2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題18 等差數(shù)列 理.doc
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2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題18 等差數(shù)列 理.doc
專題18 等差數(shù)列
一、 考綱要求:
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
二、概念掌握及解題上的注意點:
1.(解決等差數(shù)列運算問題的思想方法
(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d,通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.
(3)利用性質(zhì):運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.
2. 等差數(shù)列的四種判斷方法
(1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明.
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.可用來判定與證明.
(3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
(4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
三、高考考題題例分析:
例1.(2018課標(biāo)卷I) 記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( )
A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12
【答案】B
【解析】:∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,3S3=S2+S4,a1=2,
∴=a1+a1+d+4a1+d,
把a1=2,代入得d=﹣3
∴a5=2+4(﹣3)=﹣10.
故選:B.
例2.(2018課標(biāo)卷II)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
【答案】(1)an=2n﹣9;(2)﹣16.
例3.(2018北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項公式為
【答案】an=6n﹣3.
【解析】:∵{an}是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,
∴,
解得a1=3,d=6,
∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)6=6n﹣3.
∴{an}的通項公式為an=6n﹣3.
故答案為:an=6n﹣3.
例4.(2018上海卷)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7= ?。?
【答案】14
【解析】解:∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=0,a6+a7=14,
∴,
解得a1=﹣4,d=2,
∴S7=7a1+=﹣28+42=14.
故答案為:14.
例5.(2017課標(biāo)I)記為等差數(shù)列的前項和.若,,則的公差為
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】C
例6.(2017浙江)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4 + S6>2S5”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】:由,可知當(dāng),則
,即,反之,,所以為充要條件,選C.
例7.(2016高考新課標(biāo)1)已知等差數(shù)列前9項的和為27,,則()
(A)100 (B)99 (C)98 (D)97
【答案】C
【解析】:由已知,所以故選C.
例8.(2017天津)已知為等差數(shù)列,前n項和為,是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,,,.
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和.
【答案】 (1)..(2).
【解析】:根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程求出等差數(shù)列首項和公差及等比數(shù)列的公比,寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項公式,利用錯位相減法求出數(shù)列的和,要求計算要準(zhǔn)確.
(II)解:設(shè)數(shù)列的前項和為,
由,,有,
故,
,
上述兩式相減,得
得.
所以,數(shù)列的前項和為.
例9.(2016高考新課標(biāo)II)為等差數(shù)列的前項和,且記,其中表示不超過的最大整數(shù),如.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求數(shù)列的前1 000項和.
【答案】(Ⅰ),, ;(Ⅱ)1893.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)的公差為,據(jù)已知有,解得
所以的通項公式為
(Ⅱ)因為
所以數(shù)列的前項和為
等差數(shù)列練習(xí)
一、選擇題
1.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S3=6,a3=0,則公差d等于 ( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
【答案】D
【解析】:依題意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2,故選D.
2.在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6等于 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.6
【答案】B
【解析】:由等差數(shù)列的性質(zhì),得a6=2a4-a2=22-4=0,選B.
3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a7=-8,a2=2,則數(shù)列{an}的公差d等于 ( )
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
【答案】C
4.已知等差數(shù)列{an}中,a1=11,a5=-1,則{an}的前n項和Sn的最大值是 ( )
A.15 B.20
C.26 D.30
【答案】C
【解析】:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則d=(a5-a1)=-3,所以an=11-3(n-1)=14-3n,令an=14-3n≥0,解得n≤,所以Sn的最大值為S4=411+(-3)=26,故選C.
5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,則m= ( )
A.9 B.10
C.11 D.15
【答案】B
【解析】:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意解得
∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.
6.《張邱建算經(jīng)》卷上第22題為:今有女善織,日益功疾(注:從第2天起每天比前一天多織相同量的布),第1天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計),共織390尺布,則第2天織布的尺數(shù)為 ( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】:由條件知該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列{an},且a1=5,S30=390,設(shè)公差為d,則305+d=390,解得d=,則a2=a1+d=,故選A.
7.在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),則該數(shù)列的通項為 ( )
A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=
C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=
【答案】A
8.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5= ( )
A.5 B.7
C.9 D.11
【答案】A
【解析】:a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5==5a3=5.
9.等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=39,a5+a7+a9=27,則數(shù)列{an}的前9項的和S9等于( )
A.66 B.99
C.144 D.297
【答案】B
【解析】:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a1+a3+a5=3a3=39,可得a3=13.由a5+a7+a9=3a7=27,可得a7=9,故S9===99,故選B.
10.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若=,則= ( )
A.1 B.-1
C.2 D.
【答案】A
【解析】:====1.
11.等差數(shù)列{an}中,a2=8,前6項的和S6=66,設(shè)bn=,Tn=b1+b2+…+bn,則Tn= ( )
A.1- B.1-
C.- D.-
【答案】D
12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若為常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”.已知等差數(shù)列{bn}的首項為1,公差不為0,若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”,則數(shù)列{bn}的通項公式為( )
A.bn=n-1 B.bn=2n-1
C.bn=n+1 D.bn=2n+1
【答案】B
【解析】:設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0),=k,因為b1=1,則n+n(n-1)d=k,
即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,
整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.
因為對任意的正整數(shù)n上式均成立,
所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,
解得d=2,k=,
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1.
二、填空題
13.在等差數(shù)列{an}中,公差d=,前100項的和S100=45,則a1+a3+a5+…+a99=________.
【答案】10
14.《九章算術(shù)》是我國第一部數(shù)學(xué)專著,下面有源自其中的一個問題:“今有金箠(chu),長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問金箠重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長5尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤;問金箠重多少斤?”根據(jù)上面的已知條件,若金箠由粗到細的重量是均勻變化的,則答案是________.
【答案】15斤
【解析】:由題意可知金箠由粗到細各尺的重量成等差數(shù)列,且a1=4,a5=2,則S5==15,故金箠重15斤.
15.在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時Sn取得最大值,則d的取值范圍為________.
【答案】
【解析】:由題意,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時Sn有最大值,可得即解得-1<d<-.
16.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則正整數(shù)m的值為________.
【答案】5
【解析】:因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,數(shù)列的公差d=1,am+am+1=Sm+1-Sm-1=5,即2a1+2m-1=5,
所以a1=3-m.
由Sm=(3-m)m+1=0,
解得正整數(shù)m的值為5.
三、解答題
17.在等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk=-35,求k的值.
【答案】(1)an=1+(n-1)(-2)=3-2n;(2) k=7.
18.已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*).
①求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
②求數(shù)列{an}中的通項公式an.
【解析】①證明:因為an=2-(n≥2,n∈N*),
bn=.
所以n≥2時,bn-bn-1=-
=-=-=1.
又b1==-,
所以數(shù)列{bn}是以-為首項,1為公差的等差數(shù)列.
②由(1)知,bn=n-,
則an=1+=1+.
19.已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a,前n項和為Sn,且Sk=110.
(1)求a及k的值;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式bn=,證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項和Tn.
【答案】(1) a=2,k=10. (2) Tn=
(2)證明:由(1)得Sn==n(n+1),
則bn==n+1,
故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
即數(shù)列{bn}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,
所以Tn==.
20.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.
【解析】 (1)證明:由題設(shè)知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1,
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由題設(shè)知a1=1,a1a2=λS1-1,
可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;
{a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2,
因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
21.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=(an+1)2,且an>0.
(1)求a1,a2;
(2)求{an}的通項公式;
(3)令bn=20-an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最大值.
【答案】1); 2); 3)n=10,為最大
【解析】:1)由a1=S1?a1=1,a2=S2-S1?a2=3;
2)bn=21-2n,Tn最大?bn≥0,bn+1<0 ?n=10,∴Tn=T10=100為最大。
22.已知數(shù)列的前項和為,且,,成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.
【答案】(1);(2).
(2)由得,
∴
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