2019年高考數學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題10 求函數的單調區(qū)間.doc

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專題10 求函數的單調區(qū)間 【熱點聚焦與擴展】 從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數形結合思想的應用．單調性是函數的一個重要性質，對函數作圖起到決定性的作用，而導數是分析函數單調區(qū)間的一個便利工具.高考對單調性的考查有小題，但多出現(xiàn)在大題中，涉及單調性應用的題目較多. 1、函數的單調性：在內可導函數，在任意子區(qū)間內都不恒等于0. 在上為增函數． 在上為減函數． 2、導數與單調區(qū)間的聯(lián)系 （1）函數在可導，那么在上單調遞增.此結論可以這樣理解：對于遞增的函數，其圖像有三種類型： ，無論是哪種圖形，其上面任意一點的切線斜率均大于零. 等號成立的情況：一是單調區(qū)間分界點導數有可能為零，例如：的單調遞增區(qū)間為，而，另一種是位于單調區(qū)間內但導數值等于零的點，典型的一個例子為在處的導數為0，但是位于單調區(qū)間內. （2）函數在可導，則在上單調遞減 （3）前面我們發(fā)現(xiàn)了函數的單調性可以決定其導數的符號，那么由的符號能否推出在的單調性呢？如果不是常值函數，那么便可由導數的符號對應推出函數的單調性.（這也是求函數單調區(qū)間的理論基礎） 3、利用導數求函數單調區(qū)間的步驟 （1）確定函數的定義域 （2）求出的導函數 （3）令（或），求出的解集，即為的單調增（或減）區(qū)間 （4）列出表格 4、求單調區(qū)間的一些技巧 （1）強調先求定義域，一方面定義域對單調區(qū)間有限制作用（單調區(qū)間為定義域的子集）.另一方面通過定義域對取值的限制，對解不等式有時會起到簡化的作用，方便單調區(qū)間的求解 （2）在求單調區(qū)間時優(yōu)先處理恒正恒負的因式，以簡化不等式 （3）一般可令，這樣解出的解集就是單調增區(qū)間（方便記憶），若不存在常值函數部分，那么求減區(qū)間只需要取增區(qū)間在定義域上的補集即可(簡化求解的步驟） （4）若的解集為定義域，那么說明是定義域上的增函數，若的解集為，那么說明沒有一個點切線斜率大于零，那么是定義域上的減函數 （5）導數只是求單調區(qū)間的一個有力工具，并不是唯一方法，以前學過的一些單調性判斷方法也依然好用，例如：增+增→增，減+減→減，增→減，復合函數單調性同增異減等.如果能夠通過結論直接判斷，那么就無需用導數來判定. 5、求單調區(qū)間的一些注意事項 （1）單調區(qū)間可以用開區(qū)間來進行表示，如果用閉區(qū)間那么必須保證邊界值在定義域內.例如函數的單調減區(qū)間為，若寫成就出錯了（0不在定義域內）. （2）如果增（或減）區(qū)間有多個，那么在書寫時用逗號隔開，一定不要用并集的符號.有些同學覺得不等式的解集是多個部分時用“”連接，那么區(qū)間也一樣，這個觀點是錯誤的.并集是指將兩個集合的元素合并到一起成為一個集合，用在單調區(qū)間上會出現(xiàn)問題.依然以為例，如果寫成，那么就意味著從合并在一起的集合中任取兩個變量，滿足單調減的條件.由性質可知，如果在兩個區(qū)間里各取一個，是不滿足單調減的性質的. 【經典例題】 例1.函數的單調增區(qū)間為_______________. 【答案】 【解析】由題函數的定義域為 ，又，可解得 例2. 【2017課標1】已知函數=ex(ex﹣a)﹣a2x． （1）討論的單調性； 【答案】（1）當，在單調遞增；當，在單調遞減，在單調遞增；當，在單調遞減，在單調遞增． 【解析】 試題分析：（1）分，，分別討論函數的單調性． 當時，；當時，，故在單調遞減，在單調遞增． 例3【2018屆內蒙古包頭市高三第一次模擬】已知函數. （1）若，求的單調區(qū)間； 【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增. 【解析】試題分析：（1）由，求得函數及，求解和，進而得到函數的單調區(qū)間. 試題解析： （1）若，，. 當時，；當時，. 故在上單調遞減，在上單調遞增. 例4【2018屆四川省高三春季診斷】已知函數. （1）討論函數的單調性； 【答案】（1）在上單調遞減，在，上單調遞增. 【解析】試題分析：（1）討論函數單調性主要研究導函數大于零和小于零的不等式解集，根據題意 ，根據a的不同取值逐一討論導函數符號即可. 解析：（1） ， 當時，，∴在上單調遞增. 當時，，故當或時，在上單調遞增. 例5【2018屆四川省高三春季診斷】已知函數. （1）討論的單調性； 【答案】（1）見解析. 【解析】試題分析：（1） ，分 ，和 時討論 的單調區(qū)間. 試題解析：（1） 當 時， ，∴ 在 上單調遞減. 當 時，令 ，得 ，令 ，得 ∴ 的單調遞減區(qū)間為 ，單調遞增區(qū)間為 ， 當 時，令 ，得 ，令 ，得 ∴ 的單調遞減區(qū)間為 ，單調遞增區(qū)間為 例6【2018屆江西省高三六校聯(lián)考】已知函數 （1）令，試討論的單調性； 【答案】(1) 當時， 單調遞減，無增區(qū)間；當時，， (2) 【解析】試題分析：（1）由，對函數求導，研究導函數的正負得到單調性即可；（2）由條件可知對恒成立，變量分離，令，求這個函數的最值即可. 解析： 綜上：當時， 單調遞減，無增區(qū)間； 當時，， 【名師點睛】導數問題經常會遇見恒成立的問題： （1）根據參變分離，轉化為不含參數的函數的最值問題； （2）若 就可討論參數不同取值下的函數的單調性和極值以及最值，最終轉化為 ，若恒成立； （3）若 恒成立，可轉化為（需在同一處取得最值） . 例7【2018屆江西師范大學附屬中學高三4月月考】已知函數． （1）當=0時，求實數的m值及曲線在點（1， ）處的切線方程； （2）討論函數的單調性． 【答案】（1）m=﹣1,y=﹣1（2）見解析 【解析】試題分析：（1）求出,由的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數的減區(qū)間； 求導，利用導數與函數單調性的關系，分類討論的取值范圍，分別求得單調區(qū)間. 當m＜0時，由，得，或， 當m＜﹣2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，﹣）和（，+∞）增區(qū)間為（﹣，）； 當m=﹣2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）沒有增區(qū)間． 當﹣2＜m＜0時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，）和（﹣，+∞），增區(qū)間為（，﹣） 綜上可知：當m≥0時，函數y=f（x）的減區(qū)間為（0，），增區(qū)間為（，+∞）； 當m＜﹣2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，﹣）和（，+∞）增區(qū)間為（﹣，）； 當m=﹣2時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）沒有增區(qū)間； 當﹣2＜m＜0時，y=f（x）的減區(qū)間為（0，）和（﹣，+∞），增區(qū)間為（，﹣）． 例8【2016北京理數】設函數，曲線在點處的切線方程為， （1）求，的值； （2）求的單調區(qū)間. 【答案】（Ⅰ），；（2）的單調遞增區(qū)間為. 【解析】 （1）因為，所以. 依題設，即 故是在區(qū)間上的最小值， 從而. 綜上可知，，，故的單調遞增區(qū)間為. 例9【2018屆北京市西城區(qū)156中學高三上期中】已知函數． （）當時，求函數的極值點． （）求函數的單調區(qū)間． 【答案】（1）極大值點為，極小值點為；（2）見解析 【解析】試題分析： （1）當時，，求導數后根據導函數的符號判斷出函數的單調性，然后可得極值點．（2）由題意得，然后根據的符號進行分類討論，結合導函數的符號得到單調區(qū)間． 試題解析： ∴的極大值點為，極小值點為． （）由題意得， 令，則，． ①當時，，在上的單調遞增區(qū)間是． ②當時， 令，則或， 令，則， ∴的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間是． ③當時， 令，則或， 【名師點睛】（1）求函數單調區(qū)間的步驟： ①確定函數y＝f(x)的定義域；②求導數；③解不等式f′(x)＞0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；④解不等式f′(x)＜0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間． （2）求函數單調區(qū)間的注意事項：涉及含參數的單調性或單調區(qū)間的問題，一定要弄清參數對導數在某一區(qū)間內的符號是否有影響．若有影響，則必須分類討論． 例10．已知函數. (1)若函數過點，求函數的圖象在處的切線方程； (2)判斷函數的單調性. 【答案】（1）；（2）當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增. 【解析】試題分析：（1）代入點，求得，求出的導數，求得切線的斜率和切點，即可得到切線方程；（2）求出的導數，對討論，當時，當時，令導數大于0，得增區(qū)間，令導數小于0，得減區(qū)間. 試題解析：（1）函數過點，則有，即，， 【名師點睛】本題主要考查了導數的幾何意義即函數在某點處的導數即為在該點處切線的斜率，導數與函數單調性的關系以及分類討論的思想，屬于中檔題；由，得函數單調遞增，得函數單調遞減，在該題中，含有參數的函數，主要是根據導函數的零點與定義域的關系進行分類討論. 【精選精練】 1【2018屆高考二輪訓練】已知函數f(x)＝x2－5x＋2ln x，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(　　) A. 和(1，＋∞) B. (0,1)和(2，＋∞) C. 和(2，＋∞) D. (1,2) 【答案】C 【解析】根據函數解析式，易求得函數的定義域是，則，令，解得，所以函數的單調增區(qū)間是和，故選C. 2．函數y＝x4－2x2＋5的單調遞減區(qū)間為(　　) A. (－∞，－1]和[0,1] B. [－1,0]和[1，＋∞) C. [－1,1] D. (－∞，－1]和[1，＋∞) 【答案】A 【解析】 由 可得，令，即，解得或，所以函數的單調減區(qū)間為和，故選A. 3．【2018屆湖北省天門、仙桃、潛江高三上學期期末】已知函數，則其單調增區(qū)間是（ ） A. （0，1] B. [0，1] C. （0，+∞） D. （1，+∞） 【答案】D 【解析】，定義域為 令 解得 故函數單調增區(qū)間是 故選. 5．【2018屆高考二輪訓練】已知m是實數，函數f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，則函數f(x)的單調遞增區(qū)間是 (　　) A. B. C. ，(0，＋∞) D. ∪(0，＋∞) 【答案】C 6.【2018屆北京市京源學校高三十月月考】已知函數,其導函數為的部分值如下表所示: 根據表中數據,回答下列問題: （Ⅰ）實數的值為 ; 取得極大值點是 ; （Ⅱ）求實數的值; （Ⅲ）求的單調區(qū)間. 【答案】（Ⅰ）;；（Ⅱ） ；（Ⅲ）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為和(. 【解析】試題分析：（Ⅰ）由極值的定義，通過表格可求解；（Ⅱ）在表格中取兩組數據代入解析式即可；（Ⅲ）利用導數求出的單調區(qū)間. 試題解析：（Ⅰ） ; 7.已知函數f(x)=x3＋ax＋8的單調遞減區(qū)間為(－5，5)，求函數f(x)的遞增區(qū)間． 【答案】(－∞，－5)和(5，＋∞) 【解析】試題分析：求出函數的導數，利用函數的單調減區(qū)間是 ，可得是方程 的根，從而求出的值，然后令求得的范圍，可得函數增區(qū)間. 試題解析：f′(x)＝3x2＋a.∵(－5，5)是函數y＝f(x)的單調遞減區(qū)間，則－5，5是方程3x2＋a＝0的根， ∴a＝－75.此時f′(x)＝3x2－75， 令f′(x)>0，則3x2－75>0，解得x>5或x<－5， ∴函數y＝f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－5)和(5，＋∞)． 8．【2018屆浙江省嘉興市高三上學期期末】已知函數， （為自然對數的底數）． （Ⅰ）若是的極值點，求實數的值； （Ⅱ）求的單調遞增區(qū)間． 【答案】(1) (2)見解析 ②當時， ， 的單調遞增區(qū)間是； ③當時， ， 的單調遞增區(qū)間是. 9．【2018屆遼寧師范大學附屬中學高三上學期期末】已知函數， 為自然對數的底數. （1）若函數在處的切線方程為，求實數的值； （2）討論的單調性. 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）先求出，根據導數的幾何意義以及函數在處的切線方程為，列方程可求實數的值；（2）分四種情況： ，分別令求得 的范圍，可得函數增區(qū)間，令求得 的范圍，可得函數的減區(qū)間. 試題解析：（1）∵， ∴， （2））， ①當時， ， ， ，函數遞減； 時， ，函數遞增； ②當時， ， ， ， ， ，函數遞增； ， ， ，函數遞減； 10．已知函數，求： （1）函數的圖象在點處的切線方程； （2）的單調遞減區(qū)間. 【答案】（1）；（2）和. 【解析】試題分析: (1)第(1)問, 先求導，再求出切線的斜率和切點坐標，最后寫出直線的點斜式方程 . (2)第(2)問,直接利用導數求函數的單調遞減區(qū)間. 試題解析: ， ， ，所以切點為（0，-2）， ∴切線方程為，一般方程為； （2）， 令，解得或， ∴的單調遞減區(qū)間為和. 11．已知函數f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)討論f(x)的單調性． 【答案】(1)a＝4，b＝4;(2)見解析. 【解析】試題分析：（Ⅰ）求導函數，利用導數的幾何意義及曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值； （Ⅱ）利用導數的正負，可得f（x）的單調性． 當x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時，f′(x)＞0；當x∈(－2，－ln 2)時，f′(x)＜0． 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調遞增，在(－2，－ln 2)上單調遞減． 【名師點睛】確定單調區(qū)間的步驟：(1)確定函數y＝f(x)的定義域； (2)求導數y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定義區(qū)間內的一切實根； (3)把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間； (4)確定f′(x)在各個區(qū)間內的符號，根據符號判定函數在每個相應區(qū)間內的單調性 12.設函數，． （）當時，求曲線在點處的切線方程． （）求函數單調區(qū)間和極值點． 【答案】（1）；（2）當時，的單調增區(qū)間為，無極值，當時，的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間為，極大值為，極小值為． 【解析】試題分析：（1）當時，，,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區(qū)間，求得的范圍，可得函數的減區(qū)間，結合函數的單調性，可得函數的極值點. 試題解析：（）當時，，，∴，，∴曲線在點處的切線方程為，即． （）由得， 當時，，在上是單調遞增，無極值， ，無極值，當時，的單調增區(qū)間是和，單調減區(qū)間為，極大值為，極小值為． 【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.