. 6. 【答案】A； 【解析】解：①應(yīng)先計算為根號內(nèi)是36，再開方，，無意義，錯誤； ②正確； ③④用平方差公式，根號應(yīng)計算為9，結(jié)果應(yīng)為3，錯誤． 故選A． 7. 【答案】D； 【解析】2.868向右移動1位，23.6應(yīng)向右移動3位得23600，考慮到符號，＝－23600. 8. 【答案】A； 【解析】∵n+q=0，∴n和q互為相反數(shù)，0在線段NQ的中點處，∴絕對值最大的點P表示的數(shù)p，故選A. 二.填空題 9. 【答案】（1），（4），（5），（7）； 10.【答案】2； 【解析】兩個非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)則只能均為0，于是可求＝2. 11.【答案】；； 【解析】正數(shù)的平方根有2個，實數(shù)有一個與它符號相同的立方根. 12.【答案】0.04858 【解析】23.6向左移動4位，4.858向左移動2位得0.04858. 13.【答案】2c﹣2a； 【解析】∵a、b、c是△ABC三邊的長， ∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0， ∴﹣|a+b﹣c| =﹣a+b+c﹣a﹣b+c =2c﹣2a． 14.【答案】95； 【解析】解：代入x，y的值得， x2﹣3xy+y2=（）2﹣3×+（）2， =+﹣3， =50+48﹣3， =95． 故填95． 15.【答案】； 【解析】. 16.【答案】1996； 【解析】由得≥1996，原式＝－1995＋＝，＝1995，兩邊平方得＝1996. 三.解答題 17.【解析】 解：(1) 原式== ==. (2) 原式 　　　 18.【解析】 解：，∴. ∴原式= . 19.【解析】 解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3， ∴x﹣2=22，2x+y+7=27， 解得x=6，y=8， ∴x2+y2=62+82=100， ∴x2+y2的平方根是±10． 20.【解析】 解：（1）． （2）直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． （3）略． 專心---專注---專業(yè)