2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題10 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.doc

專題10 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【熱點聚焦與擴展】 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，對函數(shù)作圖起到?jīng)Q定性的作用，而導(dǎo)數(shù)是分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一個便利工具.高考對單調(diào)性的考查有小題，但多出現(xiàn)在大題中，涉及單調(diào)性應(yīng)用的題目較多. 1、函數(shù)的單調(diào)性：在內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)，在任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0. 在上為增函數(shù)． 在上為減函數(shù)． 2、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的聯(lián)系 （1）函數(shù)在可導(dǎo)，那么在上單調(diào)遞增.此結(jié)論可以這樣理解：對于遞增的函數(shù)，其圖像有三種類型： ，無論是哪種圖形，其上面任意一點的切線斜率均大于零. 等號成立的情況：一是單調(diào)區(qū)間分界點導(dǎo)數(shù)有可能為零，例如：的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，另一種是位于單調(diào)區(qū)間內(nèi)但導(dǎo)數(shù)值等于零的點，典型的一個例子為在處的導(dǎo)數(shù)為0，但是位于單調(diào)區(qū)間內(nèi). （2）函數(shù)在可導(dǎo)，則在上單調(diào)遞減 （3）前面我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的單調(diào)性可以決定其導(dǎo)數(shù)的符號，那么由的符號能否推出在的單調(diào)性呢？如果不是常值函數(shù)，那么便可由導(dǎo)數(shù)的符號對應(yīng)推出函數(shù)的單調(diào)性.（這也是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理論基礎(chǔ)） 3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 （1）確定函數(shù)的定義域 （2）求出的導(dǎo)函數(shù) （3）令（或），求出的解集，即為的單調(diào)增（或減）區(qū)間 （4）列出表格 4、求單調(diào)區(qū)間的一些技巧 （1）強調(diào)先求定義域，一方面定義域?qū)握{(diào)區(qū)間有限制作用（單調(diào)區(qū)間為定義域的子集）.另一方面通過定義域?qū)θ≈档南拗?，對解不等式有時會起到簡化的作用，方便單調(diào)區(qū)間的求解 （2）在求單調(diào)區(qū)間時優(yōu)先處理恒正恒負(fù)的因式，以簡化不等式 （3）一般可令，這樣解出的解集就是單調(diào)增區(qū)間（方便記憶），若不存在常值函數(shù)部分，那么求減區(qū)間只需要取增區(qū)間在定義域上的補集即可(簡化求解的步驟） （4）若的解集為定義域，那么說明是定義域上的增函數(shù)，若的解集為，那么說明沒有一個點切線斜率大于零，那么是定義域上的減函數(shù) （5）導(dǎo)數(shù)只是求單調(diào)區(qū)間的一個有力工具，并不是唯一方法，以前學(xué)過的一些單調(diào)性判斷方法也依然好用，例如：增+增→增，減+減→減，增→減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減等.如果能夠通過結(jié)論直接判斷，那么就無需用導(dǎo)數(shù)來判定. 5、求單調(diào)區(qū)間的一些注意事項 （1）單調(diào)區(qū)間可以用開區(qū)間來進行表示，如果用閉區(qū)間那么必須保證邊界值在定義域內(nèi).例如函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，若寫成就出錯了（0不在定義域內(nèi)）. （2）如果增（或減）區(qū)間有多個，那么在書寫時用逗號隔開，一定不要用并集的符號.有些同學(xué)覺得不等式的解集是多個部分時用“”連接，那么區(qū)間也一樣，這個觀點是錯誤的.并集是指將兩個集合的元素合并到一起成為一個集合，用在單調(diào)區(qū)間上會出現(xiàn)問題.依然以為例，如果寫成，那么就意味著從合并在一起的集合中任取兩個變量，滿足單調(diào)減的條件.由性質(zhì)可知，如果在兩個區(qū)間里各取一個，是不滿足單調(diào)減的性質(zhì)的. 【經(jīng)典例題】 例1.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______________. 【答案】 【解析】由題函數(shù)的定義域為 ，又，可解得 例2. 【2017課標(biāo)1】已知函數(shù)=ex(ex﹣a)﹣a2x． （1）討論的單調(diào)性； 【答案】（1）當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 【解析】 試題分析：（1）分，，分別討論函數(shù)的單調(diào)性． 當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 例3【2018屆內(nèi)蒙古包頭市高三第一次模擬】已知函數(shù). （1）若，求的單調(diào)區(qū)間； 【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 【解析】試題分析：（1）由，求得函數(shù)及，求解和，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 試題解析： （1）若，，. 當(dāng)時，；當(dāng)時，. 故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 例4【2018屆四川省高三春季診斷】已知函數(shù). （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； 【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增. 【解析】試題分析：（1）討論函數(shù)單調(diào)性主要研究導(dǎo)函數(shù)大于零和小于零的不等式解集，根據(jù)題意 ，根據(jù)a的不同取值逐一討論導(dǎo)函數(shù)符號即可. 解析：（1） ， 當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增. 當(dāng)時，，故當(dāng)或時，在上單調(diào)遞增. 例5【2018屆四川省高三春季診斷】已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； 【答案】（1）見解析. 【解析】試題分析：（1） ，分 ，和 時討論 的單調(diào)區(qū)間. 試題解析：（1） 當(dāng) 時， ，∴ 在 上單調(diào)遞減. 當(dāng) 時，令 ，得 ，令 ，得 ∴ 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ， 當(dāng) 時，令 ，得 ，令 ，得 ∴ 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 例6【2018屆江西省高三六校聯(lián)考】已知函數(shù) （1）令，試討論的單調(diào)性； 【答案】(1) 當(dāng)時， 單調(diào)遞減，無增區(qū)間；當(dāng)時，， (2) 【解析】試題分析：（1）由，對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)性即可；（2）由條件可知對恒成立，變量分離，令，求這個函數(shù)的最值即可. 解析： 綜上：當(dāng)時， 單調(diào)遞減，無增區(qū)間； 當(dāng)時，， 【名師點睛】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題： （1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題； （2）若 就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若恒成立； （3）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值） . 例7【2018屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)高三4月月考】已知函數(shù)． （1）當(dāng)=0時，求實數(shù)的m值及曲線在點（1， ）處的切線方程； （2）討論函數(shù)的單調(diào)性． 【答案】（1）m=﹣1,y=﹣1（2）見解析 【解析】試題分析：（1）求出,由的值可得切點坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間； 求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論的取值范圍，分別求得單調(diào)區(qū)間. 當(dāng)m＜0時，由，得，或， 當(dāng)m＜﹣2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，﹣）和（，+∞）增區(qū)間為（﹣，）； 當(dāng)m=﹣2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）沒有增區(qū)間． 當(dāng)﹣2＜m＜0時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，）和（﹣，+∞），增區(qū)間為（，﹣） 綜上可知：當(dāng)m≥0時，函數(shù)y=f（x）的減區(qū)間為（0，），增區(qū)間為（，+∞）； 當(dāng)m＜﹣2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，﹣）和（，+∞）增區(qū)間為（﹣，）； 當(dāng)m=﹣2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）沒有增區(qū)間； 當(dāng)﹣2＜m＜0時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，）和（﹣，+∞），增區(qū)間為（，﹣）． 例8【2016北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為， （1）求，的值； （2）求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】（Ⅰ），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【解析】 （1）因為，所以. 依題設(shè)，即 故是在區(qū)間上的最小值， 從而. 綜上可知，，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為. 例9【2018屆北京市西城區(qū)156中學(xué)高三上期中】已知函數(shù)． （）當(dāng)時，求函數(shù)的極值點． （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 【答案】（1）極大值點為，極小值點為；（2）見解析 【解析】試題分析： （1）當(dāng)時，，求導(dǎo)數(shù)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后可得極值點．（2）由題意得，然后根據(jù)的符號進行分類討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號得到單調(diào)區(qū)間． 試題解析： ∴的極大值點為，極小值點為． （）由題意得， 令，則，． ①當(dāng)時，，在上的單調(diào)遞增區(qū)間是． ②當(dāng)時， 令，則或， 令，則， ∴的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是． ③當(dāng)時， 令，則或， 【名師點睛】（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： ①確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③解不等式f′(x)＞0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；④解不等式f′(x)＜0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間． （2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的注意事項：涉及含參數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的問題，一定要弄清參數(shù)對導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號是否有影響．若有影響，則必須分類討論． 例10．已知函數(shù). (1)若函數(shù)過點，求函數(shù)的圖象在處的切線方程； (2)判斷函數(shù)的單調(diào)性. 【答案】（1）；（2）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 【解析】試題分析：（1）代入點，求得，求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到切線方程；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，對討論，當(dāng)時，當(dāng)時，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間. 試題解析：（1）函數(shù)過點，則有，即，， 【名師點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為在該點處切線的斜率，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及分類討論的思想，屬于中檔題；由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減，在該題中，含有參數(shù)的函數(shù)，主要是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點與定義域的關(guān)系進行分類討論. 【精選精練】 1【2018屆高考二輪訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2ln x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A. 和(1，＋∞) B. (0,1)和(2，＋∞) C. 和(2，＋∞) D. (1,2) 【答案】C 【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，易求得函數(shù)的定義域是，則，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，故選C. 2．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A. (－∞，－1]和[0,1] B. [－1,0]和[1，＋∞) C. [－1,1] D. (－∞，－1]和[1，＋∞) 【答案】A 【解析】 由 可得，令，即，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，故選A. 3．【2018屆湖北省天門、仙桃、潛江高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)，則其單調(diào)增區(qū)間是（ ） A. （0，1] B. [0，1] C. （0，+∞） D. （1，+∞） 【答案】D 【解析】，定義域為 令 解得 故函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是 故選. 5．【2018屆高考二輪訓(xùn)練】已知m是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　　) A. B. C. ，(0，＋∞) D. ∪(0，＋∞) 【答案】C 6.【2018屆北京市京源學(xué)校高三十月月考】已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為的部分值如下表所示: 根據(jù)表中數(shù)據(jù),回答下列問題: （Ⅰ）實數(shù)的值為 ; 取得極大值點是 ; （Ⅱ）求實數(shù)的值; （Ⅲ）求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】（Ⅰ）;；（Ⅱ） ；（Ⅲ）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和(. 【解析】試題分析：（Ⅰ）由極值的定義，通過表格可求解；（Ⅱ）在表格中取兩組數(shù)據(jù)代入解析式即可；（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間. 試題解析：（Ⅰ） ; 7.已知函數(shù)f(x)=x3＋ax＋8的單調(diào)遞減區(qū)間為(－5，5)，求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間． 【答案】(－∞，－5)和(5，＋∞) 【解析】試題分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 ，可得是方程 的根，從而求出的值，然后令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間. 試題解析：f′(x)＝3x2＋a.∵(－5，5)是函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，則－5，5是方程3x2＋a＝0的根， ∴a＝－75.此時f′(x)＝3x2－75， 令f′(x)>0，則3x2－75>0，解得x>5或x<－5， ∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－5)和(5，＋∞)． 8．【2018屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)， （為自然對數(shù)的底數(shù)）． （Ⅰ）若是的極值點，求實數(shù)的值； （Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間． 【答案】(1) (2)見解析 ②當(dāng)時， ， 的單調(diào)遞增區(qū)間是； ③當(dāng)時， ， 的單調(diào)遞增區(qū)間是. 9．【2018屆遼寧師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù). （1）若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)的值； （2）討論的單調(diào)性. 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）先求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)在處的切線方程為，列方程可求實數(shù)的值；（2）分四種情況： ，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，令求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間. 試題解析：（1）∵， ∴， （2））， ①當(dāng)時， ， ， ，函數(shù)遞減； 時， ，函數(shù)遞增； ②當(dāng)時， ， ， ， ， ，函數(shù)遞增； ， ， ，函數(shù)遞減； 10．已知函數(shù)，求： （1）函數(shù)的圖象在點處的切線方程； （2）的單調(diào)遞減區(qū)間. 【答案】（1）；（2）和. 【解析】試題分析: (1)第(1)問, 先求導(dǎo)，再求出切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后寫出直線的點斜式方程 . (2)第(2)問,直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. 試題解析: ， ， ，所以切點為（0，-2）， ∴切線方程為，一般方程為； （2）， 令，解得或， ∴的單調(diào)遞減區(qū)間為和. 11．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)討論f(x)的單調(diào)性． 【答案】(1)a＝4，b＝4;(2)見解析. 【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值； （Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)性． 當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(－2，－ln 2)時，f′(x)＜0． 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln 2)上單調(diào)遞減． 【名師點睛】確定單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根； (3)把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間； (4)確定f′(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 12.設(shè)函數(shù)，． （）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程． （）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值點． 【答案】（1）；（2）當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無極值，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為． 【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，，,求出的值可得切點坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值點. 試題解析：（）當(dāng)時，，，∴，，∴曲線在點處的切線方程為，即． （）由得， 當(dāng)時，，在上是單調(diào)遞增，無極值， ，無極值，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為． 【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.