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(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專(zhuān)題七 數(shù)列講義 理(重點(diǎn)生含解析).doc

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(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專(zhuān)題七 數(shù)列講義 理(重點(diǎn)生含解析).doc

專(zhuān)題七 數(shù) 列 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 等差數(shù)列的基本運(yùn)算T4 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及最值T17 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式T17 Sn與an的關(guān)系、等比數(shù)列求和T14 2017 等差數(shù)列的基本運(yùn)算T4 數(shù)學(xué)文化、等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和公式T3 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比中項(xiàng)T9 等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用、創(chuàng)新問(wèn)題T12 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法求和T15 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式T14 2016 等差數(shù)列的基本運(yùn)算T3 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、創(chuàng)新問(wèn)題T17 數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式T17 等比數(shù)列的基本運(yùn)算及二次函數(shù)最值問(wèn)題T15 縱向把握趨勢(shì) 卷Ⅰ3年6考,題型為選擇題和填空題,難度適中.涉及等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算,Sn與an的關(guān)系,預(yù)計(jì)2019年會(huì)以解答題的形式考查等差、等比數(shù)列的基本關(guān)系及等差、等比數(shù)列的判定與證明 卷Ⅱ3年4考,題型既有選擇題、填空題和解答題,涉及數(shù)學(xué)文化、等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法.預(yù)計(jì)2019年高考題仍以考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算為主,同時(shí)考查數(shù)列求和問(wèn)題,且三種題型均有可能 卷Ⅲ3年4考,題型既有選擇題、填空題,也有解答題,涉及等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算、數(shù)列求和問(wèn)題,難度適中.預(yù)計(jì)2019年高考會(huì)以小題的形式考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及基本運(yùn)算,難度適中 橫向把握重點(diǎn) 1.高考主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的基本運(yùn)算,兩類(lèi)數(shù)列求和方法(裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法)、兩類(lèi)綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合),主要突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用. 2.若以解答題形式考查,數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查,試題難度中等;若以客觀題考查,難度中等的題目較多,但有時(shí)也出現(xiàn)在第12題或16題位置上,難度偏大,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注. 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算和性質(zhì) [題組全練] 1.(2017全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為(  ) A.1           B.2 C.4 D.8 解析:選C 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則由得 即解得d=4. 2.已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(  ) A.21 B.42 C.63 D.84 解析:選B 設(shè){an}的公比為q,由a1=3,a1+a3+a5=21,得1+q2+q4=7,解得q2=2(負(fù)值舍去).∴a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42. 3.(2017全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為(  ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 解析:選A 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因?yàn)閍2,a3,a6成等比數(shù)列,所以a2a6=a, 即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2. 又a1=1,所以d2+2d=0. 又d≠0,則d=-2, 所以{an}前6項(xiàng)的和S6=61+(-2)=-24. 4.若{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,a2 017+a2 018>0,a2 017a2 018<0,則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是(  ) A.2 017 B.2 018 C.4 034 D.4 035 解析:選C 因?yàn)閍1>0,a2 017+a2 018>0,a2 017a2 018<0,所以d<0,a2 017>0,a2 018<0, 所以S4 034==>0, S4 035==4 035a2 018<0, 所以使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 034. 5.(2018全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m. 解:(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=. 由Sm=63,得(-2)m=-188,此方程沒(méi)有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn==2n-1. 由Sm=63,得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. [系統(tǒng)方法] 1.等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組),求出a1和d(q)后代入相應(yīng)的公式計(jì)算. 2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題的求解策略 (1)抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解. (2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題. (3)利用數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算時(shí),要注意整體思想的應(yīng)用(如第2題),可以減少計(jì)算量,此方法還適用于求函數(shù)值、求函數(shù)的解析式等問(wèn)題. 以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問(wèn)題 [題組全練] 1.《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾.初日織五尺,今一月日織九匹三丈.”其意思為今有一女子擅長(zhǎng)織布,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第一天織5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布.則該女子最后一天織布的尺數(shù)為(  ) A.18 B.20 C.21 D.25 解析:選C 依題意得,織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列,設(shè)為{an},其中a1=5,前30項(xiàng)和為390,于是有=390,解得a30=21,即該織女最后一天織21尺布. 2.(2017全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈(  ) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 解析:選B 每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列,記為{an},則前7項(xiàng)的和S7=381,公比q=2,依題意,得S7==381,解得a1=3. 3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法,其方法的前兩步為: 第一步:構(gòu)造數(shù)列1,,,,…,. 第二步:將數(shù)列的各項(xiàng)乘以n,得數(shù)列(記為)a1,a2,a3,…,an. 則a1a2+a2a3+…+an-1an等于(  ) A.n2 B.(n-1)2 C.n(n-1) D.n(n+1) 解析:選C a1a2+a2a3+…+an-1an =++…+ =n2 =n2 =n2=n(n-1). [系統(tǒng)方法] 解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化問(wèn)題的3步驟 等差、等比數(shù)列的判定與證明 [由題知法]    (2017全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列. [解] (1)設(shè){an}的公比為q. 由題設(shè)可得 解得 故{an}的通項(xiàng)公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn= =-+(-1)n. 由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n =2=2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列. [類(lèi)題通法] 證明{an}是等差或等比數(shù)列的基本方法 等差 數(shù)列 (1)利用定義,證明an+1-an(n∈N*)為一常數(shù); (2)利用等差中項(xiàng),證明2an=an-1+an+1(n≥2) 等比 數(shù)列 (1)利用定義,證明(n∈N*)為一常數(shù); (2)利用等比中項(xiàng),證明a=an-1an+1(n≥2) [應(yīng)用通關(guān)]  (2018全國(guó)卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由; (3)求{an}的通項(xiàng)公式. 解:(1)由條件可得an+1=an. 將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12. 從而b1=1,b2=2,b3=4. (2)數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. 由條件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1, 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得=2n-1,所以an=n2n-1. 數(shù)列求和 [多維例析] 角度一 公式法求和  (2018廈門(mén)質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=,n∈N*. (1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列; (2)設(shè)T2n=-+-+…+-,求T2n. [解] (1)證明:由an+1=, 得==+,所以-=. 又a1=1,則=1, 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列. (2)設(shè)bn=-=, 由(1)得,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列, 所以-=-, 即bn==-, 所以bn+1-bn=-=-=-. 又b1=-=-=-, 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-,公差為-的等差數(shù)列, 所以T2n=b1+b2+…+bn=-n+=-(2n2+3n). [類(lèi)題通法] 公式法求數(shù)列和問(wèn)題需過(guò)“三關(guān)” 角度二 分組求和法求和  (2018珠海模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a,公差為d,n∈N*,且不等式ax2-3x+2<0的解集為(1,d). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an; (2)若bn=3an+an-1,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解] (1)易知a≠0,由題設(shè)可知 解得 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+(n-1)2=2n-1. (2)由(1)知bn=32n-1+2n-1-1, 則Tn=(3+1)+(33+3)+…+(32n-1+2n-1)-n =(31+33+…+32n-1)+(1+3+…+2n-1)-n =+-n =(9n-1)+n2-n. [類(lèi)題通法] 分組求和法求數(shù)列和的關(guān)鍵點(diǎn) 角度三 用裂項(xiàng)相消法求和  (2017全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. [解] (1)因?yàn)閍1+3a2+…+(2n-1)an=2n, 故當(dāng)n≥2時(shí), a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1). 兩式相減得(2n-1)an=2,所以an=(n≥2). 又由題設(shè)可得a1=2,滿足上式, 從而{an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)記的前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知==-. 則Sn=1-+-+…+- =1-=. [類(lèi)題通法] 裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和問(wèn)題的步驟 角度四 用錯(cuò)位相減法求和  (2017天津高考)已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*). [解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0). 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因?yàn)閝>0,解得q=2.所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.① 由S11=11b4,可得a1+5d=16.② 由①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n. (2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為T(mén)n, 由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1, 得a2nb2n-1=(3n-1)4n, 故Tn=24+542+843+…+(3n-1)4n,③ 4Tn=242+543+844+…+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,④ ③-④,得-3Tn=24+342+343+…+34n-(3n-1)4n+1=-4-(3n-1)4n+1 =-(3n-2)4n+1-8. 故Tn=4n+1+. 所以數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為4n+1+. [類(lèi)題通法] 錯(cuò)位相減法求數(shù)列和問(wèn)題的步驟 重難增分(一) 數(shù)列遞推公式的應(yīng)用 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1.[利用an與Sn的關(guān)系求Sn](2015全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________. 解析:由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn, 兩邊同時(shí)除以Sn+1Sn,得-=-1, 故數(shù)列是以-1為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列, 則=-1+(n-1)(-1)=-n,所以Sn=-. 答案:- [啟思維] 本題通過(guò)等式an+1=SnSn+1考查了an與Sn關(guān)系的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用,通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列來(lái)求解.一般地,對(duì)于既有an,又有Sn的數(shù)列題,應(yīng)充分利用公式an=有時(shí)將an轉(zhuǎn)化為Sn,有時(shí)將Sn轉(zhuǎn)化為an,要根據(jù)題中所給條件靈活變動(dòng).應(yīng)注意對(duì)n=1的檢驗(yàn). 二、還可能這樣考 2.[累加法或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)]已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an-an-1=n(n≥2,n∈N*),則an=__________. 解析:由題意可知,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2), 以上式子累加得,an-a1=2+3+…+n. 因?yàn)閍1=2, 所以an=2+(2+3+…+n)=2+ =(n≥2). 因?yàn)閍1=2滿足上式,所以an=. 答案: [啟思維] (1)本題數(shù)列的遞推公式可轉(zhuǎn)化為an+1=an+f (n),通常采用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法——累加法(逐差相加法)求解.即先將遞推公式化成an+1-an=f (n),然后分別把n=1,2,3,…,n-1代入上式,便會(huì)得到(n-1)個(gè)等式,最后添加關(guān)于a1的等式,把n個(gè)等式相加之后,就會(huì)直接得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式. (2)對(duì)于遞推公式可轉(zhuǎn)化為=f (n)的數(shù)列,因?yàn)槠漕?lèi)似于等比數(shù)列,故通常采用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法——累乘法(逐商相乘法)求解.即分別將n=1,2,3,…,n-1代入上式,便會(huì)得到(n-1)個(gè)等式,最后添加關(guān)于a1的等式,這n個(gè)等式相乘之后,就會(huì)直接得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式.如[增分集訓(xùn)]第2題. 3.[構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)]已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(n∈N*),則an=________. 解析:因?yàn)閍n+1=,所以-=. 因?yàn)閍1=2,即=, 所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列, 所以=+(n-1)=,故an=. 答案: [啟思維] (1)本題遞推公式是形如an+1=的遞推關(guān)系,可采用取倒數(shù)的方法,將遞推式變形為-=,從而可構(gòu)造出數(shù)列,其首項(xiàng)為,公差為. (2)對(duì)于遞推式an+1=pan+q(p,q為常數(shù)),①當(dāng)p=1時(shí),{an}為等差數(shù)列;②當(dāng)p≠0,q=0時(shí),{an}為等比數(shù)列;③當(dāng)p≠0,q≠0時(shí),可利用待定系數(shù)法,將遞推式轉(zhuǎn)化為an+1+=p,從而可構(gòu)造出數(shù)列,其首項(xiàng)為a1+(不等于0),公比為p.如[增分集訓(xùn)]第3題. [增分集訓(xùn)] 1.(2018全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=________. 解析:∵Sn=2an+1,∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1+1, ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即an=2an-1. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1+1,得a1=-1. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1為-1,公比q為2的等比數(shù)列, ∴Sn===1-2n, ∴S6=1-26=-63. 答案:-63 2.已知在數(shù)列{an}中,an+1=an(n∈N*),且a1=4,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=__________. 解析:由an+1=an,得=, 故=,=,=,…,=(n≥2), 以上式子累乘得,=…=. 因?yàn)閍1=4,所以an=(n≥2). 因?yàn)閍1=4滿足上式,所以an=. 答案: 3.(2019屆高三陜西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=3,且點(diǎn)Pn(an,an+1)(n∈N*)在直線4x-y+1=0上,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=__________. 解析:因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an,an+1)在直線4x-y+1=0上, 所以4an-an+1+1=0. 所以an+1+=4. 因?yàn)閍1=3,所以a1+=. 故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為4的等比數(shù)列. 所以an+=4n-1, 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-1-. 答案:4n-1- 重難增分(二) 數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題 [典例細(xì)解]    (2017全國(guó)卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類(lèi)推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是(  ) A.440          B.330 C.220 D.110 [解析] 設(shè)第一項(xiàng)為第1組,接下來(lái)的兩項(xiàng)為第2組,再接下來(lái)的三項(xiàng)為第3組,依此類(lèi)推,則第n組的項(xiàng)數(shù)為n,前n組的項(xiàng)數(shù)和為. 由題意可知,N>100,令>100, 得n≥14,n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后. 易得第n組的所有項(xiàng)的和為=2n-1,前n組的所有項(xiàng)的和為-n=2n+1-n-2. 設(shè)滿足條件的N在第k+1(k∈N*,k≥13)組,且第N項(xiàng)為第k+1組的第t(t∈N*)個(gè)數(shù), 若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,則第k+1組的前t項(xiàng)的和2t-1應(yīng)與-2-k互為相反數(shù),即2t-1=k+2, ∴2t=k+3,∴t=log2(k+3), ∴當(dāng)t=4,k=13時(shí),N=+4=95<100,不滿足題意; 當(dāng)t=5,k=29時(shí),N=+5=440; 當(dāng)t>5時(shí),N>440. 故所求N的最小值為440. [答案] A [啟思維] 本題在創(chuàng)新情境中考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式,是具有綜合拓展性的客觀題的壓軸題.?dāng)?shù)列試題的創(chuàng)新多是材料背景創(chuàng)新,通常融入“和”與“通項(xiàng)”的關(guān)系,與生產(chǎn)生活、社會(huì)熱點(diǎn)相結(jié)合,考查考生的閱讀能力的同時(shí),也考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的邏輯推理、計(jì)算能力,培養(yǎng)了考生的創(chuàng)新意識(shí).另外,創(chuàng)新遷移類(lèi)型試題還有以下特點(diǎn):(1)新知識(shí)“開(kāi)幕”,別開(kāi)生面,新的知識(shí)主要是新的符號(hào)、定義、法則、圖表等,或介紹新的思維方法,著眼于應(yīng)用;(2)類(lèi)比、推廣;(3)以高中數(shù)學(xué)內(nèi)容為材料,“偷梁換柱”“移花接木”,創(chuàng)設(shè)新情境,演化新問(wèn)題.    (2013全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn,△AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,則(  ) A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列 [解析] 由bn+1=,cn+1=, 得bn+1+cn+1=an+(bn+cn),(*) bn+1-cn+1=-(bn-cn), 由an+1=an得an=a1, 代入(*)得bn+1+cn+1=a1+(bn+cn), ∴bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1), ∵b1+c1-2a1=2a1-2a1=0, ∴bn+cn=2a1>|BnCn|=a1, 所以點(diǎn)An在以Bn,Cn為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1的橢圓上(如圖).由b1>c1得b1-c1>0,所以|bn+1-cn+1|=(bn-cn),即|bn-cn|=(b1-c1)n-1,所以當(dāng)n增大時(shí)|bn-cn|變小,即點(diǎn)An向點(diǎn)A處移動(dòng),即邊BnCn上的高增大,又|BnCn|=an=a1不變,所以{Sn}為遞增數(shù)列. [答案] B [啟思維] 交匯問(wèn)題是將各主干知識(shí)“聯(lián)姻”“牽手”、交叉滲透等綜合考查主干知識(shí)的常見(jiàn)問(wèn)題,覆蓋面廣.本題將數(shù)列與幾何交匯,增大了試題難度,較好地考查了考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力,其實(shí)質(zhì)是考查數(shù)列的遞推關(guān)系式、橢圓的定義及性質(zhì),此題對(duì)考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象要求較高. [知能升級(jí)] 1.?dāng)?shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn): (1)以數(shù)列知識(shí)為紐帶,在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的交匯處命題,主要考查利用函數(shù)觀點(diǎn)、不等式的方法解決數(shù)列問(wèn)題,往往涉及與數(shù)列相關(guān)的不等式證明、參數(shù)的范圍等. (2)以數(shù)列知識(shí)為背景的新概念、創(chuàng)新型問(wèn)題,除了需要用到數(shù)列知識(shí)外,還要運(yùn)用函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)和方法,特別是題目條件中的“新知識(shí)”是解題的鑰匙,此類(lèi)問(wèn)題往往思維難度較大,通常作為壓軸題出現(xiàn). 2.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意,將核心問(wèn)題提煉出來(lái),運(yùn)用數(shù)列、函數(shù)、解析幾何的相關(guān)知識(shí)求解,主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用. [增分集訓(xùn)] 1.斐波那契數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*).若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里,每一小格子的邊長(zhǎng)為1,記前n項(xiàng)所占的格子的面積之和為Sn,每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為cn,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(  ) A.Sn+1=a+an+1an B.a(chǎn)1+a2+a3+…+an=an+2-1 C.a(chǎn)1+a3+a5+…+a2n-1=a2n-1 D.4(cn-cn-1)=πan-2an+1 解析:選C 對(duì)于選項(xiàng)A,由題圖可知,S2=a2a3,S3=a3a4,S4=a4a5,…,則Sn+1=an+1an+2=an+1(an+1+an)=a+an+1an,故A項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)B,a1+a2+a3+…+an=an+2-1=an+1+an-1?a1+a2+a3+…+an-1=an+1-1?a1+a2+a3+…+an-2=an-1?a1+a2+a3+…+an-3=an-1-1?…?a1=a3-1?1=2-1,故B項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)n=1時(shí),a1≠a2-1,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,4(cn-cn-1)=4=π(an+an-1)(an-an-1)=πan-2an+1,故D項(xiàng)正確. 2.已知函數(shù)f (x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,當(dāng)x>0時(shí),f (x)<2,對(duì)任意的x,y∈R,f (x)+f (y)=f (x+y)+2成立,若數(shù)列{an}滿足a1=f (0),且f (an+1)=f ,n∈N*,則a2 018的值為(  ) A.2 B. C. D. 解析:選C 令x=y(tǒng)=0得f (0)=2,所以a1=2. 設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)數(shù),且x1<x2, 則x2-x1>0, 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),f (x)<2,所以f (x2-x1)<2, 即f (x2)=f (x2-x1+x1)=f (x2-x1)+f (x1)-2<2+f (x1)-2=f (x1), 所以f (x)在R上是減函數(shù). 因?yàn)閒 (an+1)=f , 所以an+1=,即=+1, 所以+=3,因?yàn)椋?, 所以是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列, 所以+=3n-1,即an=. 所以a2 018=. 3.?dāng)?shù)列{an}中,a1=,an+1=(n∈N*),若不等式++tan≥0恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是____________. 解析:由an+1=, 得-=1,又=2, 所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列, 則=n+1,即an=, 從而不等式++tan≥0恒成立等價(jià)于-t≤+n+4恒成立, 易知當(dāng)n=2時(shí),+n+4取得最小值, 所以-t≤,即t≥-. 所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是. 答案: [高考大題通法點(diǎn)撥] 數(shù)列問(wèn)題重在“歸”——化歸  [思維流程]     [策略指導(dǎo)] 利用化歸思想可探索一些一般數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì).等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特殊的基本數(shù)列,高考中通常考查的是非等差、等比數(shù)列問(wèn)題,應(yīng)對(duì)的策略就是通過(guò)化歸思想,將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列.                                        已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)令cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. [破題思路] 第(1)問(wèn) 求什么想什么 求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,想到求首項(xiàng)b1和公差d 給什么用什么 題目中給出{an}的前n項(xiàng)和Sn,an=bn+bn+1.用Sn=3n2+8n求出an,由bn+bn+1=an的關(guān)系求b1,d 差什么找什么 要求{bn}的通項(xiàng)公式,還需要求b1和d. 可令bn+bn+1=an中的n=1和n=2,建立b1和d的方程組求解   第(2)問(wèn) 求什么想什么 求{cn}的前n項(xiàng)和Tn,想到根據(jù){cn}的通項(xiàng)公式的特征選擇求和公式 給什么用什么 已知cn=,用第(1)問(wèn)中所求an及bn可化簡(jiǎn)得cn [規(guī)范解答] (1)由題意知當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=6n+5. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=11, 符合上式. 所以an=6n+5. 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d. 由即解得 所以bn=3n+1. (2)由(1)知cn==3(n+1)2n+1. 由Tn=c1+c2+…+cn, 得Tn=3[222+323+…+(n+1)2n+1], 2Tn=3[223+324+…+(n+1)2n+2], 兩式作差, 得-Tn=3[222+23+…+2n+1-(n+1)2n+2] =3 =-3n2n+2, 所以Tn=3n2n+2. [關(guān)鍵點(diǎn)撥] 等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算模型 設(shè)置中間問(wèn)題 分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問(wèn)題需要首先求解的中間問(wèn)題.如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的邏輯次序 注意解題細(xì)節(jié) 在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]  (2018福州模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*).設(shè)bn=an+1-an. (1)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和Sn. 解:(1)證明:因?yàn)閍n+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*),bn=an+1-an, 所以====2, 又b1=a2-a1=2-1=1, 所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知bn=12n-1=2n-1, 因?yàn)閏n=, 所以cn==, 所以Sn=c1+c2+…+cn = ==.  [總結(jié)升華] 對(duì)于數(shù)列的備考:一是準(zhǔn)確掌握數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系,這是解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ);二是重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí),熟悉其基本概念、公式和性質(zhì),這是解決數(shù)列問(wèn)題的根本;三是注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問(wèn)題,掌握解決此類(lèi)問(wèn)題的通法;四是在知識(shí)的復(fù)習(xí)和解題過(guò)程中體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,如分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等.    [專(zhuān)題跟蹤檢測(cè)](對(duì)應(yīng)配套卷P180) 一、全練保分考法——保大分 1.已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次為a,a+2,3a,前n項(xiàng)和為Sn,且Sk=110,則k的值為(  ) A.9           B.11 C.10 D.12 解析:選C 由a,a+2,3a成等差數(shù)列,得公差為2,且2(a+2)=a+3a,解得a=2,所以Sk=2k+2=k2+k=110,解得k=10或k=-11(舍去). 2.(2018云南模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1-1,a3-3,a5-5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=(  ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:選C 依題意,注意到2a3=a1+a5,2a3-6=a1+a5-6,即有2(a3-3)=(a1-1)+(a5-5), 即a1-1,a3-3,a5-5成等差數(shù)列; 又a1-1,a3-3,a5-5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列, 因此有a1-1=a3-3=a5-5(若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則該數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列),q==1. 3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難.次日腳痛減一半,六朝方得至其關(guān).要見(jiàn)次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思是“有一個(gè)人走378里,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地.”則第三天走了(  ) A.60里 B.48里 C.36里 D.24里 解析:選B 由題意得每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列{an},其中q=,S6=378,則S6==378,解得a1=192,所以a3=192=48. 4.已知遞減的等差數(shù)列{an}中,a3=-1,a1,a4,-a6成等比數(shù)列.若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S7的值為(  ) A.-14 B.-9 C.-5 D.-1 解析:選A 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題可知d<0,因?yàn)閍1,a4,-a6成等比數(shù)列,所以a=a1(-a6),即(a1+3d)2=a1(-a1-5d).又a3=a1+2d=-1,聯(lián)立可解得d=-1或d=(舍去).因?yàn)閐=-1,所以a1=1,所以S7=-14. 5.若數(shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列,且++…+=n2+n,則a1++…+等于(  ) A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n) 解析:選A ∵++…+=n2+n,① ∴當(dāng)n=1時(shí),=2,解得a1=4. 當(dāng)n≥2時(shí), ++…+=(n-1)2+n-1.② ①-②,得=2n,∴an=4n2. 當(dāng)n=1時(shí)上式也成立. ∴=4n,則a1++…+=4(1+2+…+n)=4=2n2+2n. 6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S8-2S4=5,則a9+a10+a11+a12的最小值為(  ) A.10 B.15 C.20 D.25 解析:選C 由題意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5可得S8-S4=S4+5,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,則S4(S12-S8)=(S8-S4)2,綜上可得a9+a10+a11+a12=S12-S8==S4++10≥2+10=20, 當(dāng)且僅當(dāng)S4=5時(shí)等號(hào)成立,綜上可得a9+a10+a11+a12的最小值為20. 7.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.已知a2a4=1,S3=7,則其公比q等于________. 解析:∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,∴數(shù)列{an}的公比q>0.由a2a4=1,得a=1,∴a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,即6q2-q-1=0,解得q=或q=-(舍去).故q=. 答案: 8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,am-1am+1=2am(m≥2),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n.若T2m-1=512,則m的值為_(kāi)_______. 解析:由等比數(shù)列的性質(zhì),得am+1am-1=a=2am.又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),所以am=2.又T2m-1=(am)2m-1=22m-1=512,所以2m-1=9,所以m=5. 答案:5 9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an+an+1=(n∈N*),則S2n-1=________. 解析:因?yàn)閍1=1,an+an+1=(n∈N*),所以S2n-1=a1+(a2+a3)+…+(a2n-2+a2n-1)=1+++…+==. 答案: 10.(2018成都模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2=3,S4=16,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d, ∵a2=3,S4=16, ∴a1+d=3,4a1+6d=16, 解得a1=1,d=2. ∴an=2n-1. (2)由題意,bn==, ∴Tn=b1+b2+…+bn = = =. 11.(2019屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考)已知a1=2,a2=4,數(shù)列{bn}滿足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn. (1)求證:數(shù)列{bn+2}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 解:(1)證明:由題知,==2, ∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4, ∴數(shù)列{bn+2}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)可得,bn+2=42n-1,故bn=2n+1-2. ∵an+1-an=bn, ∴a2-a1=b1, a3-a2=b2, a4-a3=b3, … an-an-1=bn-1. 累加得,an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1(n≥2), an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2) =-2(n-1) =2n+1-2n, 故an=2n+1-2n(n≥2). ∵a1=2符合上式, ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1-2n(n∈N*). 12.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,b2=2,a1b3=12,S3+b1=19. (1)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{bncos(anπ)}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6, ∴S3+b1=3a2+b1=18+b1=19,∴b1=1, ∵b2=2,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,∴bn=2n-1. ∴b3=4,∵a1b3=12,∴a1=3, ∵a2=6,數(shù)列{an}是等差數(shù)列, ∴an=3n. (2)由(1)得,令Cn=bncos(anπ)=(-1)n2n-1, ∴Cn+1=(-1)n+12n, ∴=-2,又C1=-1, ∴數(shù)列{bncos(anπ)}是以-1為首項(xiàng),-2為公比的等比數(shù)列, ∴Tn==-[1-(-2)n]. 二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開(kāi)分 1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,Sn+1=4an+2,則a12=(  ) A.20 480 B.49 152 C.60 152 D.89 150 解析:選B 由S2=4a1+2,得a1+a2=4a1+2,聯(lián)立a1=2,解得a2=8.又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,∴an+2-2an+1=2(an+1-2an),∴數(shù)列{an+1-2an}是以a2-2a1=4為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,∴an+1-2an=42n-1=2n+1,∴=1,∴-=1,∴數(shù)列是以=1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,∴=1+(n-1)=n,∴an=n2n,∴a12=12212=49 152. 2.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(  ) A.2n-1 B.n-1 C.n2 D.n 解析:選D 因?yàn)閍n=n(an+1-an)=nan+1-nan,所以nan+1=(n+1)an,所以=,所以an=…a1=…1=n. 3.(2018鄭州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1-an|=.若a2n+1>a2n-1,a2n+2<a2n(n∈N*),則數(shù)列{(-1)nan}的前40項(xiàng)的和為(  ) A. B. C. D. 解析:選D 由題意可得a2n+1-a2n-1>0,a2n+2-a2n<0,則a2n+1-a2n-1>a2n+2-a2n, 所以a2n+1-a2n+2>a2n-1-a2n.① 而|a2n+1-a2n+2|=, |a2n-1-a2n|=, 即|a2n+1-a2n+2|<|a2n-1-a2n|.② 綜合①②,得a2n-1-a2n<0, 即a2n-1-a2n=-. 裂項(xiàng),得a2n-a2n-1=. 綜上可得,數(shù)列{(-1)nan}的前40項(xiàng)的和為(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a40-a39)==. 4.(2019屆高三河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”聯(lián)考)在正整數(shù)數(shù)列中,由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則,將某些數(shù)染成紅色.先染1;再染兩個(gè)偶數(shù)2,4;再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9;再染9后面的最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25.按此規(guī)則一直染下去,得到一紅色子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,則在這個(gè)紅色子數(shù)列中,由1開(kāi)始的第2 018個(gè)數(shù)是(  ) A.3 971 B.3 972 C.3 973 D.3 974 解析:選B 由題意可知,第1組有1個(gè)數(shù),第2組有2個(gè)數(shù),…,根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,可知前n組共有個(gè)數(shù).由于2 016=<2 018<=2 080,因此,第2 018個(gè)數(shù)是第64組的第2個(gè)數(shù).由于第1組最后一個(gè)數(shù)是1,第2組最后一個(gè)數(shù)是4,第3組最后一個(gè)數(shù)是9,…,第n組最后一個(gè)數(shù)是n2,因此,第63組最后一個(gè)數(shù)為632,632=3 969,第64組為偶數(shù)組,其第1個(gè)數(shù)為3 970,第2個(gè)數(shù)為3 972,故選 B. 5.(2019屆高三南昌調(diào)研)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=3且當(dāng)n≥2時(shí),2an=SnSn-1(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________. 解析:當(dāng)n≥2時(shí),由2an=SnSn-1可得2(Sn-Sn-1)=SnSn-1,∴-=,即-=-,∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為-的等差數(shù)列,∴=+(n-1)=,∴Sn=.當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn-1==,又a1=3, ∴an= 答案: 6.(2018開(kāi)封模擬)已知數(shù)列{an}滿足[2-(-1)n]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n3n(n∈N*),則a25-a1=________. 解析:∵[2-(-1)n]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n3n,∴當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),a2k+3a2k+1=1+6k,當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí),3a2k-1+a2k=1-6k+3,∴a2k+1-a2k-1=4k-1,∴a25=(a25-a23)+(a23-a21)+…+(a3-a1)+a1=(412-1)+(411-1)+…+(41-1)+a1=4-12+a1=300+a1,∴a25-a1=300. 答案:300 三、加練大題考法——少失分 1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S7=0,a3-2a2=12(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由已知得解得 所以an=4n-16. (2)由(1)知an=4n-16,所以==, 所以Sn=+++…+, 兩邊同乘以, 得Sn=+++…++, 兩式相減,得Sn=++++…+-= -=1-,所以Sn=2-. 2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為T(mén)n=(n∈N*). (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=log2an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,定義[x]為不小于x的最小整數(shù),求數(shù)列的前n項(xiàng)和Rn. 解:(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為T(mén)n=, 所以a1=T1==. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Tn-Tn-1=-=2n-3, 當(dāng)n=1時(shí),a1=符合上式. 故an=2n-3. (2)由(1)可知,bn=log2an=n-3, 則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為-2,公差為1的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn=-n,則=-. 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),=-單調(diào)遞增, 所以=-2,當(dāng)2≤n≤5時(shí),-≤≤0, 當(dāng)n≥6時(shí),≤<, 所以R1=-2, 當(dāng)2≤n≤5時(shí),Rn=-2+0+0+…+0=-2, 當(dāng)n≥6時(shí),Rn=-2+(n-5)1=n-7, 所以Rn= 3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且a2=3,S5=25. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:Tn<1. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍2=3,S5=25,所以 解得所以an=2n-1. (2)證明:由(1)知,an=2n-1, 所以Sn==n2. 所以bn===-. 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn =++…+ =1-<1. 4.(2017山東高考)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式; (2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點(diǎn)P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 解:(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q,由已知得q>0. 由題意得 所以3q2-5q-2=0. 因?yàn)閝>0,所以q=2,x1=1, 因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=2n-1. (2)過(guò)P1,P2,…,Pn+1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,…,Qn+1. 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1, 記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn, 由題意得bn=2n-1=(2n+1)2n-2, 所以Tn=b1+b2+…+bn =32-1+520+721+…+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2.① 又2Tn=320+521+722+…+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1.② ①-②得 -Tn=32-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)2n-1 =+-(2n+1)2n-1. 所以Tn=.

注意事項(xiàng)

本文((通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專(zhuān)題七 數(shù)列講義 理(重點(diǎn)生含解析).doc)為本站會(huì)員(sh****n)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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